233 lines
10 KiB
TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Construction de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
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Pour chacun des graphiques ci-dessous compléter les tableaux pour trouver les nombres dérivés.
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\begin{enumerate}
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\item ~
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[]
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\begin{axis}[
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axis lines = center,
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grid = both,
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xlabel = {$x$},
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xtick distance=1,
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ylabel = {$f(x)$},
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ytick distance=1,
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legend pos = north west,
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]
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\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-x^2};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
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\hline
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x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
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\hline
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-2 & \\
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\hline
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-1 & \\
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\hline
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0 & \\
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\hline
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1 & \\
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\hline
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2 & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\item ~
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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axis lines = center,
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grid = both,
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xlabel = {$x$},
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xtick distance=1,
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ylabel = {$f(x)$},
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ytick distance=1,
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legend pos = north west,
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]
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\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{3*x};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
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\hline
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x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
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\hline
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-2 & \\
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\hline
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-1 & \\
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\hline
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0 & \\
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\hline
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1 & \\
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\hline
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2 & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\item ~
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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axis lines = center,
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grid = both,
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xlabel = {$x$},
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xtick distance=1,
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ylabel = {$f(x)$},
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|
ytick distance=1,
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legend pos = north west,
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]
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\addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{0.5*(x-1)^2-2};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{tabular}{|m{2cm}|c|}
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\hline
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x & Nombre dérivé $f'(x)$\\
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\hline
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-2 & \\
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\hline
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-1 & \\
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\hline
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0 & \\
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\hline
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1 & \\
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\hline
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2 & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{minipage}
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\item Pour chacune des fonctions précédentes, à partir des valeurs déjà trouvées, ne pourrait-on pas trouver une formule qui pourrait calculer tous les nombres dérivés de ces fonctions ? \\ Combien vaudrait dans chacun des cas $f'(10)$ ? $f'(0,5)$ ?
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\end{enumerate}
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\pagebreak
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Utilisation de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
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Ci-dessous, vous trouverez des couples de fonction avec leur dérivée.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{cp{2cm}c}
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$f(x) = 5x^3 - x^2 + 0.3x + 1$ & & $g(x) = 0.3x^5 - 3x^2 + 5x + 1$ \\
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$f'(x) = 15x^2 - 2x + 0.3$ & & $g'(x) = 1.5x^4 - 6x + 5$
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point d'abscisse $x=2$
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\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=2$?
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\item Déterminer le nombre dérivé de la fonction $g$ au point d'abscisse $x=5$
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\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=5$?
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\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=1$?
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\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $g$ autour du point d'abscisse $x=4$?
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\item Que peut-on dire sur la croissance de la fonction $f$ autour du point d'abscisse $x=111$?
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\item Vérifier vos résultats en traçant les fonctions $f$ et $g$ sur votre calculatrice.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Calcul de la fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\groupMode}]
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\begin{center}
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\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
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$f(x) = 2x + 1$ & $g(x) = 3$ & $h(x) = 5x + 1$ & $i(x) = x^2 + x + 1$ & $j(x) = 3x^2 - 10x - 100$\\
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$f'(x) = 2$ & $g'(x) = 0$ & $h'(x) = 5$ & $i'(x) = 2x + 1$ & $j'(x) = 6x - 10$
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\end{tabular}
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\end{center}
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En observant les couples fonctions et dérivées précédentes, déterminer les fonctions dérivées suivantes
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\begin{center}
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\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
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$f(x) = 4$ & $g(x) = 3x+2$ & $h(x) = -7x + 19$ & $i(x) = x^2 + 3x + 9$ & $j(x) = 4x^2 - x - 100$\\
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$f'(x) = ...$ & $g'(x) = ...$ & $h'(x) = ... $ & $i'(x) = ...$ & $j'(x) = ...$
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\end{tabular}
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\end{center}
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Expliquer votre méthode pour déterminer ces dérivées.
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\end{exercise}
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% ------
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% Fonction de degré 1
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\begin{exercise}[subtitle={Fonction affines}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
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On définit la fonction $f(x) = 5x - 10$ dont on veut étudier les variations.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
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\item Quel est le signe de $f'(x)$? Que peut-on déduire sur la croissance de $f$?
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\item Recopier et compléter le tableau suivant
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
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\tkzTabLine{,,}%
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\tkzTabVar{,}%
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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% ------
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% Fonction de degré 2
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\begin{exercise}[subtitle={Fonction polynôme}, step={2}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
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On définit la fonction $f(x) = 3x^2 - 2x + 10$ dont on veut étudier les variations.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ la fonction dérivée de $f(x)$.
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\item Quel est le signe de $f'(x)$?
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\item Recopier et compléter le tableau suivant
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=10]{$x$/1,Signe de $f'(x)$/2, Variations de $f(x)$/2}{\hspace{5cm}, \hspace{5cm}}%
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|
\tkzTabLine{,,}%
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|
\tkzTabVar{,}%
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|
\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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% ------
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% Mise en situations
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\begin{exercise}[subtitle={Gestion hôtelière}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
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Le nombre d'offre "séjour exclusif" vendues peut être modélisé par la fonction suivante $N(x) = -0.6x + 219$ où $x$ désigne le prix de vente en euro.
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\begin{enumerate}
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\item On se place dans le cas où le prix de vente est de 150\euro.
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\begin{enumerate}
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\item Combien d'offres seront vendues dans ce cas?
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\item Quel sera alors les recettes pour cette vente?
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\end{enumerate}
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\item Mêmes questions dans le cas où le prix est de 200\euro? 300\euro.
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\item Est-il vrai que plus le nombre d'offres vendues est élévé plus les recettes le seront aussi?
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\item On veut étudier ces recettes. On note $R(x)$ la fonction qui modélise les recettes et où $x$ représente le prix de vente.
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer que l'on a $R(x) = -0.6x^2 + 219x$
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\item Calculer la dérivée de $R$.
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\item Dresser le tableau de variations de $R$.
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\item En déduire le prix de vente qui permet d'avoir une recette maximale. Combien vaut alors cette recette?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Crème de beauté}, step={3}, origin={???}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ Dérivation }]
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Une entreprise fabrique des flacons de crème de beauté. Cette entreprise peut fabriquer jusqu'à 60 flacons par jour.
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\begin{enumerate}
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\item Chaque flacon est vendu 250\euro. On note $R(x)$ les recettes des ventes journalière des flacons où $x$ désigne le nombre de flacon produit. Déterminer l'expression de $R$ en fonction de $x$.
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\item L'étude des coûts a mené à les modéliser par la fonction $C(x) = x^2 + 160x +800$. On note $B(x)$ la fonction qui modélise les bénéfices (recettes moins les coûts).
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\begin{enumerate}
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\item Est-il vrai que plus l'entreprise produit et vend plus elle fait des bénéfices?
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\item Démontrer que $B(x) = -x^2 + 90x -800$
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\item Calculer la dérivée $B'$ de $B$.
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\item En déduire le tableau de variations de $B$
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\item Combien de flacons doivent être produit pour maximiser les bénéfices? Quels seront alors ces bénéfices?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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