\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\title{ DM1 \hfill THERET Olympe}
\tribe{1ST}
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
\duree{}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}


\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]

    Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = (- 6x + 8)(7x + 8)$
            \item $g(x) = (- 8x + 5)^{2}$
            \item $h(x) = 4 + x(2x - 3)$
            \item $i(x) = - 5x^{2} + x(8x + 5)$
            \item $j(x) = - 7(x + 10)(x - 4)$
            \item $k(x) = 3(x + 8)(x + 8)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item
            \begin{align*}
                f(x) &= (- 6x + 8)(7x + 8)\\&= - 6x \times 7x - 6x \times 8 + 8 \times 7x + 8 \times 8\\&= - 6 \times 7 \times x^{1 + 1} + 8(- 6) \times x + 8 \times 7 \times x + 64\\&= - 48x + 56x - 42x^{2} + 64\\&= (- 48 + 56) \times x - 42x^{2} + 64\\&= - 42x^{2} + 8x + 64
            \end{align*}
            C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 42$, $b = 8$ et $c = 64$.
        \item
            \begin{align*}
                g(x) &= (- 8x + 5)^{2}\\&= (- 8x + 5)(- 8x + 5)\\&= - 8x \times - 8x - 8x \times 5 + 5 \times - 8x + 5 \times 5\\&= - 8(- 8) \times x^{1 + 1} + 5(- 8) \times x + 5(- 8) \times x + 25\\&= - 40x - 40x + 64x^{2} + 25\\&= (- 40 - 40) \times x + 64x^{2} + 25\\&= 64x^{2} - 80x + 25
            \end{align*}
            C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 64$, $b = - 80$ et $c = 25$.
        \item
            \begin{align*}
                h(x) &= 4 + x(2x - 3)\\&= 4 + x \times 2x + x(- 3)\\&= 2x^{2} - 3x + 4
            \end{align*}
            C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 2$, $b = - 3$ et $c = 4$.
        \item
            \begin{align*}
                i(x) &= - 5x^{2} + x(8x + 5)\\&= - 5x^{2} + x \times 8x + x \times 5\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= - 5x^{2} + 8x^{2} + 5x\\&= (- 5 + 8) \times x^{2} + 5x\\&= 3x^{2} + 5x
            \end{align*}
            C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 5$ et $c = 0$.
        \item
            \begin{align*}
                j(x) &= - 7(x + 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 7 \times 10)(x - 4)\\&= (- 7x - 70)(x - 4)\\&= - 7x \times x - 7x(- 4) - 70x - 70(- 4)\\&= - 4(- 7) \times x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= 28x + 280 - 7x^{2} - 70x\\&= - 7x^{2} + 28x - 70x + 280\\&= - 7x^{2} + (28 - 70) \times x + 280\\&= - 7x^{2} - 42x + 280
            \end{align*}
            C'est un polynôme de degré 2 avec $a = - 7$, $b = - 42$ et $c = 280$.
        \item
            \begin{align*}
                k(x) &= 3(x + 8)(x + 8)\\&= (3x + 3 \times 8)(x + 8)\\&= (3x + 24)(x + 8)\\&= 3x \times x + 3x \times 8 + 24x + 24 \times 8\\&= 8 \times 3 \times x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 24x + 192 + 3x^{2} + 24x\\&= 3x^{2} + 24x + 24x + 192\\&= 3x^{2} + (24 + 24) \times x + 192\\&= 3x^{2} + 48x + 192
            \end{align*}
            C'est un polynôme de degré 2 avec $a = 3$, $b = 48$ et $c = 192$.
    \end{enumerate}
\end{solution}


\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 5x^{2} - 70x + 240$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[
                f(1) = 5 \times 1^{2} - 70 \times 1 + 240=5 \times 1 - 70 + 240=5 + 170=175
            \]
            \[
                f(-1) = 5 \times - 1^{2} - 70(- 1) + 240=5 \times 1 + 70 + 240=5 + 310=315
            \]
        \item Dérivation
            \[
                f'(x) = 10x - 70
            \]

        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
    Dans son garage, Jean a trouvé 29m de grillage. \\
    Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.

    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
    \end{center}

    Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?

    \textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}

    \textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}

\end{exercise}

\begin{solution}
    Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
    \[
        A(x) = x(29 - 2x) = - 2x^{2} + 29x
    \]
    On va donc étudier les variations de la fonction $A(x) = - 2x^{2} + 29x$
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $A'(x) = - 4x + 29$
                \item On résout l'inéquation $A'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $A'$ est positive.
                    \begin{align*}
                        A(x) & \geq 0 \\
                        - 4x + 29 & \geq 0 \\
                        - 4x + 29 + - 29 &\geq 0 + - 29 \\
                        - 4x &\geq - 29 \\
                        \frac{- 4x}{- 4} &\leq \frac{- 29}{- 4} \\
                        x &\leq \dfrac{29}{4} \\
                    \end{align*}
                    Donc $A(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\dfrac{29}{4}$
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\dfrac{29}{4}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, +, z, -,  }
                            \tkzTabVar{-/ ,+/$f(\dfrac{29}{4}) = \dfrac{1682}{16}$ , -/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
            \end{itemize}
    Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.

\end{solution}
\end{document}

%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "master"
%%% End:
