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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Analyse des résultats d'un test}
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\date{Avril 2022}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{definition}[Paramètre d'un test - inférence Bayésienne]
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On considère un test qui analyse la situation et donne deux résultats: Positif ou négatif. Une test ne peut par être sûr à 100\%, il y a donc 4 cas possibles:
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\begin{minipage}{0.45\linewidth}
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\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
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\hline
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& Sujet positif & Sujet négatif & Total \\
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\hline
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Test positif & Vrai positif & Faux positif &\\
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\hline
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Test négatif & Faux négatif & Vrai négatif & \\
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\hline
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Total & & &\\
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\hline
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\end{tabular}
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\medskip
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Ce tableau est appelé \textbf{tableau de contingence.}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\textbf{Critères de fiabilités}
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\begin{itemize}
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\item Sensibilité: probabilité qu'une personne infectée soit testée positive
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\[
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\mbox{sensibilité} = \frac{\mbox{nombre de vrai positifs}}{\mbox{nombre de positif}}
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\]
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\item Spécificité: probabilité qu'une personne saine soit testée négative (vrai négatif / négatif)
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\[
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\mbox{spécificité} = \frac{\mbox{nombre de vrai négatifs}}{\mbox{nombre de négatif}}
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\]
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\end{itemize}
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\end{minipage}
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\end{definition}
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\begin{doc}{Test médical}
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Un médecin cherche à déterminer si une IA est fiable. Pour cela, il a choisi 1000 dossiers de patients dont il sait que 92 d'entres eux souffrent d'un cancer. L'IA quand à elle détecte 862 cas négatif. Parmi ces cas négatifs détectés, le médecin sait que 7 d'entre eux sont malade.
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Pour déterminer si une assistance est fiable, il faut que la sensibilité soit supérieur à 90\%.
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\end{doc}
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\begin{doc}{Détection d'un comportement potentiellement dangereux}
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Dans le cadre du maintient de la paix, les autorités ont développer une IA qui cherche à détecter les comportements potentiellement dangereux. Suite à l'entrainement de l'IA, les données de tests donnent le tableau suivant
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|}
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\hline
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& Sujet dangereux & Sujet non dangereux & Total\\
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\hline
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Identifier comme dangereux & 990 & 2 & \\
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\hline
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Identifier comme non dangereux & 3 & 5 & \\
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\hline
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Total & & & \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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L'équipe en charge du projet annonce fièrement "notre IA est presque parfaite, elle ne se trompe que dans 0.5\% des cas.
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\end{doc}
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\vfill
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Test médical}
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\begin{enumerate}
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\item Construire un tableau de contingence avec les données de l'étude.
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\item Pensez vous que cette IA peut être considérer comme une assistance fiable?
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Comportement dangereux}
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\begin{enumerate}[leftmargin=-1pt]
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\item Que pensez vous de l'affirmation de l'équipe en charge du projet?
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\item Calculer la sensibilité puis la spécificité du système de détection.
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\item On veut maintenant utilise cette IA dans une population de \np{1000000} individus et où l'on suppose qu'il y a 100 individus dangereux.
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\begin{enumerate}[leftmargin=-1pt]
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\item Reproduire le tableau de contingence en complétant la dernière ligne.
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\item Compléter ensuite les autres cases vides en utilisant la sensibilité et la spécificité du test.
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\item Que pensez vous de l'efficacité de ce test sur cette population?
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\end{enumerate}
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\item Même questions dans le cas d'une population de \np{100000} individus avec \np{500000} individus dangereux.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{document}
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