309 lines
9.8 KiB
TeX
309 lines
9.8 KiB
TeX
|
\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/tools/style/classDS}
|
||
|
|
\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014_2015}
|
||
|
|
|
||
|
|
% Title Page
|
||
|
|
\titre{DM5}
|
||
|
|
% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
|
||
|
|
\classe{\premiereS}
|
||
|
|
\date{02 mars 2015}
|
||
|
|
%\duree{1 heure}
|
||
|
|
\sujet{1}
|
||
|
|
% DS DSCorr DM DMCorr Corr
|
||
|
|
\typedoc{DM}
|
||
|
|
|
||
|
|
\printanswers
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
\maketitle
|
||
|
|
|
||
|
|
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{questions}
|
||
|
|
|
||
|
|
\question
|
||
|
|
Résoudre les équations suivantes
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & > &0 \\
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 8 x^{ 2 } + 5 x - 2$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||
|
|
\Delta & = & 5^{ 2 } - 4 \times 8 ( -2 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 25 - 4 ( -16 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 25 - ( -64 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 89
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
comme $\Delta = 89 > 0$ donc $P$ a deux racines
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{89}}{2 \times 8} = -0.9 \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{89}}{2 \times 8} = 0.28
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Comme $a = 8$, on en déduit le tableau de signe de $P$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||
|
|
{$x$/1, $P$/2}%
|
||
|
|
{$-\infty$, -0.9 , 0.28 , $+\infty$}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
- 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \leq &0 \\
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||
|
|
\Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -3 ) \times 4 \\
|
||
|
|
\Delta & = & 4 - 4 ( -12 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 4 - ( -48 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 52
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
comme $\Delta = 52 > 0$ donc $Q$ a deux racines
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{52}}{2 \times -3} = 1.54 \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{52}}{2 \times -3} = -0.87
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Comme $a = -3$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||
|
|
{$x$/1, $Q$/2}%
|
||
|
|
{$-\infty$, -0.87 , 1.54 , $+\infty$}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & \geq & - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 \geq - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - (- 3 x^{ 2 } + 2 x + 4) \geq 0 \\
|
||
|
|
& \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - ( - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 )\geq 0 \\
|
||
|
|
& \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 + 3 x^{ 2 } - 2 x - 4\geq 0 \\
|
||
|
|
& \Leftrightarrow & ( 8 + 3 ) x^{ 2 } + ( 5 + ( -2 ) ) x + ( -2 ) + ( -4 )\geq 0 \\
|
||
|
|
& \Leftrightarrow & 11 x^{ 2 } + 3 x - 6\geq 0
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 11 x^{ 2 } + 3 x - 6$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||
|
|
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 \times 11 ( -6 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 9 - 4 ( -66 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 9 - ( -264 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 273
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
comme $\Delta = 273 > 0$ donc $R$ a deux racines
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{273}}{2 \times 11} = -0.89 \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{273}}{2 \times 11} = 0.61
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Comme $a = 11$, on en déduit le tableau de signe de $R$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||
|
|
{$x$/1, $R$/2}%
|
||
|
|
{$-\infty$, -0.89 , 0.61 , $+\infty$}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\question
|
||
|
|
Tracer le tableau de variation des fonctions suivantes \textit{(Vous pouvez utiliser les nombres à virgules)}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{parts}
|
||
|
|
\part $f:x\mapsto - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5$
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
f'(x) & = & 3 ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times 1 x + 1 ( -7 ) \\
|
||
|
|
f'(x) & = & - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
On étudie le signe de $P'$
|
||
|
|
|
||
|
|
Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||
|
|
\Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -30 ) ( -7 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 4 - 4 \times 210 \\
|
||
|
|
\Delta & = & 4 - 840 \\
|
||
|
|
\Delta & = & -836
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Alors $\Delta = -836 < 0$ donc $f'$ n'a pas de racine.
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $f'$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||
|
|
{$x$/1, Signe de $f' $/2}%
|
||
|
|
{$-\infty$, $+\infty$}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, -,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\part $g:x\mapsto - 9 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 5 x - 2$
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
g'(x) & = & 3 ( -9 ) x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -5 ) \\
|
||
|
|
g'(x) & = & - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
On étudie le signe de $P'$
|
||
|
|
|
||
|
|
Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||
|
|
\Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 ( -27 ) ( -5 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 256 - 4 \times 135 \\
|
||
|
|
\Delta & = & 256 - 540 \\
|
||
|
|
\Delta & = & -284
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Alors $\Delta = -284 < 0$ donc $g'$ n'a pas de racine.
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Comme $a = -27$, on en déduit le tableau de signe de $g'$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||
|
|
{$x$/1, Signe de $g' $/2}%
|
||
|
|
{$-\infty$, $+\infty$}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, -,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x)$
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{solution}
|
||
|
|
On commence par simplifier l'expression de $h$
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x) \\
|
||
|
|
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - ( - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5 ) \\
|
||
|
|
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 + 10 x^{ 3 } - x^{ 2 } + 7 x - 5 \\
|
||
|
|
h(x) & = & 10 x^{ 3 } + ( ( -7 ) + ( -1 ) ) x^{ 2 } + ( ( -9 ) + 7 ) x + 3 + ( -5 ) \\
|
||
|
|
h(x) & = & 10 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 2 x - 2
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
h'(x) & = & 3 \times 10 x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -2 ) \\
|
||
|
|
h'(x) & = & 30 x^{ 2 } - 16 x - 2
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
On étudie le signe de $P'$
|
||
|
|
|
||
|
|
Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 30 x^{ 2 } - 16 x - 2$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||
|
|
\Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 \times 30 ( -2 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 256 - 4 ( -60 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 256 - ( -240 ) \\
|
||
|
|
\Delta & = & 496
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
comme $\Delta = 496 > 0$ donc $h'$ a deux racines
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{496}}{2 \times 30} = -0.1 \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{496}}{2 \times 30} = 0.64
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
Comme $a = 30$, on en déduit le tableau de signe de $h'$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||
|
|
{$x$/1, Signe de $h' $/2}%
|
||
|
|
{$-\infty$, -0.1 , 0.64 , $+\infty$}
|
||
|
|
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
|
||
|
|
\end{parts}
|
||
|
|
|
||
|
|
\question
|
||
|
|
Appliquer l'algorithme de tri vu en cours à la suite suivante
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tabular}{|*{6}{c|}}
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
6914 & 6851 & 6532 & 6884 & 6164 & 6495 \\
|
||
|
|
\hline
|
||
|
|
\end{tabular}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{questions}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{document}
|
||
|
|
|
||
|
|
%%% Local Variables:
|
||
|
|
%%% mode: latex
|
||
|
|
%%% TeX-master: "master"
|
||
|
|
%%% End:
|