91 lines
2.8 KiB
TeX
91 lines
2.8 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
|
|
\title{Polynômes du 3e degré - Cours}
|
|
\tribe{1ST}
|
|
\date{Mai 2023}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\setcounter{section}{2}
|
|
\section{Les fonctions $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$}
|
|
|
|
\begin{propriete}[Forme factorisée]
|
|
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
|
|
Certains polynômes de degré 3 peuvent se mettre sous la forme \textbf{factorisée} suivante
|
|
\[
|
|
P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
|
|
\]
|
|
Comme pour les polynômes de degré 2, $x_1$, $x_2$ et $x_3$ sont des \textbf{racines} du polynôme.
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
|
|
Forme graphique
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.5*(x+2)*(x-1)*(x-2)}
|
|
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,-2){$f(x)=0.5(x+2)(x-1)(x-2)$}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{propriete}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection*{Exemple}%
|
|
Montrons que $-1$, $-2$ et $1$ sont des racines de
|
|
\[
|
|
P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3x - 2
|
|
\]
|
|
On en déduit la forme factorisée de $P(x)$
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[Racines doubles et triples]
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item On appelle \textbf{racine double} une racine qui apparait 2 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine double
|
|
\[
|
|
P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_3) = a(x-x_1)^2(x-x_3)
|
|
\]
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.5*(x+2)*(x-1)**2}
|
|
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,-2){$f(x)=0.5(x+2)(x-1)^2$}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\item On appelle \textbf{racine triple} une racine qui apparait 3 fois dans la forme factorisé. On a alors dans le cas où $x_1$ est une racine triple
|
|
\[
|
|
P(x) = a(x-x_1)(x-x_1)(x-x_1) = a(x-x_1)^3
|
|
\]
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.8]
|
|
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
|
|
ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
|
|
\tkzAxeXY
|
|
\tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{-0.5*(x-1)**3}
|
|
\tkzText[draw,fill = brown!20](2.5,2){$f(x)=-0.5(x-1)^3$}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\subsection*{Méthode: étude de signe}%
|
|
|
|
Étudions le signe de $P(x) = 2(x+1)(x+2)(x-1)$
|
|
|
|
\afaire{}
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|
|
%%% Local Variables:
|
|
%%% mode: latex
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
|
%%% End:
|