\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\pgfplotsset{compat=1.18}

\title{ DM1 \hfill \Var{ subject.Nom }}
\tribe{1ST}
\date{A rendre pour le lundi 27 mars 2023}
\duree{}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}


\pagestyle{empty}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{exercise}[subtitle={Polynôme de degré 2}]
    \Block{
        set expressions = {
            "f(x)": random_expression("({a}x + {b})*({c}x + {b})"),
            "g(x)": random_expression("({a}x + {b})^2"),
            "h(x)": random_expression("{c} + x*({a}x + {b})"),
            "i(x)": random_expression("{c}*x^2 + x*({a}x + {b})"),
            "j(x)": random_expression("{a}(x+{b})(x+{c})"),
            "k(x)": random_expression("{a}(x+{b})(x+{c})")
        }
    }
    Développer les expressions suivantes pour vérifier que ce sont des polynômes de degré 2. Vous préciserez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            %- for (l, e) in expressions.items()
            \item $\Var{l} = \Var{e}$
            %- endfor
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        %- for (l, e) in expressions.items()
        \item
            \begin{align*}
                \Var{l} &= \Var{e.simplify().explain() | join('\\\\&= ')}
            \end{align*}
            %- set f = e.simplify()
            C'est un polynôme de degré 2 avec $a = \Var{f[2]}$, $b = \Var{f[1]}$ et $c = \Var{f[0]}$.
        %- endfor
    \end{enumerate}
\end{solution}


\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    %- set f = random_expression("{a}(x-{b})(x-{c})")
    %- set f_simpl = f.simplify()
    Soit $f(x) = \Var{f_simpl}$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[
                f(1) = \Var{f_simpl(1).explain() | join('=')}
            \]
            \[
                f(-1) = \Var{f_simpl(-1).explain() | join('=')}
            \]
        \item Dérivation
            %- set fp = f_simpl.differentiate()
            \[
                f'(x) = \Var{fp}
            \]

        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Enclos}]
    %- set grillage = random_list(["a"], global_config={"min_max": (15, 40)})[0]

    Dans son garage, Jean a trouvé \Var{grillage}m de grillage. \\
    Il décide de l'utiliser pour faire un enclos rectangulaire. Afin d'obtenir un enclos encore plus grand, il veut utiliser le mur du jardin qui formera un côté. Le grillage formera les 3 autres.

    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.8]{./fig/enclos}
    \end{center}

    Comment placer les poteaux pour avoir un enclos le plus grand possible ?

    \textit{Cet exercice est un exercice de recherche. Vous êtes invité à utiliser les outils que vous voulez. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction et aux explications de ce que vous faites. Vous êtes encouragé à faire des schémas.}

    \textit{Si vous utilisez le tableur, vous devrez le mentionner et m'envoyer le tableur à l'adresse \url{benjamin.bertrand@ac-lyon.fr}}

\end{exercise}

\begin{solution}
    Formule de l'aire (en notant $x$ la longueur du côté de l'enclos à côté du mur)
    %- set A = Polynomial.from_coefficients([0, grillage, -2])
    \[
        A(x) = x(\Var{grillage} - 2x) = \Var{A}
    \]
    %- set f = A
    %- set name = "A"
    On va donc étudier les variations de la fonction $\Var{name}(x) = \Var{f}$
            %- set f1 = f.differentiate()
            \begin{itemize}
                \item Fonction dérivée : $\Var{name}'(x) = \Var{f1}$
                    %- if f1[1] > 0
                \item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
                    %- set cst = -f1[0]
                    %- set coef = f1[1]
                    %- set racine = cst / coef
                    \begin{align*}
                        \Var{name}(x) & \geq 0 \\
                        \Var{f1} & \geq 0 \\
                        \Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
                        \Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
                        \frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
                        x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
                    \end{align*}
                    Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{grand} que $\Var{racine.simplify()}$
                    %- set racine = racine.simplify()
                    %- set img_racine = f(racine)
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                            \tkzTabVar{+/ ,-/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , +/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
                    %- elif f1[1] < 0
                \item On résout l'inéquation $\Var{name}'(x) \geq 0$ pour déterminer quand la fonction $\Var{name}'$ est positive.
                    %- set cst = -f1[0]
                    %- set coef = f1[1]
                    %- set racine = cst / coef
                    \begin{align*}
                        \Var{name}(x) & \geq 0 \\
                        \Var{f1} & \geq 0 \\
                        \Var{f1} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
                        \Var{f1 + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
                        \frac{\Var{f1 + cst}}{\Var{coef}} &\leq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
                        x &\leq \Var{racine.simplify()} \\
                    \end{align*}
                    Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est plus \textbf{petit} que $\Var{racine.simplify()}$
                    %- set racine = racine.simplify()
                    %- set img_racine = f(racine)
                \item
                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{, $\Var{racine}$ ,}%
                            \tkzTabLine{, +, z, -,  }
                            \tkzTabVar{-/ ,+/$f(\Var{racine}) = \Var{img_racine}$ , -/}%
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}
                    %- endif
            \end{itemize}
    Pour avoir le plus grand enclos, il faut placer les poteaux à 6m du mur et on aura alors un enclos de $72m^2$.

\end{solution}
\end{document}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
