\begin{exercise}[subtitle={Calculs de dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes

    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = - 6x - 7$
            \item $g(x) = 10x + 3$
            \item $h(x) = - 4x - 3$
            \item $i(x) = - 10x - 7$
            \item $j(x) = - 8x - 4$
            \item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$
            \item $l(x) = - 10x + 6$
            \item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$
            \item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$
            \item $o(x) = 5x^{2}$
            \item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$
            \item $q(x) = - 2x^{2} - 4$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = - 6x - 7$

                \[
                    f'(x) = - 6
                \]
            \item $g(x) = 10x + 3$

                \[
                    g'(x) = 10
                \]
            \item $h(x) = - 4x - 3$

                \[
                    h'(x) = - 4
                \]
            \item $i(x) = - 10x - 7$

                \[
                    i'(x) = - 10
                \]
            \item $j(x) = - 8x - 4$

                \[
                    j'(x) = - 8
                \]
            \item $k(x) = - 3x^{2} + 8x - 1$

                \[
                    k'(x) = - 6x + 8
                \]
            \item $l(x) = - 10x + 6$

                \[
                    l'(x) = - 10
                \]
            \item $m(x) = 10x^{2} + 5x + 6$

                \[
                    m'(x) = 20x + 5
                \]
            \item $n(x) = - 10x^{2} + 6x - 2$

                \[
                    n'(x) = - 20x + 6
                \]
            \item $o(x) = 5x^{2}$

                \[
                    o'(x) = 10x
                \]
            \item $p(x) = - 9x^{2} + 4x$

                \[
                    p'(x) = - 18x + 4
                \]
            \item $q(x) = - 2x^{2} - 4$

                \[
                    q'(x) = - 4x
                \]
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes:

    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = - 8x + 5$
            \item $g(x) = - 9x - 6$
            \item $h(x) = - 2x + 8$
            \item $i(x) = - 5x - 4$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Étude de la fonction $f(x) = - 8x + 5$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $f'(x) = - 8$
                \item Comme $- 8 < 0$ la fonction est décroissante
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
                            \tkzTabLine{,-,}%
                            \tkzTabVar{+/ ,-/ }%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $g(x) = - 9x - 6$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $g'(x) = - 9$
                \item Comme $- 9 < 0$ la fonction est décroissante
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
                            \tkzTabLine{,-,}%
                            \tkzTabVar{+/ ,-/ }%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $h(x) = - 2x + 8$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $h'(x) = - 2$
                \item Comme $- 2 < 0$ la fonction est décroissante
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
                            \tkzTabLine{,-,}%
                            \tkzTabVar{+/ ,-/ }%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $i(x) = - 5x - 4$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $i'(x) = - 5$
                \item Comme $- 5 < 0$ la fonction est décroissante
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{2cm}, \hspace{2cm}}%
                            \tkzTabLine{,-,}%
                            \tkzTabVar{+/ ,-/ }%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines - technique}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
    Reprendre l'exercice précédent pour les fonctions suivantes :

    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
            \item $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
            \item $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
            \item $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
            \item $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
            \item $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Étude de la fonction $f(x) = 3x^{2} + 10x - 3$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $f'(x) = 6x + 10$
                \item On résout l'inéquation $f'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $f'$ est positive.
                    \begin{align*}
                        f(x) & \geq 0 \\
                        6x + 10 & \geq 0 \\
                        6x + 10 + - 10 &\geq 0 + - 10 \\
                        6x &\geq - 10 \\
                        \frac{6x}{6} &\geq \frac{- 10}{6} \\
                        x &\geq \dfrac{- 5}{3} \\
                    \end{align*}
                    Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 5}{3}$
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 5}{3}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                            \tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 5}{3}) = \dfrac{- 102}{9}$ , +/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $g(x) = 4x^{2} + 2x - 2$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $g'(x) = 8x + 2$
                \item On résout l'inéquation $g'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $g'$ est positive.
                    \begin{align*}
                        g(x) & \geq 0 \\
                        8x + 2 & \geq 0 \\
                        8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
                        8x &\geq - 2 \\
                        \frac{8x}{8} &\geq \frac{- 2}{8} \\
                        x &\geq \dfrac{- 1}{4} \\
                    \end{align*}
                    Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 1}{4}$
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 1}{4}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                            \tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 1}{4}) = \dfrac{- 36}{16}$ , +/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $h(x) = - 4x^{2} + 2x - 7$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $h'(x) = - 8x + 2$
                \item On résout l'inéquation $h'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $h'$ est positive.
                    \begin{align*}
                        h(x) & \geq 0 \\
                        - 8x + 2 & \geq 0 \\
                        - 8x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
                        - 8x &\geq - 2 \\
                        \frac{- 8x}{- 8} &\leq \frac{- 2}{- 8} \\
                        x &\leq \dfrac{1}{4} \\
                    \end{align*}
                    Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{4}$
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{4}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, +, z, -,  }
                            \tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{4}) = \dfrac{- 108}{16}$ , -/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $i(x) = - 9x^{2} + 9x - 9$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $i'(x) = - 18x + 9$
                \item On résout l'inéquation $i'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $i'$ est positive.
                    \begin{align*}
                        i(x) & \geq 0 \\
                        - 18x + 9 & \geq 0 \\
                        - 18x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
                        - 18x &\geq - 9 \\
                        \frac{- 18x}{- 18} &\leq \frac{- 9}{- 18} \\
                        x &\leq \dfrac{1}{2} \\
                    \end{align*}
                    Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{1}{2}$
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{1}{2}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, +, z, -,  }
                            \tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{- 27}{4}$ , -/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $j(x) = - x^{2} + 8x + 4$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $j'(x) = - 2x + 8$
                \item On résout l'inéquation $j'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $j'$ est positive.
                    \begin{align*}
                        j(x) & \geq 0 \\
                        - 2x + 8 & \geq 0 \\
                        - 2x + 8 + - 8 &\geq 0 + - 8 \\
                        - 2x &\geq - 8 \\
                        \frac{- 2x}{- 2} &\leq \frac{- 8}{- 2} \\
                        x &\leq 4 \\
                    \end{align*}
                    Donc $j(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $4$
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $4$ ,}%
                            \tkzTabLine{, +, z, -,  }
                            \tkzTabVar{-/ ,+/$f(4) = 20$ , -/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
        \item Étude de la fonction $k(x) = 6x^{2} + 9x + 9$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $k'(x) = 12x + 9$
                \item On résout l'inéquation $k'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $k'$ est positive.
                    \begin{align*}
                        k(x) & \geq 0 \\
                        12x + 9 & \geq 0 \\
                        12x + 9 + - 9 &\geq 0 + - 9 \\
                        12x &\geq - 9 \\
                        \frac{12x}{12} &\geq \frac{- 9}{12} \\
                        x &\geq \dfrac{- 3}{4} \\
                    \end{align*}
                    Donc $k(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\dfrac{- 3}{4}$
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{- 3}{4}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                            \tkzTabVar{+/ ,-/$f(\dfrac{- 3}{4}) = \dfrac{90}{16}$ , +/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
    \end{enumerate}
\end{solution}
