90 lines
2.8 KiB
TeX
90 lines
2.8 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
|
\usepackage{myXsim}
|
|
\usepackage{minted}
|
|
|
|
\author{Benjamin Bertrand}
|
|
\title{Recheche par dicotomie et complexité - Cours}
|
|
\date{Mars 2023}
|
|
|
|
\pagestyle{empty}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\maketitle
|
|
|
|
\section{Complexité}
|
|
|
|
\begin{definition}[Ordre de complexité]
|
|
On dit qu'un algorithme est d'une \textbf{compléxité de l'ordre de $f(n)$} si il existe une constante positive K telle que, quelle que soit la taille n de l'entrée, le nombre d'opérations élémentaires est plus petit que $K \times f(n)$.
|
|
|
|
On dit alors que l'algorithme est en $\mathcal{O}(f(n))$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\section{Etude de la complexité}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Recherche du maximum d'une liste
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_max.py}
|
|
|
|
Calcul de la compléxité
|
|
\end{multicols}
|
|
\item Moyenne
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_max.py}
|
|
|
|
Calcul de la compléxité
|
|
\end{multicols}
|
|
\item Table de multiplication
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_table.py}
|
|
|
|
Calcul de la compléxité
|
|
\end{multicols}
|
|
\item Recherche par dichotomie
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\inputminted[bgcolor=base3]{python}{./algos/1B_dicho.py}
|
|
|
|
Calcul de la compléxité
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
|
\section{Les complexités courantes}
|
|
|
|
Dans la pratique, on ne choisira que des fonctions $f(n)$ simples prise dans la liste suivante (classé par ordre croissant de rapidité):
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\mathcal{O}(1)$: complexité constante. Le temps d'exécution est indépendant de $n$ (la taille de l'entrée).
|
|
|
|
\textbf{Exemples}:
|
|
|
|
\item $\mathcal{O}(log(n))$: complexité logarithmique. Le temps d'exécution augmente d'une quantité constante quand la taille de l'entrée ($n$) est doublée.
|
|
|
|
\textbf{Exemple}:
|
|
|
|
\item $\mathcal{O}(nlog(n))$: complexité linéaire. Le temps d'exécution est proportionnel à la taille de l'entrée ($n$)
|
|
|
|
\textbf{Exemples}:
|
|
|
|
\item $\mathcal{O}(n^2)$: complexité quadratique. Le temps d'exécution est multiplié par 4 quand la taille de l'entrée est multipliée par 2.
|
|
|
|
\textbf{Exemples}:
|
|
|
|
\item $\mathcal{O}(n^k)$: complexité polynomiale. Le temps d'exécution est majoré par un polynôme de la taille d'entrée.
|
|
|
|
\textbf{Exemples}:
|
|
|
|
\item $\mathcal{O}(k^n)$: complexité exponentielle. Le temps d'exécution croit trop rapidement pour que la taille d'entrée puisse être grand.
|
|
|
|
\textbf{Exemples}:
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\paragraph{Temps d'exécution en fonction de la taille d'entrée}~
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[scale=0.9]{./fig/complexite}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\end{document}
|