\begin{exercise}[subtitle={Inéquation et tableau de signes}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
    Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.


    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 6x + 2$
            \item $g(x) = 9x + 10$
            \item $h(x) = 6x + 8$
            \item $i(x) = - 8x - 4$
            \item $j(x) = 8x - 1$
            \item $k(x) = 6x - 3$
            \item $m(x) = \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}

\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 6x + 2$
                Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

                \begin{align*}
                    f(x) & \geq 0 \\
                    6x + 2 & \geq 0 \\
                    6x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
                    6x &\geq - 2 \\
                    \frac{6x}{6} &\geq \frac{- 2}{6} \\
                    x &\geq \dfrac{- 1}{3} \\
                \end{align*}

                Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 1}{3}$. On en déduit le tableau de signe
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{, $\dfrac{- 1}{3}$ ,}
                        \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}

            \item $g(x) = 9x + 10$
                Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

                \begin{align*}
                    g(x) & \geq 0 \\
                    9x + 10 & \geq 0 \\
                    9x + 10 + - 10 &\geq 0 + - 10 \\
                    9x &\geq - 10 \\
                    \frac{9x}{9} &\geq \frac{- 10}{9} \\
                    x &\geq \dfrac{- 10}{9} \\
                \end{align*}

                Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 10}{9}$. On en déduit le tableau de signe
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{, $\dfrac{- 10}{9}$ ,}
                        \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}

            \item $h(x) = 6x + 8$
                Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

                \begin{align*}
                    h(x) & \geq 0 \\
                    6x + 8 & \geq 0 \\
                    6x + 8 + - 8 &\geq 0 + - 8 \\
                    6x &\geq - 8 \\
                    \frac{6x}{6} &\geq \frac{- 8}{6} \\
                    x &\geq \dfrac{- 4}{3} \\
                \end{align*}

                Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 4}{3}$. On en déduit le tableau de signe
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ h(x) $/1}{, $\dfrac{- 4}{3}$ ,}
                        \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}

            \item $i(x) = - 8x - 4$
                Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

                \begin{align*}
                    i(x) & \geq 0 \\
                    - 8x - 4 & \geq 0 \\
                    - 8x - 4 + 4 &\geq 0 + 4 \\
                    - 8x &\geq 4 \\
                \frac{- 8x}{- 8} &\leq \frac{4}{- 8} \\
                x &\leq \dfrac{1}{- 2} \\
                \end{align*}

                Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à $\dfrac{1}{- 2}$. On en déduit le tableau de signe
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ i(x) $/1}{, $\dfrac{1}{- 2}$ ,}
                        \tkzTabLine{, +, z, -,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}
            \item $j(x) = 8x - 1$
                Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

                \begin{align*}
                    j(x) & \geq 0 \\
                    8x - 1 & \geq 0 \\
                    8x - 1 + 1 &\geq 0 + 1 \\
                    8x &\geq 1 \\
                    \frac{8x}{8} &\geq \frac{1}{8} \\
                    x &\geq \dfrac{1}{8} \\
                \end{align*}

                Donc $j(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{1}{8}$. On en déduit le tableau de signe
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ j(x) $/1}{, $\dfrac{1}{8}$ ,}
                        \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}

            \item $k(x) = 6x - 3$
                Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

                \begin{align*}
                    k(x) & \geq 0 \\
                    6x - 3 & \geq 0 \\
                    6x - 3 + 3 &\geq 0 + 3 \\
                    6x &\geq 3 \\
                    \frac{6x}{6} &\geq \frac{3}{6} \\
                    x &\geq \dfrac{1}{2} \\
                \end{align*}

                Donc $k(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{1}{2}$. On en déduit le tableau de signe
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ k(x) $/1}{, $\dfrac{1}{2}$ ,}
                        \tkzTabLine{, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}

            \item $m(x) = \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2}$
                Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation

                \begin{align*}
                    m(x) & \geq 0 \\
                    \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2} & \geq 0 \\
                    \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2} + \dfrac{9}{2} &\geq 0 + \dfrac{9}{2} \\
                    \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{0}{2} &\geq \dfrac{9}{2} \\
                \frac{\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{0}{2}}{\dfrac{9}{- 4}} &\leq \frac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{9}{- 4}} \\
                x &\leq - 2 \\
                \end{align*}

                Donc $m(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à $- 2$. On en déduit le tableau de signe
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ m(x) $/1}{, $- 2$ ,}
                        \tkzTabLine{, +, z, -,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{solution}


\begin{exercise}[subtitle={Tableau de signes et produits}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
    Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.

    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = (5x + 5)(3x + 7)$
            \item $g(x) = (9x + 10)(4x + 5)$
            \item $h(x) = (- 3x - 9)(4x + 4)$
            \item $i(x) = (- 2x - 10)(5x - 4)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}

\end{exercise}

\begin{solution}
    Cette correction n'explique pas le raisonnement, mais donne uniquement les réponses. Les valeurs sont arrondis à $10^{-2}$ mais il est plus pertinent de garder les valeurs exactes.
        \begin{enumerate}
            \item
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{, $-2.33$ ,$-1$, }
                        \tkzTabLine{, +, z, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}
            \item
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{, $-1.25$ ,$-1.11$, }
                        \tkzTabLine{, +, z, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}
            \item
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ h(x) $/1}{, $-3$ ,$-1$, }
                        \tkzTabLine{, -, z, +, z, -,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}
            \item
                \begin{center}
                    \begin{tikzpicture}
                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ i(x) $/1}{, $-5$ ,$0.80$, }
                        \tkzTabLine{, +, z, -, z, +,  }
                    \end{tikzpicture}
                \end{center}
        \end{enumerate}

\end{solution}
