From 1c2bd09f57e3cabeeee866ccac1ec8e69295e038 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Bertrand Benjamin Date: Thu, 26 Jan 2023 11:02:33 +0100 Subject: [PATCH] Feat(1ST): premier jet sur le chapitre des suites --- .../covid_0226_0301.csv | 6 + .../exercises.tex | 133 ++++++++++++++++++ 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/index.rst | 55 ++++++++ .../plan_de_travail.pdf | Bin 0 -> 49145 bytes .../plan_de_travail.tex | 45 ++++++ .../scripts/ascenseurs.py | 5 + .../scripts/emission.py | 6 + .../solutions.tex | 28 ++++ 8 files changed, 278 insertions(+) create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/covid_0226_0301.csv create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/exercises.tex create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/index.rst create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/plan_de_travail.pdf create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/plan_de_travail.tex create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/scripts/ascenseurs.py create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/scripts/emission.py create mode 100644 1ST/06_Generalite_sur_les_suites/solutions.tex diff --git a/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/covid_0226_0301.csv b/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/covid_0226_0301.csv new file mode 100644 index 0000000..9c87a2d --- /dev/null +++ b/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/covid_0226_0301.csv @@ -0,0 +1,6 @@ +jours,cas +26/02/20,18 +27/02/20,38 +28/02/20,57 +29/02/20,100 +01/03/20,130 diff --git a/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/exercises.tex b/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/exercises.tex new file mode 100644 index 0000000..1c3d852 --- /dev/null +++ b/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/exercises.tex @@ -0,0 +1,133 @@ +\begin{exercise}[subtitle={Cas de Covid en mars 2019}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\searchMode}] + \begin{minipage}{0.5\textwidth} + Ci-contre, un tableau reportant le nombre de cas cumulé de Covid autour du début du mois de mars 2020. + + \begin{enumerate} + \item Représenter les données du tableau avec un nuage de points (jour en abcisse et nombre de cas en ordonnée). + \item À partir des données du tableau, faire une estimation du nombre de cas pour le 2 mars puis pour le 10mars. + \item (\computerMode) Au 16mars, on dénombrait 6633 cas. Que pensez-vous de votre modèle ? + \item (\computerMode) Proposer un autre modèle qui pourrait se montrer plus précis. + \end{enumerate} + + \end{minipage} + \hfill + \begin{minipage}{0.4\textwidth} + \begin{tabular}{|l|c|}\hline% + \bfseries Jour & \bfseries Nombre de cas + \csvreader[head to column names]{./covid_0226_0301.csv}{}% + {\\\jours & \cas}% + \\\hline + \end{tabular} + + \smallskip + \textbf{Document:} Nombre de cas cumulé de covid + \end{minipage} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Modèle de propagation de l'épidémie, R0}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\searchMode \computerMode}] + Pour suivre une épidémie, un paramètre important est $R0$. Ce nombre décrit le nombre de personnes que l'on risque d'infecter si l'on est malade avant d'être soigné. + + \begin{enumerate} + \item Supposons que $R0$ soit égal à 2. C'est-à-dire que chaque personne malade risque de transmettre le virus à 2 autres personnes en une journée avant d'être soignée. + \begin{enumerate} + \item Supposons qu'au premier jour, il y ait 10 personnes malades. Combien seront malade le deuxième jour? Le 3e? et le 10e? + \item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour. + \item Modéliser la situation par une suite. Préciser la nature et les paramètres. + \item (\computerMode) Trouver une formule pour calculer le nombre de malades au 100e jour. + \item (\computerMode) En combien de jours, l'épidémie aura touché plus de 1000 personnes ? + \end{enumerate} + \item On suppose maintenant que $R0 = 1,2$ et qu'il y a 20 malades au premier jour. + \begin{enumerate} + \item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour? + \item Modéliser la situation par une suite et préciser les paramètres. + \item (\computerMode) Combien de personnes seront malades après 1 mois (31jours) ? + \end{enumerate} + \item Finalement, on suppose que $R0 = 0.8$ et qu'il y a 100 malades. + \begin{enumerate} + \item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour? + \item Modéliser la situation par une suite et préciser les paramètres. + \item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour. + \end{enumerate} + \item À quelle condition sur $R0$ la suite est croissante? Décroissante? + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Bilan suites géométries}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\groupMode}] + On suppose que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$. + + À quelle condition la suite est croissante? Décroissante? Reprendre les graphiques de l'exercice précédent pour illustrer ces deux situations. +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Polluants}, step={3}, origin={E3C 61 mai 2020}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\trainMode}] + On considère la suite u de premier terme $u(0) = 200$ et telle que pour tout entier positif n : + \[ + u(n+1) = u(n) + 20 + \] + \begin{enumerate} + \item Calculer u(1). + \begin{enumerate} + \item Quelle est la nature de la suite u? Argumenter la réponse. + \item Quel est le sens de variation de la suite u? Justifier la réponse. + \end{enumerate} + \item Sur la figure fournie en annexe à rendre avec la copie, les termes $u(0)$ et $u(1)$ de la suite sont représentés. Compléter la figure, en y représentant le terme $u(2)$ de la suite. + \item Parmi les situations suivantes, laquelle pourrait-être modélisée grâce à la suite u? Justifier la réponse. + \begin{itemize} + \item Situation A : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 10 \% de plus que l’année précédente. + \item Situation B : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 \% de plus que l’année précédente. + \item Situation C : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 de plus que l’année précédente. + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Polluants}, step={3}, origin={E3C 61 mai 2020}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\trainMode}] + Depuis l’an 2000, l’Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2015, la norme tolérée était fixée à 130 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif de l’Union Européenne est d’atteindre une émission de polluants inférieure à 60 milligramme par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2015, sa baisse est de 5,1\% par an + \begin{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item Justifier que la norme tolérée était d’environ 123 milligrammes par kilomètre en 2016. + \item Un véhicule émettait 120 milligrammes par kilomètre en 2017. Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année-là. + \end{enumerate} + \item Dans le cadre d’une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l’algorithme ci-dessous programmé sous Python : + \begin{center} + \begin{minipage}{0.9\linewidth} + \inputminted[bgcolor=base3]{python}{./scripts/emission.py} + \end{minipage} + \end{center} + \begin{enumerate} + \item Expliquer l’instruction « p = 0,949* p ». + \item Deux lignes de l’algorithme comportent des cases vides. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l’année recherchée. + \end{enumerate} + \item Grâce à son algorithme, Louise a conclu qu’à partir de 2030 l’objectif de l’Union Européenne serait atteint. Vérifier à l’aide d’un calcul qu’elle a raison + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Polluants}, step={3}, origin={E3C 61 mai 2020}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\trainMode}] + Une entreprise de maintenance d’ascenseurs estime que le nombre d’interventions effectuées chaque année augmente régulièrement de 4\%. En 2019, ses 20 salariés ont effectué 1 200 interventions. + \begin{enumerate} + \item Combien peut-on prévoir d’interventions en 2020 ? En 2021 ? + \item Pour tout entier naturel n, on note un le nombre annuel d’interventions effectuées par la société durant l’année 2019+n. On a donc u0 = 1200. + \begin{enumerate} + \item Pour tout entier naturel n, montrer que un+1 = 1,04un et en déduire la nature de la suite (un). + \item Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n. + \end{enumerate} + \item L’entreprise estime que, lorsque le cap des 1 400 interventions annuelles sera dépassé, elle devra embaucher une personne supplémentaire. En quelle année l’entreprise devra- t-elle embaucher ce nouveau salarié ? + + L’entreprise décide d’embaucher un nouveau salarié à chaque palier de 200 interventions annuelles supplémentaires. + + Le programme ci-dessous est écrit en Python : + + \begin{center} + \begin{minipage}{0.9\linewidth} + \inputminted[bgcolor=base3]{python}{./scripts/ascenseurs.py} + \end{minipage} + \end{center} + + Lorsque l’instruction \mintinline{python}{ascenseurs(30)} est exécutée, l’algorithme renvoie la liste suivante : + + [1200, 1248, 1297, 1348, 1401, 1457, 1515, 1575, 1638, 1703, 1771, 1841, 1914, 1990, 2069, + 2151, 2237, 2326, 2419, 2515, 2615, 2719, 2827, 2940, 3057, 3179, 3306, 3438, 3575, 3718, + 3866] + + Combien de salariés comptera l’entreprise en 2049 ? + \end{enumerate} +\end{exercise} diff --git a/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/index.rst b/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/index.rst new file mode 100644 index 0000000..653a89b --- /dev/null +++ b/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/index.rst @@ -0,0 +1,55 @@ +Généralité sur les suites +######################### + +:date: 2023-01-26 +:modified: 2023-01-26 +:authors: Benjamin Bertrand +:tags: Suite, Tableur +:category: 1ST +:summary: Retour sur les suites et formalisation + + +Éléments du programme +===================== + +Contenus +-------- + +Les suites comme modèles mathématiques d’évolutions discrètes : + +- différents modes de génération d’une suite numérique ; +- sens de variation ; +- représentation graphique: nuage de points (n,u(n)). + +Les suites arithmétiques comme modèles discrets d’évolutions absolues constantes (croissance linéaire) et les suites géométriques (à termes strictement positifs) comme modèles discrets d’évolutions relatives constantes (croissance exponentielle): + +- relation de récurrence ; +- sens de variation ; +- représentation graphique. + +Capacités attendues +-------------------- + +- Modéliser une situation à l’aide d’une suite. +- Reconnaître si une situation relève d’un modèle discret de croissance linéaire ou exponentielle. +- Calculer un terme de rang donné d’une suite définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence. +- Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d'une suite. +- Conjecturer, à partir de sa représentation graphique, la nature arithmétique ou +- Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique à l’aide de la raison. + +Commentaires +------------ + +Progression +=========== + +On prend le parti de faire beaucoup d'informatique en particulier du tableur et du python. + +Étape 1: Modélisation par une suite +----------------------------------- + +Étape 2: Formule de récurrence +------------------------------ + +Étape 3: Variations +------------------- diff --git a/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/plan_de_travail.pdf b/1ST/06_Generalite_sur_les_suites/plan_de_travail.pdf new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..8cb0cbceec7a16c8edb53331e85972238c78a2de GIT binary patch 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