312 lines
13 KiB
TeX
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TeX
\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée et repère}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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\noindent
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\begin{minipage}{0.6\linewidth}
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\begin{enumerate}
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\item Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs $\vect{u}$, $\vect{v}$ et $\vect{w}$.
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\item Placer les points suivants
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\[
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A(2; 4) \qquad B(-2; 3) \qquad C(4; -2) \qquad D(-1; -4)
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\]
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\item Déterminer les coordonnées des vecteurs
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\[
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\vect{AB} \qquad
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|
\vect{AC} \qquad
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|
\vect{AD} \qquad
|
|
\vect{CD} \qquad
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|
\vect{DC} \qquad
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|
\vect{BC}
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|
\]
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|
\item Lire graphiquement les coordonnées des points suivants
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\begin{enumerate}
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\item $Z$ image de $A$ par la translation de vecteur $\vect{w}$
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\item $Y$ image de $B$ par la translation de vecteur $\vect{v}$
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\item $X$ image de $C$ par la translation de vecteur $\vect{w}$
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\item $S$ image de $D$ par la translation de vecteur $2\vect{u}$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
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\repereOIJ{-5}{5}{-5}{5}
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\draw [->, very thick] (-4, 1) -- node [midway, above] {$\vect{u}$} ++(2, 3);
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|
\draw [->, very thick] (2, 4) -- node [midway, above] {$\vect{v}$} ++(2, -1);
|
|
\draw [->, very thick] (0, 0) -- node [midway, above] {$\vect{w}$} ++(-3, -2);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\[
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\vect{u} = \vectCoord{2}{3} \qquad
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|
\vect{v} = \vectCoord{2}{-1} \qquad
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|
\vect{w} = \vectCoord{-3}{-2} \qquad
|
|
\]
|
|
\item
|
|
\item
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|
\[
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|
\vect{AB} = \vectCoord{-4}{-1} \qquad
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|
\vect{AC} = \vectCoord{2}{-6} \qquad
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|
\vect{AD} = \vectCoord{-3}{-8} \qquad
|
|
\vect{CD} = \vectCoord{-5}{-2} \qquad
|
|
\vect{DC} = \vectCoord{5}{2} \qquad
|
|
\vect{BC} = \vectCoord{-6}{-5} \qquad
|
|
\]
|
|
\item
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|
\[
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|
Z (-1; 2) \qquad
|
|
Y (0; 2) \qquad
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|
X (1; -4) \qquad
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|
S (3; 2) \qquad
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|
\]
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|
\end{enumerate}
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|
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Calculs de coordonnées}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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|
On définit les points suivants
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\[
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|
A(2; 4) \qquad
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|
B(5; 1) \qquad
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|
C(-6; -3) \qquad
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|
D(1; -6) \qquad
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|
E(0; -2) \qquad
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|
F(\frac{1}{2}; -2) \qquad
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|
G(\frac{1}{4}; \frac{2}{3}) \qquad
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|
\]
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|
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $\vect{AB}$
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|
\item $\vect{AC}$
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|
\item $\vect{DE}$
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|
\item $\vect{ED}$
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|
\item $\vect{AE}$
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|
\item $\vect{BE}$
|
|
\item $\vect{EC}$
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|
\item $\vect{FG}$
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|
\item $\vect{FA}$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
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|
\end{exercise}
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|
\begin{solution}
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|
\begin{multicols}{2}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\vect{AB} = \vectCoord{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \vectCoord{5 - 2}{1 - 4} = \vectCoord{3}{-3}$
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\item $\vect{AC} = \vectCoord{x_C - x_A}{y_C - y_A} = \vectCoord{-6 - 2}{-3 - 4} = \vectCoord{-8}{-7}$
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|
\item $\vect{DE} = \vectCoord{x_E - x_D}{y_E - y_D} = \vectCoord{1 - 0}{-6 - (-2)} = \vectCoord{1}{-4}$
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\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
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|
\end{solution}
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|
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\begin{exercise}[subtitle={Égalité entre vecteurs}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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|
\begin{enumerate}
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\item Dans les cas suivants, justifier si les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont égaux (leurs coordonnées doivent être égales)
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\begin{enumerate}
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\item $A(-2; -1)$, $B(1; 3)$, $C(1; 1)$ et $D(-2; -1)$
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|
\item $A(0; -1)$, $B(1; 0)$, $C(0; -2)$ et $D(1; -1)$
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|
\end{enumerate}
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|
\item On donne 3 points $A(1; 2)$, $B(1; 4)$ et $C(x; 6)$. Quelle doit être la valeur de $x$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ soient égaux?
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|
\item On donne 4 points $A(x-1; 2)$, $B(-1; y-5)$, $C(0; -2)$ et $D(4; 3)$. Quelle doivent être les valeurs de $x$ et $y$ pour que les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ soient égaux?
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|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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\begin{solution}
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item
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|
\begin{enumerate}
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|
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
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\[
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|
\vect{AB} = \vectCoord{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \vectCoord{3}{2} \qquad
|
|
\vect{CD} = \vectCoord{-2 - 1}{-1 - 1} = \vectCoord{-3}{-2} \qquad
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|
\]
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|
Donc les vecteurs ne sont pas égaux. Par contre, on peut noter que les coordonnées sont opposés, donc les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont opposés (même direction, même longueur, mais sens opposé)
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|
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
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\[
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|
\vect{AB} = \vectCoord{1 - 0}{0 - (-1)} = \vectCoord{1}{1} \qquad
|
|
\vect{CD} = \vectCoord{1 - 0}{-1 - (-2)} = \vectCoord{1}{1} \qquad
|
|
\]
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
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|
\[
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|
\vect{AB} = \vectCoord{1 - 1}{4 - 2} = \vectCoord{0}{2} \qquad
|
|
\vect{BC} = \vectCoord{x - 1}{6 - 4} = \vectCoord{x-1}{2} \qquad
|
|
\]
|
|
Pour que les vecteurs soient égaux il faut que leurs coordonnées soient égales. Il faut donc que
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|
\[
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|
x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1
|
|
\]
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|
Donc il faut que $x = 1$.
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|
\item On calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
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\[
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|
\vect{AB} = \vectCoord{-1 - (x-1)}{y-5-2} = \vectCoord{x}{y-7} \qquad
|
|
\vect{CD} = \vectCoord{4 - 0}{3 - (-2)} = \vectCoord{4}{1} \qquad
|
|
\]
|
|
Pour que les vecteurs soient égaux il faut que leurs coordonnées soient égales. Il faut donc que
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|
\begin{multicols}{2}
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|
\[
|
|
x = 4
|
|
\]
|
|
|
|
\[
|
|
y-7 = 1 \Leftrightarrow y = 8
|
|
\]
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|
\end{multicols}
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|
Donc il faut que $x = 4$ et que $y = 8$.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée de points et transformations}, step={1}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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|
Calculer les coordonnées des points suivants
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\begin{enumerate}
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|
\item $B$ image du point $A(2; 3)$ par la translation de vecteur $\vect{u}\vectCoord{2}{4}$.
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|
\item $D$ image du point $C(-2; 5)$ par la translation de vecteur $\vect{v}\vectCoord{4}{-2}$.
|
|
\item $F$ image du point $E(0; 3)$ par la translation de vecteur $\vect{v}\vectCoord{-3}{-2}$.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
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|
|
% -------
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|
|
\begin{exercise}[subtitle={Calculs avec les coordonnées de vecteurs}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
|
On définit les vecteurs suivants
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|
\[
|
|
\vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
|
|
\vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
|
|
\vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
|
|
\vect{x} \vectCoord{-3}{2}
|
|
\]
|
|
et les points suivants
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|
\[
|
|
A(2; 5) \qquad
|
|
B(4; 1) \qquad
|
|
C(2; -2) \qquad
|
|
D(-3; 1)
|
|
\]
|
|
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
|
|
\begin{multicols}{4}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\vect{u} +\vect{x}$
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|
\item $\vect{w} +\vect{x}$
|
|
|
|
\item $\vect{w} - \vect{v}$
|
|
\item $\vect{u} + \vect{x} + \vect{v} - 2\vect{w}$
|
|
|
|
\item $2\vect{w} +\vect{x} - 2\vect{x}$
|
|
\item $\vect{AB} +\vect{x}$
|
|
|
|
\item $\vect{AC} + 2\vect{CD}$
|
|
\item $\vect{AC} - 3\vect{AB}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
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|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Équilibre des forces}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{0}{-5}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{-2}{2}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{3}$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Additionner ces trois forces.
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|
\item Expliquer pourquoi on peut dit que l'objet est en équilibre
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|
\end{enumerate}
|
|
\item Un objet est modélisé par un point $O$. On applique dessus 3 forces: $\vect{F_1} \; \vectCoord{-1}{2}$, $\vect{F_2} \; \vectCoord{3}{1}$ et $\vect{F_3}\; \vectCoord{2}{2}$.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Montrer que l'objet n'est pas en équilibre.
|
|
\item Quelle doit être la quatrième force à appliquer pour que l'objet soit en équilibre.
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|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={2}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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Soient $A(-3; 7)$, $B(0; -3)$ et $(-2; 3)$ trois points du plan et un point $M(x;y)$ dont il faudra déterminer les coordonnées dans chacun des cas suivants
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\begin{multicols}{4}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $\vect{AM} = \dfrac{1}{2}\vect{CB}$
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|
\item $2\vect{AB} + 3\vect{CM} = \vect{0}$
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|
\item $\vect{BM} = 3\vect{AB} - \vect{CB}$
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|
\item $3\vect{BM} = 2\vect{AM}$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
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|
% -------
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|
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\begin{exercise}[subtitle={Norme d'un vecteur}, step={3}, origin={Création}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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|
On définit les vecteurs suivants
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|
\[
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|
\vect{u} \vectCoord{2}{5} \qquad
|
|
\vect{v} \vectCoord{0}{2} \qquad
|
|
\vect{w} \vectCoord{1}{-4} \qquad
|
|
\vect{x} \vectCoord{-3}{2}
|
|
\]
|
|
et les points suivants
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|
\[
|
|
A(2; 5) \qquad
|
|
B(4; 1) \qquad
|
|
C(2; \dfrac{1}{5}) \qquad
|
|
D(\dfrac{2}{3}; 1)
|
|
\]
|
|
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{u}$, $\vect{v}$, $\vect{w}$ et $\vect{x}$
|
|
\item Calculer la norme des vecteurs: $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$
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|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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|
|
|
|
% -------
|
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|
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\begin{exercise}[subtitle={Colinéarité}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
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|
Dans chacun des cas suivant, dire si les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont colinéaires
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $A(1; -4)$, $B(-4; 8)$ et $C(-6; 2)$
|
|
\item $A(5; 5)$, $B(0; -1)$ et $C(10; 11)$
|
|
\item $A\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}\right)$, $B\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{-2}{4}\right)$ et $C\left(\dfrac{-1}{2}; \dfrac{-11}{3}\right)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Alignement}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
|
Dans chacun des cas suivant, dire si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $A(4; 2)$, $B(10; -5)$ et $C(-8; 16)$
|
|
\item $A(9; 1)$, $B(6; -1)$ et $C(3; -3)$
|
|
\item $A\left(\dfrac{-1}{5}; 1\right)$, $B\left(2; \dfrac{-1}{6}\right)$ et $C\left(\dfrac{10}{5}; 1\right)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Coordonnée manquante}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Déterminer la valeur de $m$ pour que les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ soient colinéaires
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $\vect{u}\; \vectCoord{-8}{8}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{m}{2}$
|
|
\item $\vect{u}\; \vectCoord{m-1}{2}$ et $\vect{v}\; \vectCoord{3}{-2}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\item Déterminer la valeur de $m$ pour que les points $A$, $B$ et $C$ soient alignés.
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $A(1; 3)$, $B(-2; 1)$ et $C(m; 2)$
|
|
\item $A(-5; 1)$, $B(7; 1)$ et $C(1; m-2)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Problèmes de géométrie}, step={4}, origin={2nd math repère}, topics={ Vecteur et coordonnées }, tags={ vecteurs }]
|
|
Soit $(O, \vect{i}, \vect{h})$ un repère orthonormé. Soit $A(0; 3)$, $B(-1; 1)$ et $C(-4; 2)$ trois points.
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Déterminer les coordonnées de $I$ le milieu du segment $[BC]$.
|
|
\item Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que
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|
\[
|
|
3\vect{DA}j+\vect{DB}+\vect{DC}= \vect{0}
|
|
\]
|
|
\item Démontrer que $D$, $A$ et $I$ sont alignés.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|