336 lines
14 KiB
TeX
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TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Qui est-ce des fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\groupMode}]
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À voir en classe
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Tableaux pour décrire les fonctions}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Ci-contre, le graphique d'une fonction.
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\begin{enumerate}
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\item Décrire ce graphique avec un tableau de signes.
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\item Décrire ce graphique avec un tableau de variations.
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\item (*) Décrire votre méthode pour construire un tableau de signes à partir du graphique.
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\item (*) Décrire votre méthode pour construire un tableau de variations à partir du graphique.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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||
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ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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||
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|
\draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_f$};
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\draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,1) (-4,0) (-3, -3) (-2, -1) (-1, -3) (0, -4) (1, -2.5) (2, 0) (3, 1) (4, 0) (5, 2) };
|
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\end{tikzpicture}
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|
\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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|
\item Tableaux de signes
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\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4, -2, 4, 5}
|
||
|
|
\tkzTabLine{,+, z, -, z, +, z, +, }
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
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||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
\item Tableaux de variations
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|
\begin{center}
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||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -3, -2, 0, 3, 4, 5}
|
||
|
|
\tkzTabVar{ +/1, -/-3, +/-1, -/-4, +/1, -/0, +/2}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{solution}
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|
\begin{exercise}[subtitle={Faire des tableaux}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
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|
Pour toutes les fonctions ci-dessous, tracer le tableau de signes puis le tableau de variations.
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\begin{multicols}{2}
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|
\begin{enumerate}
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|
|
\item
|
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|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.5]
|
||
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|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||
|
|
ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
|
||
|
|
\tkzGrid
|
||
|
|
\tkzAxeXY
|
||
|
|
\draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,2) (-4,-2) (-3, -3) (-2, -2) (-1, 0) (0, 0) (1, -2.5) (2, 0) (3, 2) (4, 1) (5, 2) };
|
||
|
|
\draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_f$};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
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|
\item $h(x) = x^3 - 2x + 1$
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\columnbreak
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\item
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\begin{tikzpicture}
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|
% x sin(2x)
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|
\begin{axis}[
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||
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|
axis lines = center,
|
||
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|
%grid = both,
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||
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|
xlabel = {$x$},
|
||
|
|
xtick distance=1,
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||
|
|
ylabel = {$g(x)$},
|
||
|
|
ytick distance=1,
|
||
|
|
legend pos = north west,
|
||
|
|
]
|
||
|
|
\addplot[domain=-6:6,samples=80, color=red, very thick]{x*cos(deg(x)*pi/2)};
|
||
|
|
\end{axis}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\item $i(x) = -2(x-2)(x+1)(x+2)$
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||
|
|
\end{enumerate}
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||
|
|
\end{multicols}
|
||
|
|
\end{exercise}
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|
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|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
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||
|
|
\item Tableau de signes
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||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4.5, -1, 0, 2, 5}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Tableau de variations
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||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -3, 0.5, 1, 3, 4, 5}
|
||
|
|
\tkzTabVar{ +/2, -/-3, +/0.25, -/-2.5, +/2, -/1, +/2}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Pour réaliser ces tableaux, il faut au préalable tracer le graphique de la fonction à la calculatrice.
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||
|
|
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\begin{axis}[
|
||
|
|
axis lines = center,
|
||
|
|
grid = both,
|
||
|
|
xlabel = {$x$},
|
||
|
|
ylabel = {$h(x)$},
|
||
|
|
legend pos = north west,
|
||
|
|
]
|
||
|
|
\addplot[domain=-2:2,samples=80, color=red, very thick]{x^3 - 2*x + 1};
|
||
|
|
\end{axis}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||
|
|
Tableau de signes
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4.5, -1, 0, 2, 5}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Tableau de variations
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=1]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -3, 0.5, 1, 3, 4, 5}
|
||
|
|
\tkzTabVar{ +/2, -/-3, +/0.25, -/-2.5, +/2, -/1, +/2}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Tableau de signes
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{-6, -5, -3, -1, 0, 1, 3, 5, 6}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +, z, -, z, +, z, -,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Tableau de variations
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ g(x) $/2}{-6, -4, -2, -0.5, 0.5, 2, 4, 6}
|
||
|
|
\tkzTabVar{+/6, -/-4, +/2, -/-0.5, +/0.5, -/-2, +/4, -/-6}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\item Pour réaliser ces tableaux, il faut au préalable tracer le graphique de la fonction à la calculatrice.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\begin{axis}[
|
||
|
|
axis lines = center,
|
||
|
|
grid = both,
|
||
|
|
xlabel = {$x$},
|
||
|
|
ylabel = {$i(x)$},
|
||
|
|
ytick distance=5,
|
||
|
|
legend pos = north west,
|
||
|
|
]
|
||
|
|
\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-2*(x-2)*(x+1)*(x+2)};
|
||
|
|
\end{axis}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||
|
|
Tableau de signes
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-3, -2, -1, 2, 3}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
Tableau de variations
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-3, -1.5, 0.8, 3}
|
||
|
|
\tkzTabVar{ +/20, -/-2, +/13, -/-40}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Vrai-Faux}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
|
||
|
|
\end{exercise}
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||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Tracer un graphique à partir de tableaux}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
|
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|
Tracer des graphiques qui correspondent aux tableaux suivants
|
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|
|
|
||
|
|
\begin{multicols}{2}
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|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-3, 0, 1, 5 }
|
||
|
|
\tkzTabVar{ +/4, -/2, +/3, -/-1}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ z(t) $/1}{-5, -1, 3, 4, 5}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, - , }
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{multicols}
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
\begin{multicols}{2}
|
||
|
|
\begin{enumerate}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
|
||
|
|
\tkzInit[xmin=-3,xmax=5,xstep=1,
|
||
|
|
ymin=-2,ymax=5,ystep=1]
|
||
|
|
\tkzGrid
|
||
|
|
\tkzAxeXY
|
||
|
|
\draw [color=red, very thick] plot coordinates {(-3, 4) (0, 2) (1, 3) (5, -1)};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\item
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
|
||
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
||
|
|
ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
|
||
|
|
\tkzGrid
|
||
|
|
\tkzAxeXY
|
||
|
|
\draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5, 1) (-1, 0) (0, -1) (3, 0) (3.5, 1) (4, 0) (5, -1)};
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{enumerate}
|
||
|
|
\end{multicols}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Vrai/Faux}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
|
||
|
|
Ci-dessous, le tableau de signes de la fonction $f$ et le tableau de variations de $g$.
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||
|
|
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ f(t) $/1}{-5, -3, 1, 2, 5}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, + , }
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||
|
|
\tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ g(x) $/2}{-5, -1, 0, 3, 5 }
|
||
|
|
\tkzTabVar{ +/1, -/0, +/4, -/-1, +/2}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{minipage}
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie, fausse ou si les informations à disposition sont suffisantes pour répondre à la question.
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|
\begin{tasks}(2)
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|
\task Entre -3 et 1, la fonction $f$ est positive.
|
||
|
|
\task Entre 0 et 5, la fonction $g$ est décroissante.
|
||
|
|
\task Sur l'intervalle $\intFF{-1}{0}$, $g$ est croissante.
|
||
|
|
\task Sur l'intervalle $\intFF{1}{2}$, $f$ est positive.
|
||
|
|
|
||
|
|
\task Sur l'intervalle $\intFF{1}{2}$, $g$ est croissante.
|
||
|
|
\task Sur l'intervalle $\intFF{-3}{-1}$, $f$ est croissante.
|
||
|
|
\task $g(1)$ est plus grand que $g(2)$.
|
||
|
|
\task $g(1)$ est plus grand que $g(4)$.
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|
|
|
||
|
|
\task Le maximum de la fonction $g$ est 4.
|
||
|
|
\task Le minimum de la fonction $g$ est 0.
|
||
|
|
\task Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont $x \in \left\{ -3; 1 \right\}$
|
||
|
|
\task Les solutions de l'équation $f(x) \leq 0$ sont $x \in \intFF{-5}{-3}\cup \intFF{1}{2}$
|
||
|
|
\end{tasks}
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||
|
|
\end{exercise}
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||
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|
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|
\begin{solution}
|
||
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|
\begin{tasks}(2)
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|
|
\task Vrai
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|
|
\task Faux, elle est décroissante entre 0 et 3 puis croissante.
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||
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|
|
\task Vrai
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|
|
\task Faux, elle est négative
|
||
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||
|
|
\task Faux, elle est décroissante sur $\intFF{0}{3}$ donc sur $\intFF{1}{2}$
|
||
|
|
\task On ne peut pas savoir
|
||
|
|
|
||
|
|
\task Faux, la fonction est décroissante entre 0 et 3 donc $g(1) > g(2)$
|
||
|
|
\task On ne peut pas savoir
|
||
|
|
|
||
|
|
\task Vrai
|
||
|
|
\task Faux, c'est -1
|
||
|
|
|
||
|
|
\task Faux, il manque 2
|
||
|
|
\task Vrai
|
||
|
|
\end{tasks}
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={}]
|
||
|
|
Cet exercice est un exercice création. Vous devez créer un vrai/faux à la manière de l'exercice précédent.
|
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|
|
Vous devez inventer le tableau de signes d'une fonction $f$ et le tableau de variations d'une fonction $g$. Puis vous inventerez 6 propositions vraies ou fausses. Enfin vous proposerez un correction de votre exercice.
|
||
|
|
\end{exercise}
|
||
|
|
|
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|
|
\begin{exercise}[subtitle={Tableaux de signes}, step={4}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
|
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|
Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
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\begin{tasks}(3)
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\task $f(x) = 2x$
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\task $g(x) = 5x$
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|
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\task $h(x) = x + 2$
|
||
|
|
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||
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\task $i(x) = x - 5$
|
||
|
|
\task $j(x) = x - 1$
|
||
|
|
\task $k(x) = 2x + 4$
|
||
|
|
|
||
|
|
\task $l(x) = 6x - 12$
|
||
|
|
\task $m(x) = -2x + 6$
|
||
|
|
\task $n(x) = -5x - 10$
|
||
|
|
\end{tasks}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Tableaux de signes et produit}, step={4}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}. mode={\trainMode}]
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Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
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\begin{tasks}(3)
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\task $f(x) = (x + 1)(x - 1)$
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\task $g(x) = (x - 2)(x - 5)$
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\task $h(x) = 2x (x - 1)$
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\task $i(x) = (2x + 6)(3x - 12)$
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\task $j(x) = (x - 1)(-5x + 10)$
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\task $j(x) = (x + 1)(-x + 2)$
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\end{tasks}
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\end{exercise}
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