2022-2023/1ST/03_Nombre_derive_et_tangente/1B_taux_accroissement.tex

72 lines
2.1 KiB
TeX

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Nombre dérivé et tangente - Cours}
\date{novembre 2022}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Taux d'accroissement}
\begin{definition}[Taux d'accroissement]
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Soit $f$ une fonction, $a$ et $b$ deux nombres.
\textbf{Le taux d'accroissement} de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ se calcule par
\[
\frac{f(b) - f(a)}{b-a}
\]
\bigskip
On interprète ce nombre comme la pente de la droite qui relie les points de la droite d'abscisse $a$ et $b$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid= both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$f(x)$},
ytick distance=1,
]
\addplot[domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{0.1*x^3 - 1.5*x + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{definition}
\paragraph{Exemples}
\begin{itemize}
\item Calcul du taux d'accroissement entre $x = 1$ et $x = 4$ sur le graphique ci-dessus.
\vspace{2cm}
\item Soit $f(t) = 3t^2 + 2$ le taux d'accroissement entre $t=3$ et $t = 10$ est calculé:
\vspace{2cm}
\end{itemize}
\afaire{Traiter les exemples}
\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
\item Le taux d'accroissement est parfois nommé \textbf{taux de variations}.
\item En économie, quand la fonction $f$ représente les coûts, le taux d'accroissement est appelé \textbf{coût marginal}. Il permet de savoir quel sera le coût si l'on décide d'ajouter une unité.
\item En physique, quand la fonction $f$ représente la position, le taux d'accroissement est appelé \textbf{vitesse moyenne}.
\[
v_{moyenne} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p(t_2) - p(t_1)}{t_2 - t_1}
\]
\end{itemize}
\end{document}