diff --git a/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/exercises.tex b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/exercises.tex new file mode 100644 index 0000000..0308f76 --- /dev/null +++ b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/exercises.tex @@ -0,0 +1,214 @@ +\begin{exercise}[subtitle={Mobilités}, step={1}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}] + On a réalisé une enquête dans un lycée où il y a \np{1200} élèves. + \begin{enumerate} + \begin{minipage}{0.45\textwidth} + \item Reproduire et compléter le tableau ci-contre avec les informations suivantes. + \begin{itemize}[leftmargin=*] + \item 42.5\% des élèves habitent en centre-ville. + \item 50\% des élèves utilisent les transports en commun et parmi eux, 75\% habitent en périphérie. + \item 180 utilisent la voiture dont 30 habitent en centre-ville. + \item 25\% des élèves viennent à pied. + \item Parmi les cyclistes, il a trois fois plus d'élèves qui habitent en périphérie qu'en centre-ville. + \end{itemize} + \end{minipage} + \hfill + \begin{minipage}{0.45\textwidth} + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + & Centre-ville & Périphérie & Total \\ + \hline + Voiture & & & \\ + \hline + Vélo & & & \\ + \hline + À pied & & & \\ + \hline + Autre & & & \\ + \hline + Total & & & \np{1200} \\ + \hline + \end{tabular} + \end{minipage} + + \item Avec les notations suivantes, décrire avec une phrase puis calculer l'effectif des ensembles + \[ + A = \left\{ \mbox{habite en centre-ville} \right\} \qquad + B = \left\{ \mbox{utilise de vélo} \right\} + \] + \[ + A \cap B \qquad A \cup B \qquad \overline{A} \qquad \overline{A}\cap B \qquad \overline{ A \cup B} + \] + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Erreur de contrôle}, step={1}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}] + Une entreprise fabrique en grande série des pièces. Les aléas de productions font que 5\% des pièces ont un défaut. Cette entreprise dispose d'un appareil qui contrôle la qualité des pièces. Cet appareil accepte toutes les pièces sans défauts, mais ne refuse que 80\% des pièces qui ont un défaut. + \begin{minipage}{0.5\textwidth} + \begin{enumerate} + \item On considère un échantillon de \np{10000} pièces représentatif. Compléter le tableau croisé ci-contre. + \item On note les ensembles suivants: + \begin{itemize} + \item $D = \left\{ \mbox{avec défaut} \right\}$ + \item $A = \left\{ \mbox{Accéptée} \right\}$ + \end{itemize} + Écrire avec les notations ensemblistes les ensembles ci-dessous puis calculer les probabilités associées. + \end{enumerate} + \end{minipage} + \hfill + \begin{minipage}{0.45\textwidth} + + \begin{tabular}{|c|c|c|c|} + \hline + & Avec défaut & Sans défaut & Total \\ + \hline + Acceptées & & & \\ + \hline + Refusées & & & \\ + \hline + Total & & & \\ + \hline + \end{tabular} + \end{minipage} + \begin{multicols}{3} + \begin{enumerate} + \item $\left\{ \mbox{avec défaut et acceptée} \right\}$ + \item $\left\{ \mbox{sans défaut ou acceptée} \right\}$ + \item $\left\{ \mbox{refusée ou sans défaut} \right\}$ + \end{enumerate} + \end{multicols} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Étranges poissons}, step={2}, origin={Mon cru}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\searchMode}] + Le tableau suivant indique les quantités de poissons d'un étang ayant certaines caractéristiques. + + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{4}{c|}|c|} + \hline + & nageoires & ailerons & pattes & total \\ + \hline + bleu & 54 & 10 & 30 & 94 \\ + \hline + vert & 20 & 50 & 34 & 104 \\ + \hline + \hline + total & 74 & 60 & 64 & 198 \\ + \hline + \end{tabular} + \end{center} + + On pèche un poisson au hasard dans cet étang. Calculer les quantités suivantes en utilisant les bonnes notations. + + \begin{enumerate} + \item La probabilité que le poisson soit bleu et ait des ailerons. + \item La probabilité que le poisson soit vert et n'ai pas de pattes. + \item Si on ne pèche que des poissons à nageoires, la probabilité qu'il soit bleu. + \item Si on ne pèche que des poissons bleus, la probabilité qu'il ait des pattes. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Orientation}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}] + On a fait une étude sur l'orientation des élèves en filière technologique et on a rassemblé les résultats dans le tableau ci-dessous + \begin{center} + \begin{tabular}{|*{4}{c|}|c|} + \hline + & STI2D & STMG & ST2S & total \\ + \hline + Garçon & 11 & 10 & 22 & 43 \\ + \hline + Fille & 5 & 20 & 10 & 35 \\ + \hline + \hline + total & 16 & 30 & 32 & 78 \\ + \hline + \end{tabular} + \end{center} + + On note les ensembles suivants : + \begin{multicols}{3} + \begin{itemize} + \item G = "L'élève est un garçon" + \item F = "L'élève est une fille" + \item D = "Élève de STI2D" + \item M = "Élève de STMG" + \item S = "Élève de ST2S" + \end{itemize} + \end{multicols} + Calculer les quantités suivantes + \begin{multicols}{3} + \begin{enumerate} + \item $P(G \cap S)$ + \item $P_G(S)$ + \item $P(F \cap D)$ + \item $P_D(F)$ + \item $P(G \cup M)$ + \item $P_F(M)$ + \end{enumerate} + \end{multicols} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Impression de livres}, step={2}, origin={???}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}] + L'étude de la répartition des livres produit dans une imprimerie donne les résultats suivants + \begin{itemize} + \item 60\% sont des romans et un quart d'entre eux sont au format de non poche + \item 25\% sont des essais et un cinquième d'entre eux sont au format poche + \item le reste est constitué de livres de poésie. Et parmi ceux-là, deux tiers est au format poche. + \end{itemize} + \begin{enumerate} + \item Faire un tableau croisé des effectifs si l'on suppose que l'imprimerie fabrique au total 100 livres. + \item On choisit un livre au hasard, on note les évènements suivants + \[ + P = \left\{ \mbox{le livre est au format poche} \right\} \qquad E = \left\{ \mbox{le livre est un essai} \right\} + \] + \begin{enumerate} + \item Calculer la probabilité des évènements $E$ et $P$. + \item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $E\cap P$ + \item Décrire avec une phrase puis calculer la probabilité de l'évènement $\overline{E}$ + \end{enumerate} + \item Calculer la quantité $P_E(P)$ et interpréter le résultat. + \item Traduire en termes de probabilité la phrase "20\% des essais sont au format poche". + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Villes et voitures}, step={2}, origin={Le livre scolaire}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}] + Dans une ville A, 30 \% des habitants n'ont pas de voiture, contre 10 \% dans la ville B voisine et 16 \% dans la ville C. Or les habitants de A représentent 12 \% de cette agglomération, les habitants de la ville B en représentent 38 \% et ceux de C en représentent 50 \%. + + On interroge un habitant de l'agglomération au hasard. Quelle est la probabilité qu'il vienne de la ville A et qu'il n'ait pas de voiture ? Même question pour les habitants de la ville B et C. +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Tests Covid}, step={3}, origin={Ma tête}, topics={ Probabilité Conditionnelles }, tags={Probabilité}, mode={\trainMode}] + En 2020, on pouvait lire l'article suivant dans le monde. + + Dans la suite on note $P=$"test positif" et $I=$"patient infecté". + \begin{enumerate} + \item Chercher dans l'article les valeurs de la sensibilité et de la spécificité du test Covid. Puis traduire ces valeurs en terme de probabilités. + \item On se place dans le premier cas où 1\% de la population est infecté. + + \begin{minipage}{0.5\linewidth} + \begin{enumerate} + \item On étudie une population de 1000 individus. Compléter le tableau suivant + + \item Calculer la probabilité que parmi les testés positifs, le patient ne soit pas infecté. + \item Calculer la probabilité que parmi les testés négatif, le patient ne soit pas infecté. + \end{enumerate} + \end{minipage} + \begin{minipage}{0.5\linewidth} + \begin{tabular}{|*{3}{c|}c|} + \hline + & infecté & non infecté & total \\ + \hline + Test positif & & & \\ + \hline + Test négatif & & & \\ + \hline + total & & & 1000 \\ + \hline + \end{tabular} + \end{minipage} + \item Mêmes questions pour le cas où 10\% de la population est infectée. + \item Mêmes questions pour le cas où 30\% de la population est infectée. + \item Que pensez-vous de ces tests? + \end{enumerate} + + \includegraphics[scale=0.6, angle=90]{./fig/resultat_test} + +\end{exercise} diff --git a/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/fig/resultat_test.jpg b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/fig/resultat_test.jpg new file mode 100644 index 0000000..bdffd08 Binary files /dev/null and b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/fig/resultat_test.jpg differ diff --git a/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/index.rst b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/index.rst new file mode 100644 index 0000000..6617da1 --- /dev/null +++ b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/index.rst @@ -0,0 +1,43 @@ +Probabilité Conditionnelles +########################### + +:date: 2023-04-19 +:modified: 2023-04-19 +:authors: Benjamin Bertrand +:tags: Probabilité, Tests +:category: 1ST +:summary: Étude des probabilités conditionnelles par analogie avec les fréquences conditionnelles. + + +Éléments du programme +===================== + +Contenus +--------- + +- Probabilité conditionnelle ; notation PA(B). + +Capacités attendues +-------------------- + +- Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs. + +Commentaires +------------- + +- On explicite l’expérience aléatoire sous-jacente qui consiste à prélever au hasard un individu dans la population étudiée. +- Il s’agit, en classe de première, de transposer aux probabilités conditionnelles le travail sur les fréquences conditionnelles, en calculant la probabilité de B sachant A sous la forme: (formule de Bayes). La représentation à l’aide d’un arbre de probabilités et la formule des probabilités totales relèvent du programme de la classe terminale. +- Des situations issues de différents domaines (économique, industriel, médical…) sont proposées. Ce travail permet notamment de donner du sens au vocabulaire des tests diagnostiques: faux positifs, faux négatifs, spécificité et sensibilité d’un test. + +Progression +=========== + +Plan de travail + +.. image:: ./plan_de_travail.pdf + :height: 200px + :alt: Plan de travail + + +Étape 1: Retour sur les fréquences +---------------------------------- diff --git a/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.pdf b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.pdf new file mode 100644 index 0000000..ab4c638 Binary files /dev/null and b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.pdf differ diff --git a/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.tex b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.tex new file mode 100644 index 0000000..7fb8ac4 --- /dev/null +++ b/1ST/08_Probabilite_Conditionnelles/plan_de_travail.tex @@ -0,0 +1,45 @@ +\documentclass[a4paper,12pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Probabilité Conditionnelles - Plan de travail} +\tribe{1ST} +\date{avril 2023} + +\pagestyle{empty} + +\DeclareExerciseCollection{banque} +\xsimsetup{ +} + + +\begin{document} +\maketitle + +% Résumé + +\bigskip + +Savoir-faire de la séquence +\begin{itemize} + \item Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous forme de tableau croisé d’effectifs. +\end{itemize} + + +\section{Évènement et notation} + +\listsectionexercises + +\section{Probabilité conditionnelle} + +\listsectionexercises + +\section{Étude de cas} + +\listsectionexercises + +\input{exercises.tex} +\printcollection{banque} + + +\end{document}