\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}] Pour chacun des graphiques ci-dessous compléter les tableaux pour trouver les nombres dérivés. \begin{enumerate} \item ~ \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{tikzpicture}[] \begin{axis}[ axis lines = center, grid = both, xlabel = {$x$}, xtick distance=1, ylabel = {$f(x)$}, ytick distance=1, legend pos = north west, ] \addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-x^2}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{tabular}{|m{2cm}|c|} \hline x & Nombre dérivé $f'(x)$\\ \hline -2 & \\ \hline -1 & \\ \hline 0 & \\ \hline 1 & \\ \hline 2 & \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \item ~ \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines = center, grid = both, xlabel = {$x$}, xtick distance=1, ylabel = {$f(x)$}, ytick distance=1, legend pos = north west, ] \addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{3*x}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{tabular}{|m{2cm}|c|} \hline x & Nombre dérivé $f'(x)$\\ \hline -2 & \\ \hline -1 & \\ \hline 0 & \\ \hline 1 & \\ \hline 2 & \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \item ~ \begin{minipage}{0.4\textwidth} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines = center, grid = both, xlabel = {$x$}, xtick distance=1, ylabel = {$f(x)$}, ytick distance=1, legend pos = north west, ] \addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{0.5*(x-1)^2-2}; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{tabular}{|m{2cm}|c|} \hline x & Nombre dérivé $f'(x)$\\ \hline -2 & \\ \hline -1 & \\ \hline 0 & \\ \hline 1 & \\ \hline 2 & \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \item Pour chacune des fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions ? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$ ? $f'(0,5)$ ? \end{enumerate} \pagebreak \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Utilisation de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}] Ci-dessous, vous trouverez des couples de fonction avec leur dérivée. \begin{center} \begin{tabular}{cp{2cm}c} $f(x) = 5x^3 - x^2 + 0.3x + 1$ & & $g(x) = 0.3x^5 - 3x^2 + 5x + 1$ \\ $f'(x) = 15x^2 - 2x + 0.3$ & & $g'(x) = 1.5x^4 - 6x + 5$ \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse $x=2$ \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=2$? \item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $g$ au point d'abscisse $x=5$ \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=5$? \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=1$? \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=4$? \item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=111$? \item Vérifier vos résultats en traçant les fonctions $f$ et $g$ sur votre calculatrice. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Calcul de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\groupMode}] \begin{center} \begin{tabular}{l|l|l|l|l} $f(x) = 2x + 1$ & $g(x) = 3$ & $h(x) = 5x + 1$ & $i(x) = x^2 + x + 1$ & $j(x) = 3x^2 - 10x - 100$\\ $f'(x) = 2$ & $g'(x) = 0$ & $h'(x) = 5$ & $i'(x) = 2x + 1$ & $j'(x) = 6x - 10$ \end{tabular} \end{center} En observant les couples fonctions et dérivées précédentes, déterminer les fonctions dérivées suivantes \begin{center} \begin{tabular}{l|l|l|l|l} $f(x) = 4$ & $g(x) = 3x+2$ & $h(x) = -7x + 19$ & $i(x) = x^2 + 3x + 9$ & $j(x) = 4x^2 - x - 100$\\ $f'(x) = ...$ & $g'(x) = ...$ & $h'(x) = ... $ & $i'(x) = ...$ & $j'(x) = ...$ \end{tabular} \end{center} Expliquer votre méthode pour déterminer ces dérivées. \end{exercise} % ------ % Fonction de degré 1 \begin{exercise}[subtitle={Fonction affines}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}] On définit la fonction $f(x) = 5x - 10$ dont on veut étudier les variations. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$. \item Quel est le signe de $f'(x)$? Que peut-on déduire sur la croissance de $f$? \item Recopier et compléter le tableau suivant \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}% \tkzTabLine{,,}% \tkzTabVar{,}% \end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \end{exercise} % ------ % Fonction de degré 2 \begin{exercise}[subtitle={Fonction polynôme}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}] On définit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 10$ dont on veut étudier les variations. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$. \item Quel est le signe de $f'(x)$? \item Recopier et compléter le tableau suivant \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}% \tkzTabLine{,,}% \tkzTabVar{,}% \end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \end{exercise} % ------ % Mise en situations \begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }] Le nombre d'offre "séjour exclusif" vendues peut être modélisé par la fonction suivante $N(x) = -0.6x + 219$ où $x$ désigne le prix de vente en euro. \begin{enumerate} \item On se place dans le cas où le prix de vente est de 150\euro. \begin{enumerate} \item Combien d'offres seront vendues dans ce cas? \item Quel sera alors les recettes pour cette vente? \end{enumerate} \item Mêmes questions dans le cas où le prix est de 200\euro? 300\euro. \item Est-il vrai que plus le nombre d'offres vendues est élévé plus les recettes le seront aussi? \item On veut étudier ces recettes. On note $R(x)$ la fonction qui modélise les recettes et où $x$ représente le prix de vente. \begin{enumerate} \item Expliquer que l'on a $R(x) = -0.6x^2 + 219x$ \item Calculer la dérivée de $R$. \item Dresser le tableau de variations de $R$. \item En déduire le prix de vente qui permet d'avoir une recette maximale. Combien vaut alors cette recette? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }] Une entreprise fabrique des flacons de crème de beauté. Cette entreprise peut fabriquer jusqu'à 60 flacons par jour. \begin{enumerate} \item Chaque flacon est vendu 250\euro. On note $R(x)$ les recettes des ventes journalière des flacons où $x$ désigne le nombre de flacon produit. Déterminer l'expression de $R$ en fonction de $x$. \item L'étude des coûts a mené à les modéliser par la fonction $C(x) = x^2 + 160x +800$. On note $B(x)$ la fonction qui modélise les bénéfices (recettes moins les coûts). \begin{enumerate} \item Est-il vrai que plus l'entreprise produit et vend plus elle fait des bénéfices? \item Démontrer que $B(x) = -x^2 + 90x -800$ \item Calculer la dérivée $B'$ de $B$. \item En déduire le tableau de variations de $B$ \item Combien de flacons doivent être produit pour maximiser les bénéfices? Quels seront alors ces bénéfices? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise}