2022-2023/2nd/Evaluations/DS_2023-01-18/exercises.tex

\begin{exercise}[subtitle={Probabilités}, step={1}, origin={Ma tête}, points=7, topics={  }, tags={ Probabilités }]
    Dans cet exercice les parties sont indépendantes, elles peuvent être traités séparément.

    \begin{enumerate}[label={\textbf{Partie \Alph*:}}]
        \item \textbf{répartition géographique}

            On a relevé le sexe des enfants nés en février dans 3 communes différentes et on a noté les résultats.

            On considère l'expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard un enfant né en février dans une de ces trois communes.

            \hspace{-1cm}
            \begin{minipage}{0.4\linewidth}
                \begin{center}
                    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
                        \hline
                        Communes & Garçons & Filles & Total \\
                        \hline
                        Villeouf & 432 & 456 & 888\\
                        \hline
                        Betedeville & 11 & 10 & 21\\
                        \hline
                        Sacrévillage & 54 & 70 & 124\\
                        \hline
                        Total &  497 & 536 & 1033\\
                        \hline
                    \end{tabular}
                \end{center}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.6\linewidth}
                \begin{tasks}[label={\Alph*=}]
                    \task $\left\{ \mbox{ l'enfant est une fille} \right\}$
                    \task $\left\{ \mbox{ l'enfant est né à Betedeville} \right\}$
                    \task $\left\{ \mbox{ l'enfant est un garçon et il est né à Villeouf}\right\}$
                    %\task $\left\{ \mbox{ l'enfant est une fille ou il est né à Sacrévillage} \right\}$
                \end{tasks}
            \end{minipage}
        \item \textbf{fonder une famille}

            M.Dupont et Mme Dupont souhaitent avoir 3 enfants. Ils se sont renseignés, chaque enfants a autant de chance d'être un garçon qu'une fille.

            On associe ce souhait d'avoir 3 enfants à une expérience aléatoire où l'on s'intéressera au sexe des enfants.
            \begin{enumerate}
                \item En utilisant un arbre de probabilité, déterminer l'univers de cette expérience aléatoire.
                \item Quelle est la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ? Est-ce une situation d'équiprobabilité?
                \item Quelle est la probabilité pour que le couple ait 2 filles puis un garçon?
                \item Quelle est la probabilité pour que le couple ait 2 filles ?
                % \item Quelle est la probabilité que leur deuxième enfant soit un garçon?
                \item Quelle est la probabilité pour que les deux ainés (les deux enfants nés en premier) soient du même sexe ?
                %\item Quelle est la probabilité pour d'avoir une seule fille?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}[label={\textbf{Partie \Alph*:}}]
        \item
            Probabilités
            \[
                P(A) = \frac{536}{1033} \qquad P(B) = \frac{21}{1033} \qquad P(C)= \frac{432}{1033}
            \]
        \item
            \begin{enumerate}
                \item En notant $F$ une fille et $G$ un garçon. L'univers est
                    \[
                        \Omega = \left\{ FFF, FFG, FGF, FGG, GFF, GFG, GGF, GGG \right\}
                    \]
                \item Loi de probabilités
                    \begin{center}
                        \begin{tabular}{|c|*{8}{c|}}
                            \hline
                            Issues & FFF  &  FFG  &  FGF  &  FGG  &  GFF  &  GFG  &  GGF  &  GGG \\
                            \hline
                            Probabilités & $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$  &  $\frac{1}{8}$ \\
                            \hline
                        \end{tabular}
                        Comme il y a autant de chance d'avoir une fille ou un garçon, c'est une situation d'équiprobabilité.
                    \end{center}
                \item La probabilités d'avoir deux filles est de $\frac{3}{8}$
                \item La probabilité d'avoir les deux ainés du même sexe est de $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Tableaux}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations}, points=4]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer le tableau de signes puis le tableau de variation de la fonction suivante
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \draw[very thick, color=red] plot [smooth,tension=0.5, mark=*] coordinates{(-4, -4) (-3.5, -3) (-3, 0) (-2, 1) (-1, 0) (0, -3) (1, -1) (2, -3) (2.5,0) (3, 2) (4, 3)};
                    \draw (4,3) node[above right] {$\mathcal{C}_f$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item En utilisant la calculatrice tracer le \textbf{tableau de signes} de la fonction
            \[
                g(x) = x^3 + x^2 - 2x
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[subtitle={Cducosto}, step={1}, origin={Création?}, topics={Fonctions}, tags={Tableau de signes, Tableau de variations, inéquations}, points=5]
    L'entreprise Cducosto produit des outils de bricolages, en particulier, des marteaux. Voici les tableaux décrivant le signe et les variations des bénéfices (notés $B(x)$) en fonction du nombre de marteaux qu'elle produit et vend.

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}
                    \tkzTabInit[]{$x$/1,Signes de $B(x)$/2}{0, 30, 120, 150}
                    \tkzTabLine{, -, z, +, z, -,}
                \end{tikzpicture}

                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[]{$ x $/1, Variations de $ B(x) $/2}{0, 75, 150}
                    \tkzTabVar{ -/-175, +/100, -/-175}
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

        \begin{enumerate}
            \item Tracer le graphique d'une fonction qui aurait le même tableau de signes que la fonction $B(x)$.
            \item Tracer le graphique d'une fonction qui aurait le même tableau de variations que la fonction $B(x)$.
            \item Si l'entreprise produit 10 marteaux, fait-elle des bénéfices?
            \item Sur quel intervalle doit-elle produire pour que ses bénéfices soient positifs?
            \item Quelle quantité de marteaux doit-elle produire pour faire un maximum de bénéfices?
        \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Graphique possible
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[xscale=1]
                    \begin{axis}[
                        xscale=2,
                        axis lines = center,
                        %grid = both,
                        xlabel = {Quantité},
                        %xtick={0, 20, ..., 150},
                        xtick distance=10,
                        ylabel = {Bénéfices},
                        ytick distance=50,
                        ymax=150,
                        grid=major
                        ]
                        \addplot[domain=0:150,samples=40, color=red, very thick]{-0.05*x*x + 7.5*x - 180};
                    \end{axis}
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item Si l'entreprise produit 10 marteaux, on est entre 0 et 30 marteaux donc les bénéfices sont négatifs.
        \item Pour que les bénéfices soient positifs , il faut que la production reste sur l'intervalle $\intFF{30}{120}$
        \item Pour des bénéfices maximaux, il faut produire 75 marteaux d'après le tableau de variations.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Programmation}, step={1}, origin={Création}, topics={Programmation}, tags={Python}, points=4]
    Dans cet exercice, vous devez compléter les programmes Python au niveau des pointillés.
    \begin{enumerate}
        \item On souhaite écrire une programme qui calculer l'indice IMC avec la formule $IMC = \dfrac{taille^2}{masse}$.
            \begin{center}
                \begin{minipage}{0.9\linewidth}
                    \inputminted[bgcolor=base3,linenos]{python}{./scripts/indice_imc.py}
                \end{minipage}
            \end{center}
        \item A un indice IMC, on associe une interprétation suivant la règle suivante
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
                    \hline
                    Indice IMC & 0 à 18.5 & 18.5 à 25 & plus de 25 \\
                    \hline
                    Interprétation & Insuffisance  & Normale & Surpoids\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
            \begin{center}
                \begin{minipage}{0.9\linewidth}
                    \inputminted[bgcolor=base3,linenos]{python}{./scripts/interpretation_imc.py}
                \end{minipage}
            \end{center}
        \item Écrire un programme qui affiche les multiples de 3 de 0 à 300.
    \end{enumerate}
\end{exercise}