\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Polynômes du 2e degré - Cours}
\tribe{1ST}
\date{Mars 2023}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\setcounter{section}{3}
\section{Racines et forme factorisée.}

\begin{definition}[Racine]
    On appelle \textbf{racine} d'un polynôme $f(x)$ une valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$.
\end{definition}

\paragraph{Exemple}
$3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$ car
\[
    f(3) = 3^2 - 2\times3 -3 = 9 - 6 - 3 = 0
\]

\begin{propriete}
    Une racine d'un polynôme correspond à l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe représentative du polynôme et l'axe des abscisses.
\end{propriete}

\paragraph{Exemple:} On a vu que $3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$. On peut aussi le "voir" sur un graphique, car la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=3$.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=1]
        \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
        ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x*x -2*x - 3}
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    \afaire{Trouver sur le graphique une autre racine puis démontrer que c'est bien une racine}
\end{minipage}

\begin{propriete}
    Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme du 2nd degré. Alors
    \begin{itemize}
        \item S'il a 2 racines $x_1$ et $x_2$ alors on peut le factoriser et on a
            \[
                f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
            \]
        \item S'il a 1 racine $x_1$ alors on peut le factoriser et on a
            \[
                f(x) = a(x-x_1)^2
            \]
        \item S'il n'a pas de racine, alors on ne peut pas le factoriser.
    \end{itemize}
\end{propriete}

\paragraph{Exemple}
\afaire{Proposer une factorisation de $f(x) = 2x^2-4x-6$}


\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
