\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}, step={1}, origin={classique}, topics={ Polynome du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\searchMode}]
    On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.

    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}

    Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible ?
\end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Identification des coefficients}, step={2}, origin={classique}, topics={ Polynome du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    Identifier les polynômes du 2nd et déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$.
    \begin{tasks}(3)
        \task $f(x) = 7x^2 + 2x + 0.2$
        \task $f(x) = -2x^2 - 8x + 2$
        \task $f(x) = 3x^3 - 10x - 2$

        \task $f(x) = 6 + 4x^2 - 5x$
        \task $f(x) = -8 - 3x^2 + x$
        \task $f(x) = 3 + 4x^2 - x^3$

        \task $f(x) = - 10x + 2$
        \task $f(x) = - 10x^2 + 0.25$
        \task $f(x) = -5x^2 + x$

        \task $f(x) = (5x-2)(3x-1)$
        \task $f(x) = (2x+1)(0.1x-10)$
        \task (*)$f(x) = 3(x+2)(x-1)$
    \end{tasks}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique}, step={2}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\searchMode}]
    On souhaite étudier les représentations graphiques des fonctions suivantes :
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}[label={$\alph*(x) = $}, wide]
            \item $2x^2$
            \item $5x^2 + 1$
            \item $2(x - 1)(x - 4)$
            \item $-2x^2$
            \item $-2(x + 3)(x - 1)$
            \item $5x^2 - 3$
            \item $2x^2 + 3$
            \item $2(x - 2)(x - 4)$
            \item $-0.5x^2$
            \item $0.5x^2$
            \item $2x^2 - 1$
            \item $-2(x + 1)(x - 4)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}

    \begin{enumerate}
        \item Regroupe les fonctions sur des critères de forme de la formule.
        \item Pour chaque fonction, en vous aidant de la calculatrice, tracer l'allure du graphique. On ne demande pas un tracé précis, mais une forme générale qui respecte la position par rapport aux axes.
        \item Faire une conjecture sur le lien entre la forme de la fonction et la forme du graphique associé.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={3}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
    \begin{enumerate}
        \item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3^2-2x-3$.
        \item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
        \item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
        \item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={3}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\searchMode}]
    \begin{enumerate}
        \item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
            \[
                f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 5(x-5)(x-0.2)
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
                \item Démontrer que $f(x) = g(x)$ pour toutes valeurs de $x$ réelles.
                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Que ce passe-t-il pour les valeurs $x=5$et $x=0.2$?
            \end{enumerate}
        \item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
            \[
                h(x) = x^2 + 2x - 15
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
                \item En vous inspirant de ce qui a été fait avant, conjecturer une forme factorisée de $f$. Démontrer que cette forme factorisée convient.
            \end{enumerate}
        \item Proposer une méthode pour factoriser un polynôme du 2nd degré.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}, step={3}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
    \begin{enumerate}
        \item On veut factoriser $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
                \item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
                    \[
                        -3\qquad -2 \qquad -1 \qquad 1 \qquad 2
                    \]
                \item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
            \end{enumerate}
        \item On veut factoriser $g(x) = 2x^2 - 6x + 4$.
            \begin{enumerate}
                \item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
                \item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
                \item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Etude de signes}, step={4}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    Tracer le tableau de signe des fonctions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 3(x-2)(x+1)$
            \item $g(x) = 5(x+6)(x+2)$
            \item $h(x) = -2(x-5)(x-1)$
            \item $i(x) = -0.1(x-0.2)(x+10)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Et la boite dans tout ça?}, step={4}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    On a maintenant tous les outils pour terminer et résoudre l'exercice de la boite. On rappelle que l'on souhaiter trouver le maximum de la fonction
    \[
        V(x) = x(20-2x)(20-2x) = 4x^3 - 80x^2 + 400x
    \]
    On avait alors dérivé $V$ et trouvé
    \[
        V'(x) = 12x^2 - 160x + 400
    \]
    On s'était arrêté là car on ne savait pas résoudre $V'(x)=0$.
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $x=10$ et $x=\frac{10}{3}$ sont deux racines de $V'(x)$.
        \item Démontrer que $V'(x) = 12(x-10)(x-\dfrac{10}{3})$
        \item Tracer le tableau de signes de $V'(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 10.
        \item En déduire le tableau de variations de $V(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 10.
        \item Pour quelle valeur de $x$, le volume de la boite est-il maximal?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Etude de fonction}, step={5}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    On définit la fonction $f$ sur $\R$ par
    \[
        f(x) = -0,1x^2 -0,3x +1,8
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer l'image de 3 et interpréter le résultat.
        \item Démontrer que -6 est une racine de $f$.
        \item Démontrer que l'on a $f(x) = -0,1(x-3)(x+6)$.
        \item Tracer le tableau de signe de $f$.
        \item Dériver la fonction $f$.
        \item En déduire le tableau de variations de $f$.
        \item Déterminer les coordonnées du sommet de la représentation graphique de $f$.
        \item Tracer l'allure de la représentation graphique.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Technique}, step={5}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    \begin{enumerate}
        \item On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -3(x+1)(x-5)$ et $(P)$ la parabole représentant cette fonction.
            \begin{enumerate}
                \item Donner les 2 racines de $f$
                \item Développer $f$
                \item Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $(P)$.
                \item Dresser le tableau de signe de $f$.
                \item Parmi les représentations graphiques ci-dessous laquelle correspond à $(P)$? Justifier.

                    \hspace{-2cm}
                    \begin{tabular}{ccc}
                        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
                            \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
                            ymin=-5,ymax=30,ystep=2]
                            \tkzGrid
                            \tkzAxeXY
                            \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-5)}
                        \end{tikzpicture}
                    &
                    \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
                        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
                        ymin=-30,ymax=5,ystep=2]
                        \tkzGrid
                        \tkzAxeXY
                        \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{3*(x+1)*(x-5)}
                    \end{tikzpicture}
                    &
                    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=0.6]
                        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
                        ymin=-5,ymax=20,ystep=2]
                        \tkzGrid
                        \tkzAxeXY
                        \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-4)}
                    \end{tikzpicture}
                    \\
                        courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3
                    \end{tabular}
            \end{enumerate}
        \item Résoudre l'équation $f(x) < 15$
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Fruits en conserves}, step={5}, origin={classique}, topics={ Polynôme du 2nd degré }, tags={ Tableau de signes, variation, dérivation }, mode={\trainMode}]
    Une entreprise commercialise des fruits en conserve. Elle en produit entre 0 et 13 tonnes par mois et vend l'intégralité de sa production.

    On note $x$ la production en tonne de fruits et on définit :
    \begin{itemize}
        \item La fonction $C(x)$ qui modélise les coûts de production
            \[
                C(x) = x^3 - 15 x^2 + 75x
            \]
        \item La fonction $R(x)$ qui modélise les recettes
            \[
                R(x) = 36,75x
            \]
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer les coûts puis les recettes pour une production de 8,5tonnes.
        \item La fonction $B(x)$ modélise les bénéfices de l'entreprise. C'est à dire la différence entre les recettes et les coûts
            \[
                B(x) = R(x) - C(x)
            \]
            L'entreprise fait-elle des bénéfices quand elle produit 8,5tonnes?
        \item Démontrer que $B(x) =  -x^3 +15x^2 - 38,25x$
        \item On note $B'$ la dérivée de $B$. Démontrer que $B'(x) = -3x^2 + 30x - 38,25$.
        \item Démontrer que $x=8,5$ et $x=1,5$ sont deux racines de $B'(x)$.
        \item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
        \item En déduire le tableau de signe de $B'(x)$
        \item En déduire le tableau de variation de $B(x)$
        \item Pour quelle quantité de fruit produit, l'entreprise fait-elle un maximum de profit?
    \end{enumerate}
\end{exercise}
