\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, points=7] \begin{enumerate} \item % Taux d'évolution Une paire de chaussures coûte 120 €. Pendant les soldes, elle est vendue à 90 €. Déterminer le pourcentage de réduction appliqué. \vfill \item % évolution et multiplication Une quantité est augmentée de 15\%. Par combien est-elle multipliée ? \vfill \item % Double développement Développer l'expression suivante \[ (3x-1)(-x+2)= \] \item % Résolution d'inéquation Résoudre l'inéquation \[ -3x + 10 \geq 0 \] \item % Tableau signe et variation à partir inéquation On a fait le calcul suivant \[ f'(x) \geq 0 \qquad \cdots \qquad x \leq -2 \] Tracer le tableur de signe de $f(x)$ correspondant. \begin{center} \small \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=6]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/1, Variations de $f(x)$/1}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}% \tkzTabLine{,,}% \tkzTabVar{,}% \end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{tikzpicture}[grow=down, sloped, scale=0.7] \tikzset{level 1/.style={sibling distance=6cm}} \tikzset{level 2/.style={sibling distance=3cm}} \tikzset{level 3/.style={sibling distance=1.5cm}} \node {.} child {node {C} child {node {C} child {node {C} edge from parent node[above] {0.3} } child {node {$\overline{C}$} edge from parent node[above] {0.7} } edge from parent node[above] {0.3} } child {node {$\overline{C}$} child {node {C} edge from parent node[above] {0.3} } child {node {$\overline{C}$} edge from parent node[above] {0.7} } edge from parent node[above] {0.7} } edge from parent node[above] {0.3} } child { node {$\overline{C}$} child {node {C} child {node {C} edge from parent node[above] {0.3} } child {node {$\overline{C}$} edge from parent node[above] {0.7} } edge from parent node[above] {0.3} } child {node {$\overline{C}$} child {node {C} edge from parent node[above] {0.3} } child {node {$\overline{C}$} edge from parent node[above] {0.7} } edge from parent node[above] {0.7} } edge from parent node[above] {0.7} }% ; \end{tikzpicture} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{5} \item $P(C\overline{C}C) = $ \vspace{1cm} \item $P(1C \mbox{ et } 2 \overline{C}) = $ \end{enumerate} \end{minipage} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Résultats d'une entreprise}, points=6, step={2}, type={Exercise}] Soit $f$ la fonction définie sur $\intFF{0}{60}$ par $f(x) = -0,1x^2 + 6x - 50$. Cette fonction représente le résultat (en milion d'euros) que réalise une entrpirse pour la fabrication de $x$ milions de jouets. La représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ représentée ci dessous. \noindent \begin{minipage}{0.55\textwidth} \begin{enumerate} \item Recherche graphique \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le bénéfice maximal et le nombre de jouets fabriqués pour lequel ce maximum est atteint. \item Résoudre graphiquement $f(x) > 35$. Interpréter votre réponse. \end{enumerate} \item Recherche par le calcul \begin{enumerate} \item Calculer $f'$ la dérivée de $f$. \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$. \item En déduire la valeur du maximum de $f$ ainsi que la valeur de $x$ pour laquel il est atteind. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{tikzpicture}[xscale=0.6, yscale=0.7] \tkzInit[xmin=0,xmax=55,xstep=5, ymin=-5,ymax=45,ystep=5] \tkzGrid \tkzGrid[sub, subxstep=1, subystep=1] \tkzDrawX[label={Production}, below=-20pt] \tkzLabelX \tkzDrawY[label={Recettes}, left=-50pt] \tkzLabelY \tkzFct[domain=0:55,color=red,very thick]% { -0.1*\x**2+6*\x-50 }; \end{tikzpicture} \end{minipage} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Ruches}, points=7, step={2}, type={Exercise}] \noindent \begin{minipage}{0.6\textwidth} \begin{enumerate} \item On s'intéresse à une ruche qui n'est soumise ni au bruit ni à la pollution. Le graphique ci-contre représente l'évolution de la population en fonction des années. On note $n$ le numéro de l'année et $u_n$ le nombre d'abeilles à l'année $n$. \begin{enumerate} \item Quelle est la population la première année (année 0)? La deuxième année? \item Quelle est la nature de la suite $u_n$? Quels sont les paramètres? \item Quelle sera la population de cette ruche l'année 6? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.3\textwidth} \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.7] \tkzInit[xmin=0,xmax=6,xstep=1, ymin=6500,ymax=9000,ystep=500] \tkzGrid \tkzGrid[sub, subystep=100, subxstep=1] \tkzDrawX[label={année}, below=-20pt] \tkzLabelX \tkzDrawY[label={Nombre}, left=-30pt] \tkzLabelY \global\edef\tkzFctLast{7100+x*350} \foreach \va in {0, 1, ...,5}{% \tkzDefPointByFct[draw](\va)% } \end{tikzpicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item On s'intéresse à une riche perturbée par la pollution et le bruit. Elle est composée initialement de \np{50000} abeilles dont la reine mais sa population diminue de 8\% par an. \begin{enumerate} \item Quelle est la population de cette ruche après un an de perturbation? \item Expliquer pourquoi la population de cette ruche est multipliée par 0.92 chaque année. \end{enumerate} On modélise la population de cette ruche par la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0 = \np{50000}$ et de raison $q = 0.92$ \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{2} \item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$. \item Quelle formule doit-on entrer en B3 puis étirer vers le bas pour calculer population dans le tableau ci-contre? \item Tracer l'allure du nuage de points que l'on devrait avoir avec ce modèle (on ne vous demande pas quelque chose de précis). \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} \includegraphics[scale=0.5]{./fig/tableur} \end{minipage} \end{enumerate} \end{exercise}