118 lines
5.2 KiB
TeX
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\begin{exercise}[subtitle={Inéquation et tableau de signes}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
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Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
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\Block{
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set fonctions = {
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"f": random_expression("{a}x+{b}", ["a!=b"], global_config = {"min_max": (1, 10)}),
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"g": random_expression("{a}x+{b}", global_config = {"min_max": (1, 10)}),
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"h": random_expression("{a}x+{b}", global_config = {"min_max": (1, 10)}),
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"i": random_expression("{a}x+{b}"),
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"j": random_expression("{a}x+{b}"),
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"k": random_expression("{a}x+{b}"),
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"m": random_expression("{a}/{c}x+{b}"),
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"m": random_expression("{a}/{c}x+{b}/{d}", ["gcd(a, c)==1", "gcd(b, d)==1"]),
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}
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}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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%- for (name, function) in fonctions.items()
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\item $\Var{name}(x) = \Var{function}$
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%- endfor
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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%- for (name, function) in fonctions.items()
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\item $\Var{name}(x) = \Var{function}$
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Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
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%- set cst = -function[0]
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%- set coef = function[1]
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%- set racine = cst / coef
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\begin{align*}
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\Var{name}(x) & \geq 0 \\
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\Var{function} & \geq 0 \\
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%- if cst != 0
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\Var{function} + \Var{cst} &\geq 0 + \Var{cst} \\
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\Var{function + cst} &\geq \Var{0 + cst} \\
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%- endif
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%- if coef >= 0
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\frac{\Var{function + cst}}{\Var{coef}} &\geq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
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x &\geq \Var{racine.simplify()} \\
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\end{align*}
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%- set racine = racine.simplify()
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Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ \Var{name}(x) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
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\tkzTabLine{, -, z, +, }
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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%- else
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\frac{\Var{function + cst}}{\Var{coef}} &\leq \frac{\Var{cst}}{\Var{coef}} \\
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x &\leq \Var{racine.simplify()} \\
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\end{align*}
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%- set racine = racine.simplify()
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Donc $\Var{name}(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à $\Var{racine}$. On en déduit le tableau de signe
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ \Var{name}(x) $/1}{, $\Var{racine}$ ,}
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\tkzTabLine{, +, z, -, }
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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%- endif
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%- endfor
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Tableau de signes et produits}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
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Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
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\Block{
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set fonctions = {
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"f": random_expression("({a}x+{b})({c}x+{d})", ["a!=c"], global_config = {"min_max": (1, 10)}),
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"g": random_expression("({a}x+{b})({c}x+{d})", ["a!=c"], global_config = {"min_max": (1, 10)}),
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"h": random_expression("({a}x+{b})({c}x+{d})", ["a!=c"]),
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"i": random_expression("({a}x+{b})({c}x+{d})", ["a!=c"]),
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|
}
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}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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%- for (name, function) in fonctions.items()
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\item $\Var{name}(x) = \Var{function}$
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%- endfor
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Cette correction n'explique pas le raisonnement, mais donne uniquement les réponses. Les valeurs sont arrondis à $10^{-2}$ mais il est plus pertinent de garder les valeurs exactes.
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\begin{enumerate}
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%- for (name, function) in fonctions.items()
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\item
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%- set f = function.simplify()
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ \Var{name}(x) $/1}{, $\Var{f.roots[0].raw | round(2) }$ ,$\Var{f.roots[1].raw | round(2)}$, }
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%- if f[0] > 0
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\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
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%- else
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
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%- endif
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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%-endfor
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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