213 lines
9.1 KiB
TeX
213 lines
9.1 KiB
TeX
\begin{exercise}[subtitle={Inéquation et tableau de signes}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
|
|
Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
|
|
|
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f(x) = 6x + 2$
|
|
\item $g(x) = 9x + 10$
|
|
\item $h(x) = 6x + 8$
|
|
\item $i(x) = - 8x - 4$
|
|
\item $j(x) = 8x - 1$
|
|
\item $k(x) = 6x - 3$
|
|
\item $m(x) = \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f(x) = 6x + 2$
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
f(x) & \geq 0 \\
|
|
6x + 2 & \geq 0 \\
|
|
6x + 2 + - 2 &\geq 0 + - 2 \\
|
|
6x &\geq - 2 \\
|
|
\frac{6x}{6} &\geq \frac{- 2}{6} \\
|
|
x &\geq \dfrac{- 1}{3} \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $f(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 1}{3}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{, $\dfrac{- 1}{3}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item $g(x) = 9x + 10$
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
g(x) & \geq 0 \\
|
|
9x + 10 & \geq 0 \\
|
|
9x + 10 + - 10 &\geq 0 + - 10 \\
|
|
9x &\geq - 10 \\
|
|
\frac{9x}{9} &\geq \frac{- 10}{9} \\
|
|
x &\geq \dfrac{- 10}{9} \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $g(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 10}{9}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{, $\dfrac{- 10}{9}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item $h(x) = 6x + 8$
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
h(x) & \geq 0 \\
|
|
6x + 8 & \geq 0 \\
|
|
6x + 8 + - 8 &\geq 0 + - 8 \\
|
|
6x &\geq - 8 \\
|
|
\frac{6x}{6} &\geq \frac{- 8}{6} \\
|
|
x &\geq \dfrac{- 4}{3} \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $h(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{- 4}{3}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ h(x) $/1}{, $\dfrac{- 4}{3}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item $i(x) = - 8x - 4$
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
i(x) & \geq 0 \\
|
|
- 8x - 4 & \geq 0 \\
|
|
- 8x - 4 + 4 &\geq 0 + 4 \\
|
|
- 8x &\geq 4 \\
|
|
\frac{- 8x}{- 8} &\leq \frac{4}{- 8} \\
|
|
x &\leq \dfrac{1}{- 2} \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $i(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à $\dfrac{1}{- 2}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ i(x) $/1}{, $\dfrac{1}{- 2}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\item $j(x) = 8x - 1$
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
j(x) & \geq 0 \\
|
|
8x - 1 & \geq 0 \\
|
|
8x - 1 + 1 &\geq 0 + 1 \\
|
|
8x &\geq 1 \\
|
|
\frac{8x}{8} &\geq \frac{1}{8} \\
|
|
x &\geq \dfrac{1}{8} \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $j(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{1}{8}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ j(x) $/1}{, $\dfrac{1}{8}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item $k(x) = 6x - 3$
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
k(x) & \geq 0 \\
|
|
6x - 3 & \geq 0 \\
|
|
6x - 3 + 3 &\geq 0 + 3 \\
|
|
6x &\geq 3 \\
|
|
\frac{6x}{6} &\geq \frac{3}{6} \\
|
|
x &\geq \dfrac{1}{2} \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $k(x)$ est positif quand $x$ est supérieur à $\dfrac{1}{2}$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ k(x) $/1}{, $\dfrac{1}{2}$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item $m(x) = \dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2}$
|
|
Pour déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est positive, il faut résoudre l'inéquation
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
m(x) & \geq 0 \\
|
|
\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2} & \geq 0 \\
|
|
\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{- 9}{2} + \dfrac{9}{2} &\geq 0 + \dfrac{9}{2} \\
|
|
\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{0}{2} &\geq \dfrac{9}{2} \\
|
|
\frac{\dfrac{9}{- 4} \times x + \dfrac{0}{2}}{\dfrac{9}{- 4}} &\leq \frac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{9}{- 4}} \\
|
|
x &\leq - 2 \\
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Donc $m(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à $- 2$. On en déduit le tableau de signe
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ m(x) $/1}{, $- 2$ ,}
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
|
|
\begin{exercise}[subtitle={Tableau de signes et produits}, step={4}, origin={Création}, topics={Inéquations}, tags={ Statistiques, Fractions }, mode={\searchMode}]
|
|
Tracer le tableau de signes des fonctions suivantes sans tracer le graphique. Une fois le tableau de signes terminé, vous vérifierez votre tableau avec la calculatrice.
|
|
|
|
\begin{multicols}{2}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item $f(x) = (5x + 5)(3x + 7)$
|
|
\item $g(x) = (9x + 10)(4x + 5)$
|
|
\item $h(x) = (- 3x - 9)(4x + 4)$
|
|
\item $i(x) = (- 2x - 10)(5x - 4)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
|
|
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
Cette correction n'explique pas le raisonnement, mais donne uniquement les réponses. Les valeurs sont arrondis à $10^{-2}$ mais il est plus pertinent de garder les valeurs exactes.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{, $-2.33$ ,$-1$, }
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{, $-1.25$ ,$-1.11$, }
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ h(x) $/1}{, $-3$ ,$-1$, }
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\item
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}
|
|
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$ x $/1,$ i(x) $/1}{, $-5$ ,$0.80$, }
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\end{solution}
|