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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, points=7]
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\begin{enumerate}
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\item Soit $f(x) = -3x^2 + 2x - 10$. Calculer la valeur de $f(-3)$
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\vspace{1cm}
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\item Dériver la fonction $f(x) = 5x^3 + 3x + 2$
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\vspace{1cm}
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\item Développer l'expression suivante
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\[
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(2x-1)(-3x + 5)=
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\]
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\item Tracer l'allure graphique de la fonction $f(x) = -3x^2 + 3$
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\vspace{2cm}
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\item Compléter le tableau de signe de la fonction tracée ci-dessous
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=0.3]
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\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
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ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]%
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{-0.5*(x-3)*(x+2)};
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,Signe de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
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\tkzTabLine{,,}%
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\item Le prix d'un objet a diminué de 50\%. Par combien doit-on multiplier le nouveau prix pour revenir au prix initial?
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\vspace{2cm}
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\item On définit la suite
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\[
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u_0 = 10 \mbox{ et } u_{n+1} = u_n \times 3
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\]
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Calculer $u_3$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Etude de fonction}, step={2}, points=10]
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On définit la fonction $f(x) = 2x^2 + 4x - 30$.
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\begin{enumerate}
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\item Quel est le nom de ce type de fonction? Expliquer pourquoi et donner les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
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\item On cherche à factoriser la fonction $f$ pour ensuite étudier le signe.
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer au $x=-5$ est une racine de la fonction $f$.
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\item Parmi les valeurs la(les)quel(s) sont racine de la fonction $f$?
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\[
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-3 \qquad -1 \qquad 0 \qquad 2 \qquad 3
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\]
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\item Démontrer que $f(x) = 2(x-3)(x+5)$.
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\item Étudier le signe de la fonction $f$
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\end{enumerate}
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\item On souhaite étudier les variations de la fonction $f$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le dérivée de la fonction $f$.
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\item Étudier le signe de la fonction dérivée de $f$ et en déduire les variations de $f$ (sous forme de tableau).
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\item La fonction $f$ a-t-elle un minimum? un maximum? Où est-il atteint ?
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\end{enumerate}
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\item Tracer l'allure du graphique de la fonction $f$ et placé y les éléments remarquables trouvés aux questions précédentes.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Population d'une ville}, step={2}, points=7]
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On s’intéresse à la population d’une ville et on étudie plusieurs modèles d’évolution de cette population. En 2018, la population de la ville était de \np{15000}habitants.
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Modèle 1}: On fait l’hypothèse que le nombre d’habitants augmente de 1000 habitants par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants pour l’année (2018+$n$).
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On a ainsi $u_0 = \np{15000}$
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $u_1$ et indiquer ce que cette quantité représente.
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\item Quelle est la nature de la suite? Préciser les paramètres.
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\item Quelle est de récurrence de cette suite?
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\item Quelle formule doit-on taper dans la case \texttt{B3} le tableur puis étirer vers le bas pour calculer les valeurs de cette suite?
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.3]{./fig/tableur}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Modèle 2}: On fait l'hypothèse que le nombre d'habitants augmente de 4.7\% par ans. On note $v_n$ le nombre d'habitants pour l'année (2018+$n$).
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On a ainsi $v_0 = \np{15000}$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $v_1$ et $v_2$.
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\item Quelle est nature de la suite? Préciser le paramètres.
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\item Calculer, d'après ce modèle, le nombre d'habitant de la ville en 2023. Vous arrondirez les nombres à l'unité
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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