\begin{exercise}[subtitle={Résultats d'une entreprise}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
    On souhaite évaluer la situation financière d'une entreprise. Pour cela, nous avons les chiffres d'affaires de quelques années

    \begin{center}
        \begin{tabular}{|p{7cm}|*{5}{c|}}
            \hline
            Année & 1980 & 1995 & 2000 & 2008 & 2020 \\
            \hline
            Chiffre d'affaires (en milliers d'euros) & 10 & 18 & 29 & 45 & 50 \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}

    \begin{enumerate}
        \item Tracer un repère et y placer les points pour représenter graphiquement le tableau.
        \item Sur quel période, la progression du chiffre d'affaires a été le plus rapide ?
        \item Trouver une façon de vérifier ce classement grâce au graphique.
        \item Trouver un calcul qui permet de justifier ce classement sans ambigüités.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{annexe}
    \begin{tabular}{|p{4cm}|*{4}{p{3cm}|}}
        \hline
        Période & 1980-1995 & 1995-2000 & 2000-2008 & 2008-2020 \\
        \hline
        Écart horizontal & & & & \\
        \hline
        Écart vertical & & & & \\
        \hline
        Rapport (vertical sur horizontal) & & & & \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{annexe}


\begin{exercise}[subtitle={Vitesse moyenne d'une balle}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    \noindent
    \begin{minipage}{0.55\linewidth}
        On lance une balle et on décrit la hauteur ($h$ en m) en fonction du temps ($t$ en secondes) dans le graphique ci-contre
    \begin{enumerate}
        \item Quelle est la hauteur de la balle après 5 s ?
        \item Calculer le taux de variation de la hauteur entre $t=0$ et $t=4$.
        \item Calculer la vitesse moyenne entre $t=2$ et $t=10$.
        \item Calculer la vitesse moyenne entre $t=10$ et $t=16$.
        \item (*) Comment peut on deviner avant de faire le calcul le signe du taux de variation (ou de la vitesse moyenne)?
    \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid = both,
                xlabel = {$t$ en s},
                xtick distance=2,
                ylabel = {$h$ en m},
                ytick distance=1,
                ]
                \addplot[domain=0:20,samples=20, color=red, very thick]{-0.1*x^2+2*x};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Taux de variations}, step={1}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = 3x + 1$ entre $x = 1$ et $x = 5$.
        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = -2x + 10$ entre $x = -3$ et $x = 4$.
        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = x^2 + x + 1$ entre $x = 5$ et $x = 10$.
        \item Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = x^2 - 5$ entre $x = -3$ et $x = 3$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On veut calculer
            \[
                \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1}
            \]
            Pour cela, il faut tout d'abord calculer $f(5)$ et $f(1)$
            \[
                f(5) = 3\times 5 + 1 = 15 + 1 = 16
                \qquad \qquad
                f(1) = 3\times 1 + 1 = 3 + 1 = 4
            \]
            Donc le taux de variation est
            \[
                \frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \frac{16 - 4}{5-1} = \frac{12}{4} = 3
            \]
            On peut interpréter cela en disant qu'en moyenne entre 1 et 5, la fonction a augmenté de 3 par unité.
        \item
            \[
                f(4) = -2\times 4 + 10 = 2 \qquad \qquad
                f(-3) = -2\times (-3) + 10 = 16
            \]
            \[
                \frac{f(4) - f(-3)}{4 - (-3)} = \frac{2 - 16}{4 + 3} = \frac{-14}{7} = -2
            \]
        \item
            \[
                f(10) = 10^2 + 10 + 1 = 111
                \qquad \qquad
                f(5) = 5^2 + 5 + 1 = 31
            \]
            \[
                \frac{f(10) - f(5)}{10 - 5} = \frac{111 - 31}{10 - 5} = \frac{80}{5} = 16
            \]
        \item
            \[
                f(3) = 3^2 - 5 = 4
                \qquad \qquad
                f(-3) = (-3)^2 - 5 = 4
            \]
            \[
                \frac{f(3) - f(-3)}{3 - (-3)} = \frac{4 - 4}{6} = 0
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

% Tangente et taux de variation
\begin{exercise}[subtitle={Tangente}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
    Dans cet exercice, nous allons étudier comment se comporte le taux d'accroissement et la corde quand on fixe un point et que l'on fait se rapprocher l'autre point. L'étude de ce comportement mènera au concept de tangente.
    \begin{enumerate}
        \item Avec une fonction représentée par le graphique ci-dessous.

            \begin{minipage}{0.45\linewidth}
                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid= both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        ymin = 0,
                        ymax = 11,
                        ]
                        \addplot[domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{(x-3)^2 + 1};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                \begin{enumerate}
                    \item On fixe le point $A$ qui est sur la courbe à l'abscisse 1. Repérer ce point sur le graphique. Quelle est la valeur de $f(1)$?
                    \item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 5. Calculer le taux de variations entre 1 et 5.
                    \item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 4. Calculer le taux de variations entre 1 et 4.
                    \item Faire la même chose pour l'abscisse 3, 2 puis 1,5.
                \end{enumerate}
            \end{minipage}

            \begin{enumerate}
                \setcounter{enumi}{4}
                \item Que peut-on observer sur les cordes?
            \end{enumerate}

        \item Avec une fonction représentée par la formule: $f(x) = (x-3)^2 + 1$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 2.
                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 1,5.
                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 1,25.
                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 0.
                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 0,5.
                \item Calculer le taux de variation entre 1 et 0,75.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Tracer des tangentes}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    Tracer les tangentes aux points marqués sur les graphiques

    \pgfkeys{tikz/.cd}
    \tikzset{tangent/.style={black,thick},
        tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                    mark=at position #1 with {\fill[tangent] (axis direction cs:0,0) circle (2pt);}
        }}},
    }

    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid= both,
                xlabel = {$x$},
                xtick distance=1,
                ylabel = {$f(x)$},
                ytick distance=1,
                ymin = 0,
                ymax = 11,
                ]
                \addplot[tangent at/.list={0.29,0.645,0.795},domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{(x-3)^2 + 1};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid= both,
                xlabel = {$x$},
                xtick distance=1,
                ylabel = {$f(x)$},
                ytick distance=1,
                ]
                \addplot[domain=-2:2,samples=50, color=red, very thick,tangent at/.list={0.25,0.5,0.865}]{sin(deg(x*pi/2))*5};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \pgfkeys{tikz/.cd,
        tangent length/.store in=\TangentLength,
        tangent length=30mm
    }
    \tikzset{tangent/.style={black,thick},
        tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                    mark=at position #1 with {\draw[tangent] (axis direction cs:-\TangentLength,0) -- (axis direction cs:\TangentLength,0);
        \fill[tangent] (axis direction cs:0,0) circle (2pt);}}}},
    }
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid= both,
                xlabel = {$x$},
                xtick distance=1,
                ylabel = {$f(x)$},
                ytick distance=1,
                ymin = 0,
                ymax = 11,
                ]
                \addplot[tangent at/.list={0.29,0.64,0.795},domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{(x-3)^2 + 1};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid= both,
                xlabel = {$x$},
                xtick distance=1,
                ylabel = {$f(x)$},
                ytick distance=1,
                ymin=-6, ymax=6,
                ]
                \addplot[domain=-2:2,samples=50, color=red, very thick,tangent at/.list={0.24715,0.5,0.865}]{sin(deg(x*pi/2))*5};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
\end{solution}


\begin{exercise}[subtitle={Tracer une courbe}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item Tracer une courbe passant par les points.

                \begin{tikzpicture}[yscale=1.2]
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid= both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        ymin = -6,
                        ymax = 6,
                        ]
                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-2,-3) (-1,-5) (0,0) (1.5,5) (2,2)};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}

            \item Tracer une courbe passant par les points en respectant les tangentes.

                \begin{tikzpicture}[yscale=1.2]
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid= both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        ymin = -6,
                        ymax = 6,
                        ]
                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-2,-3) (-1,-5) (0,0) (1.5,5) (2,2)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-2,-3) (-1.8, -3.5)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-1.2,-5) (-0.8, -5)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-0.2,0) (0.2, 0)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(1.3, 4.8) (1.7, 5.2)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(1.8, 2) (2, 2)};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
        \item
            Tracer une courbe qui respecte les points et les tangentes représentées dans les graphiques suivants.

            \pgfkeys{tikz/.cd,
                tangent length/.store in=\TangentLength,
                tangent length=7mm
            }
            \tikzset{tangent/.style={black,thick},
                tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                            mark=at position #1 with {\draw[tangent] (-\TangentLength,0) -- (\TangentLength,0);
                \fill[tangent] (0,0) circle (2pt);}}}},
            }

            \begin{tikzpicture}[yscale=1.2]
                % Axes
                \draw [-latex] (-0.5,0) -- (8,0) node [above] {$x$};
                \draw [-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node [right] {$y$};
                % Origin
                \node at (0,0) [below left] {$0$};
                % Points
                \coordinate (start) at (0,-0.8);
                \coordinate (c1) at (3,3);
                \coordinate (c2) at (5,1.5);
                \coordinate (c3) at (6,4);
                \coordinate (end) at (8,2);
                % show the points
                % \foreach \n in {start,c1,c2,c3,end} \fill [black] (\n)
                %     circle (2pt) node [below] {};
                % join the coordinates
                \path [tangent at/.list={0.15,0.3,...,1}] (start) to[out=70,in=180] (c1) to[out=0,in=180]
                (c2) to[out=0,in=180] (c3) to[out=0,in=150] (end);
            \end{tikzpicture}
            \hfill
            \begin{tikzpicture}[yscale=1.2]
                % Axes
                \draw [-latex] (-4,0) -- (4,0) node [above] {$x$};
                \draw [-latex] (0,-3) -- (0,3) node [right] {$y$};
                % Origin
                \node at (0,0) [below left] {$0$};
                % Points
                \coordinate (start) at (-4,-1);
                \coordinate (c1) at (-2,3);
                \coordinate (c2) at (0,1);
                \coordinate (c3) at (2,-2);
                \coordinate (end) at (4,0);
                % show the points
                % \foreach \n in {start,c1,c2,c3,end} \fill [black] (\n)
                %     circle (2pt) node [below] {};
                % join the coordinates
                \path [tangent at/.list={0.2,0.4,...,1}] (start) to[out=70,in=180] (c1) to[out=0,in=180]
                (c2) to[out=0,in=180] (c3) to[out=0,in=150] (end);
            \end{tikzpicture}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item

                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid= both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        ymin = -6,
                        ymax = 6,
                        ]
                        \addplot [black, mark=*, very thick] coordinates {(-2,-3) (-1,-5) (0,0) (1.5,5) (2,2)};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}

            \item

                \begin{tikzpicture}
                    \begin{axis}[
                        axis lines = center,
                        grid= both,
                        xlabel = {$x$},
                        xtick distance=1,
                        ylabel = {$f(x)$},
                        ytick distance=1,
                        ymin = -6,
                        ymax = 6,
                        ]
                        \addplot [black, mark=*, very thick, only marks] coordinates {(-2,-3) (-1,-5) (0,0) (1.5,5) (2,2)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-2,-3) (-1.8, -3.5)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-1.2,-5) (-0.8, -5)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(-0.2,0) (0.2, 0)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(1.3, 4.8) (1.7, 5.2)};
                        \addplot [mark=, very thick] coordinates {(1.8, 2) (2, 2)};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
        \item
            Tracer une courbe qui respecte les points et les tangentes représentées dans les graphiques suivants.

            \pgfkeys{tikz/.cd,
                tangent length/.store in=\TangentLength,
                tangent length=7mm
            }
            \tikzset{tangent/.style={black,thick},
                tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                            mark=at position #1 with {\draw[tangent] (-\TangentLength,0) -- (\TangentLength,0);
                \fill[tangent] (0,0) circle (2pt);}}}},
            }

            \begin{tikzpicture}[scale=1]
                % Axes
                \draw [-latex] (-0.5,0) -- (8,0) node [above] {$x$};
                \draw [-latex] (0,-0.5) -- (0,4) node [right] {$y$};
                % Origin
                \node at (0,0) [below left] {$0$};
                % Points
                \coordinate (start) at (0,-0.8);
                \coordinate (c1) at (3,3);
                \coordinate (c2) at (5,1.5);
                \coordinate (c3) at (6,4);
                \coordinate (end) at (8,2);
                % show the points
                % \foreach \n in {start,c1,c2,c3,end} \fill [black] (\n)
                %     circle (2pt) node [below] {};
                % join the coordinates
                \draw [tangent at/.list={0.15,0.3,...,1}] (start) to[out=70,in=180] (c1) to[out=0,in=180]
                (c2) to[out=0,in=180] (c3) to[out=0,in=150] (end);
            \end{tikzpicture}
            \hfill
            \begin{tikzpicture}[scale=1]
                % Axes
                \draw [-latex] (-4,0) -- (4,0) node [above] {$x$};
                \draw [-latex] (0,-3) -- (0,3) node [right] {$y$};
                % Origin
                \node at (0,0) [below left] {$0$};
                % Points
                \coordinate (start) at (-4,-1);
                \coordinate (c1) at (-2,3);
                \coordinate (c2) at (0,1);
                \coordinate (c3) at (2,-2);
                \coordinate (end) at (4,0);
                % show the points
                % \foreach \n in {start,c1,c2,c3,end} \fill [black] (\n)
                %     circle (2pt) node [below] {};
                % join the coordinates
                \draw [tangent at/.list={0.2,0.4,...,1}] (start) to[out=70,in=180] (c1) to[out=0,in=180]
                (c2) to[out=0,in=180] (c3) to[out=0,in=150] (end);
            \end{tikzpicture}
    \end{enumerate}
\end{solution}

% Nombre dérivé et tangente


\begin{exercise}[subtitle={Lire le nombre dérivé}, step={3}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    Sur les courbes suivantes, tracer les tangentes aux points puis lire graphiquement le nombre dérivé.

    \pgfkeys{tikz/.cd}
    \tikzset{tangent/.style={black,thick},
        tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                    mark=at position #1 with {\fill[tangent] (axis direction cs:0,0) circle (2pt);}
        }}},
    }
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid= both,
                xlabel = {$x$},
                xtick distance=1,
                ylabel = {$f(x)$},
                ytick distance=1,
                ymin=-2,
                ]
                \addplot[tangent at/.list={0,0.29,0.78},domain=-4:4,samples=20, color=red, very thick]{0.1*(x+1)^3 + 1};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \pgfkeys{tikz/.cd}
        \tikzset{tangent/.style={black,thick},
            tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                        mark=at position #1 with {\fill[tangent] (0,0) circle (3pt);}
            }}},
        }
        \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.8]
                % Axes
                \draw [-latex, thick] (-0.5,0) -- (15,0) node [above] {$x$};
                \draw [-latex, thick] (0,-3.5) -- (0,5) node [left] {$f(x)$};
                \draw [very thin] (0,-3) grid (15,5);
                % Origin
                \node at (0,0) [below left] {$0$};
                % Points
                \coordinate (start) at (0,-3);
                \coordinate (c1) at (3,0);
                \coordinate (c2) at (7,4);
                \coordinate (c3) at (11,1);
                \coordinate (end) at (15,5);

                \draw [tangent at/.list={0.21,0.49,0.72,1}] (start) to [out=0,in=225] (c1) to[out=45,in=180] (c2) to[out=0,in=180] (c3) to[out=0,in=225] (end);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

\end{exercise}

\begin{solution}
    \pgfkeys{tikz/.cd}
    \tikzset{tangent/.style={black,thick},
        tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                    mark=at position #1 with {\fill[tangent] (axis direction cs:0,0) circle (2pt);}
        }}},
    }
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \begin{tikzpicture}
            \begin{axis}[
                axis lines = center,
                grid= both,
                xlabel = {$x$},
                xtick distance=1,
                ylabel = {$f(x)$},
                ytick distance=1,
                ymin=-2,
                ]
                \addplot[tangent at/.list={0,0.29,0.78},domain=-4:4,samples=20, color=red, very thick]{0.1*(x+1)^3 + 1};
            \end{axis}
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        \pgfkeys{tikz/.cd}
        \tikzset{tangent/.style={black,thick},
            tangent at/.style={postaction={decorate,decoration={markings,
                        mark=at position #1 with {\fill[tangent] (axis direction cs:0,0) circle (2pt);}
            }}},
        }
        \begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.8]
            % Axes
            \draw [-latex, thick] (-0.5,0) -- (15,0) node [above] {$x$};
            \draw [-latex, thick] (0,-3.5) -- (0,5) node [left] {$f(x)$};
            \draw [very thin] (0,-3) grid (15,5);
            % Origin
            \node at (0,0) [below left] {$0$};
            % Points
            \coordinate (start) at (0,-3);
            \coordinate (c1) at (3,0);
            \coordinate (c2) at (7,4);
            \coordinate (c3) at (11,1);
            \coordinate (end) at (15,5);

            \draw [tangent at/.list={0.21,0.49,0.72,1}] (start) to [out=0,in=225] (c1) to[out=45,in=180] (c2) to[out=0,in=180] (c3) to[out=0,in=225] (end);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Tracer la courbe avec les nombres dérivés}, step={3}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    Pour chacun des tableaux ci-dessous, placer les points, puis tracer les tangentes et enfin tracer une courbe qui respecte les points et les tangentes.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item
                \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
                    \hline
                    $x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
                    \hline
                    $f(x)$ & 3 & 1 & -1 & -3 & 1\\
                    \hline
                    $f'(x)$ & 0 & -1 & -1 & 0 & 0\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \item
                \begin{tabular}{|c|*{5}{c|}}
                    \hline
                    $x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\
                    \hline
                    $g(x)$ & 0 & 2 & 4 & 0 & -3\\
                    \hline
                    $g'(x)$ & 2 & 1 & 0 & -2 & 0\\
                    \hline
                \end{tabular}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    \begin{enumerate}
        \item (*) Que peut-on dire des points où le nombre dérivé est nul?
    \end{enumerate}
\end{exercise}
