\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Vecteur et coordonnées - Cours}
\date{avril 2022}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle
\setcounter{section}{3}

\section{Colinéarité et déterminant}

\begin{definition}[Colinéarité]

    Soit $\vect{u}$ et $\vect{v}$ deux vecteurs non nuls.

    S'il existe un nombre $k$ tel que $\vect{u} = k \vect{v}$ on dira alors que $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont \textbf{colinéaires}.

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
            \repereOIJ{-1}{5}{-1}{5}
            \draw [->, very thick] (1, 2) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} (3, 3);
            \draw [->, very thick] (1, 1) -- node [midway, above] {$\vect{v}$} (5, 3);
            \draw [->, very thick] (4, 5) -- node [midway, above] {$\vect{w}$} (2, 4);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}

\end{definition}

\paragraph{Exemples}
\begin{itemize}
    \item Dans l'illustration précédentes, $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$ sont colinéaires car
        \\
    \item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{-10}{-25}$ sont colinéaires car
        \\
    \item $\vect{u}\,\vectCoord{2}{5}$ et $\vect{v}\, \vectCoord{4}{15}$ ne sont pas colinéaires car
        \\
\end{itemize}

\begin{definition}[ Déterminant ]
    On appelle \textbf{déterminant} des vecteurs $\vect{u}\; \vectCoord{x_u}{y_u}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{x_v}{y_v}$ le nombre
    \[
        det(\vect{u}, \vect{v}) = x_u\times y_v - x_v\times y_u
    \]

    Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si $det(\vect{u}, \vect{v}) = 0$.
\end{definition}

\begin{multicols}{2}
    \begin{propriete}[ Parallélisme ]
        Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont colinéaires.
    \end{propriete}

    \paragraph{Exemple}: Soient $A(0; 0)$, $B(1; 1)$, $C(3; 5)$ et $D(5; 7)$. Démontrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont parallèles.
    \\[1cm]

    \begin{propriete}[ Allignement ]
        Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires.
    \end{propriete}

    \paragraph{Exemple}: Soient $A(4; 2)$, $B(10; -5)$ et $C(-8; 16)$. Démontrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    \\[1cm]

\end{multicols}

\afaire{compléter les explications}

\end{document}