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\begin{exercise}[subtitle={Cas de Covid en mars 2019}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\searchMode}]
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Ci-contre, un tableau reportant le nombre de cas cumulé de Covid autour du début du mois de mars 2020.
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\begin{enumerate}
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\item Représenter les données du tableau avec un nuage de points (jour en abcisse et nombre de cas en ordonnée).
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\item À partir des données du tableau, faire une estimation du nombre de cas pour le 2 mars puis pour le 10mars.
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\item (\computerMode) Au 16mars, on dénombrait 6633 cas. Que pensez-vous de votre modèle ?
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\item (\computerMode) Proposer un autre modèle qui pourrait se montrer plus précis.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tabular}{|l|c|}\hline%
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\bfseries Jour & \bfseries Nombre de cas
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\csvreader[head to column names]{./covid_0226_0301.csv}{}%
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{\\\jours & \cas}%
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\\\hline
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\end{tabular}
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\smallskip
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\textbf{Document:} Nombre de cas cumulé de covid
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Modèle de propagation de l'épidémie, R0}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\searchMode \computerMode}]
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Pour suivre une épidémie, un paramètre important est $R0$. Ce nombre décrit le nombre de personnes que l'on risque d'infecter si l'on est malade avant d'être soigné.
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\begin{enumerate}
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\item Supposons que $R0$ soit égal à 2. C'est-à-dire que chaque personne malade risque de transmettre le virus à 2 autres personnes en une journée avant d'être soignée.
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\begin{enumerate}
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\item Supposons qu'au premier jour, il y ait 10 personnes malades. Combien seront malade le deuxième jour? Le 3e? et le 10e?
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\item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
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\item Modéliser la situation par une suite. Préciser la nature et les paramètres.
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\item (\computerMode) Trouver une formule pour calculer le nombre de malades au 100e jour.
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\item (\computerMode) En combien de jours, l'épidémie aura touché plus de 1000 personnes ?
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\end{enumerate}
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\item On suppose maintenant que $R0 = 1,2$ et qu'il y a 20 malades au premier jour.
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\begin{enumerate}
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\item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
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\item Modéliser la situation par une suite et préciser les paramètres.
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\item (\computerMode) Combien de personnes seront malades après 1 mois (31jours) ?
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\end{enumerate}
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\item Finalement, on suppose que $R0 = 0.8$ et qu'il y a 100 malades.
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\begin{enumerate}
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\item Combien de malade aura-t-on au 2e, 3e et 10e jour?
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\item Modéliser la situation par une suite et préciser les paramètres.
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\item Représenter avec nuage de points le nombre de malades du premier jour au 10e jour.
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\end{enumerate}
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\item À quelle condition sur $R0$ la suite est croissante? Décroissante?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Bilan suites géométries}, step={1}, origin={Création}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\groupMode}]
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On suppose que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$.
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À quelle condition la suite est croissante? Décroissante? Reprendre les graphiques de l'exercice précédent pour illustrer ces deux situations.
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation}, step={2}, origin={...}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite}, mode={\trainMode\computerMode}]
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Une voiture neuve vaut \np{12000}\euro. On estime que chaque année, sa valeur diminue de 400\euro
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\begin{enumerate}
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\item Modéliser le prix de la voiture par une suite. Quelle est la nature de la suite. Quels sont les paramètres ?
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\item Sur le tableur, créer un tableau avec en première colonne l'age de la voiture (on commence à compter par 0 la première année) et en deuxième colonne la valeur de la voiture.
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\item Quelle formule tableur permet de calculer le prix de la voiture après un an puis d'être étirée pour calculer la valeur pour les autres années ?
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\item En combien d'année la voiture n'aura plus de valeur ?
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\item Tracer le nuage de point correspondant aux valeurs de la suite. Comment sont organisés les points ?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Visiteurs}, step={2}, origin={delagrave 57p47}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite}, mode={\trainMode\computerMode}]
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On a reporté le nombre de visiteur moyen journalier dans le tableau suivant:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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Année & 2016 & 2017 & 2018 & 2019 \\
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\hline
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Nombre de visiteurs & \np{3532} & \np{3716} & \np{3909} & \np{4113} \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer le taux d'évolution en pourcentage du nombre de visites entre 2016 et 2017 (arrondi au dixième).
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\item Calculer le taux d'évolution annuel entre les années suivantes. Que constatez vous?
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\end{enumerate}
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\item On souhaite faire une prévision du nombre de visiteurs sur les années suivantes.
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\begin{enumerate}
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\item On suppose que le taux d'évolution reste le même les années suivantes. Proposer une suite pour modéliser le nombre de visiteurs. Quelle est sa nature? Ses paramètres?
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\item Quelle est la relation de récurrence de cette suite?
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\item Calculer le nombre de visiteurs pour l'année 2020.
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\end{enumerate}
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\item Pour la suite, vous utiliserez le tableur.
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\begin{enumerate}
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\item Préparer un tableur avec en première colonne les années après 2019 et en deuxième colonne le nombre de visiteurs.
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\item Quelle formule tableur doit-on rentrer pour calculer le nombre de visiteurs en 2020 puis étirée pour les années suivantes?
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\item Combien d'années faut-il attendre pour atteindre le million de visites à ce rythme ?
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\item Tracer le nuage de point correspondant à ces valeurs. Quelle forme a-t-il ?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Suites théoriques}, step={4}, origin={...}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite}, mode={\trainMode}]
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Pour les suites définie ci-dessous, calculer les valeurs de $u_1$, $u_2$ et $u_5$ puis faire une conjecture sur le sens de variations
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $u_n = 2n + 1$
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\item $u_n = 5n^2 - 2n$
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\item $u_n = 3\times 0.7^n$
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\item $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2$
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\item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = u_n \times 1.3$
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\item $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{2}{u_n}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Type}, step={5}, origin={E3C 61 mai 2020}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\trainMode}]
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On considère la suite u de premier terme $u(0) = 200$ et telle que pour tout entier positif n :
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\[
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u(n+1) = u(n) + 20
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Calculer u(1).
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la nature de la suite u? Argumenter la réponse.
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\item Quel est le sens de variation de la suite u? Justifier la réponse.
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\end{enumerate}
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\item Sur la figure fournie en annexe à rendre avec la copie, les termes $u(0)$ et $u(1)$ de la suite sont représentés. Compléter la figure, en y représentant le terme $u(2)$ de la suite.
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\item Parmi les situations suivantes, laquelle pourrait-être modélisée grâce à la suite u? Justifier la réponse.
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\begin{itemize}
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\item Situation A : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 10 \% de plus que l’année précédente.
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\item Situation B : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 \% de plus que l’année précédente.
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\item Situation C : une entreprise a vendu 200 unités d’un nouveau produit la première année. Chaque année elle en vend 20 de plus que l’année précédente.
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\end{itemize}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Polluants}, step={5}, origin={E3C 61 mai 2020}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\trainMode}]
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Depuis l’an 2000, l’Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2015, la norme tolérée était fixée à 130 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif de l’Union Européenne est d’atteindre une émission de polluants inférieure à 60 milligramme par kilomètre. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2015, sa baisse est de 5,1\% par an
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Justifier que la norme tolérée était d’environ 123 milligrammes par kilomètre en 2016.
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\item Un véhicule émettait 120 milligrammes par kilomètre en 2017. Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
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\end{enumerate}
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\item Dans le cadre d’une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé l’algorithme ci-dessous programmé sous Python :
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\begin{center}
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\begin{minipage}{0.9\linewidth}
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\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./scripts/emission.py}
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\end{minipage}
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\end{center}
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\begin{enumerate}
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\item Expliquer l’instruction « p = 0,949* p ».
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\item Deux lignes de l’algorithme comportent des cases vides. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l’année recherchée.
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\end{enumerate}
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\item Grâce à son algorithme, Louise a conclu qu’à partir de 2030 l’objectif de l’Union Européenne serait atteint. Vérifier à l’aide d’un calcul qu’elle a raison
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Ascenseurs}, step={5}, origin={E3C 61 mai 2020}, topics={Modélisation suite}, tags={Suite, Modélisation}, mode={\trainMode}]
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Une entreprise de maintenance d’ascenseurs estime que le nombre d’interventions effectuées chaque année augmente régulièrement de 4\%. En 2019, ses 20 salariés ont effectué 1 200 interventions.
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\begin{enumerate}
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\item Combien peut-on prévoir d’interventions en 2020 ? En 2021 ?
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\item Pour tout entier naturel n, on note un le nombre annuel d’interventions effectuées par la société durant l’année 2019+n. On a donc u0 = 1200.
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\begin{enumerate}
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\item Pour tout entier naturel n, montrer que un+1 = 1,04un et en déduire la nature de la suite (un).
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\item Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
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\end{enumerate}
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\item L’entreprise estime que, lorsque le cap des 1 400 interventions annuelles sera dépassé, elle devra embaucher une personne supplémentaire. En quelle année l’entreprise devra- t-elle embaucher ce nouveau salarié ?
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L’entreprise décide d’embaucher un nouveau salarié à chaque palier de 200 interventions annuelles supplémentaires.
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Le programme ci-dessous est écrit en Python :
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\begin{center}
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\begin{minipage}{0.9\linewidth}
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\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./scripts/ascenseurs.py}
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\end{minipage}
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\end{center}
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Lorsque l’instruction \mintinline{python}{ascenseurs(30)} est exécutée, l’algorithme renvoie la liste suivante :
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[1200, 1248, 1297, 1348, 1401, 1457, 1515, 1575, 1638, 1703, 1771, 1841, 1914, 1990, 2069,
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2151, 2237, 2326, 2419, 2515, 2615, 2719, 2827, 2940, 3057, 3179, 3306, 3438, 3575, 3718,
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3866]
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Combien de salariés comptera l’entreprise en 2049 ?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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