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\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/tools/style/classDS}
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\usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014_2015}
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% Title Page
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\titre{DM5}
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% \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG
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\classe{\premiereS}
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\date{02 mars 2015}
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%\duree{1 heure}
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\sujet{\Var{infos.num}}
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% DS DSCorr DM DMCorr Corr
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\typedoc{DM}
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\printanswers
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\begin{document}
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\maketitle
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Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie.
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\begin{questions}
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\question
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Résoudre les équations suivantes
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\Block{set P = Polynom_deg2.random(["{a}", "{b}", "{c}"], name = 'P')}
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\Block{set Q = Polynom_deg2.random(["{a}", "{b}", "{c}"], name = 'Q')}
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\begin{eqnarray*}
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\Var{P} & > &0 \\
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\end{eqnarray*}
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\begin{solution}
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On commence par calculer le discriminant de $\Var{P.name}(x) = \Var{P}$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Var{P.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
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\end{eqnarray*}
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\Block{if P.delta > 0}
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comme $\Delta = \Var{P.delta} > 0$ donc $\Var{P.name}$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} - \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots()[0] } \\
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|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} + \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots()[1] }
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\end{eqnarray*}
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\Block{elif P.delta == 0}
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Comme $\Delta = 0$ donc $\Var{P.name}$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 = \frac{-b}{2a} = \Var{P.roots()[0]} \\
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\end{eqnarray*}
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\Block{else}
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Alors $\Delta = \Var{P.delta} < 0$ donc $\Var{P.name}$ n'a pas de racine.
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\Block{endif}
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|
Comme $a = \Var{P.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P.name}$
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]%
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{$x$/1, $P$/2}%
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|
\Var{P.tbl_sgn_header()}
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\Var{P.tbl_sgn()}
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\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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\end{solution}
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\begin{eqnarray*}
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\Var{Q} & \leq &0 \\
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\end{eqnarray*}
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\begin{solution}
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On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = \Var{Q}$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Var{Q.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
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\end{eqnarray*}
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\Block{if Q.delta > 0}
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comme $\Delta = \Var{Q.delta} > 0$ donc $Q$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-Q.b} - \sqrt{\Var{Q.delta}}}{2 \times \Var{Q.a}} = \Var{Q.roots()[0] } \\
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||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-Q.b} + \sqrt{\Var{Q.delta}}}{2 \times \Var{Q.a}} = \Var{Q.roots()[1] }
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\end{eqnarray*}
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\Block{elif Q.delta == 0}
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Comme $\Delta = 0$ donc $Q$ a une racine
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\begin{eqnarray*}
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x_1 = \frac{-b}{2a} = \Var{Q.roots()[0]} \\
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\end{eqnarray*}
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\Block{else}
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Alors $\Delta = \Var{Q.delta} < 0$ donc $Q$ n'a pas de racine.
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\Block{endif}
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|
Comme $a = \Var{Q.a}$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[espcl=2]%
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|
{$x$/1, $Q$/2}%
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|
\Var{Q.tbl_sgn_header()}
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|
\Var{Q.tbl_sgn()}
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|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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\end{solution}
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\begin{eqnarray*}
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\Var{P} & \geq & \Var{Q}
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\end{eqnarray*}
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\Block{set R = P-Q}
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\begin{solution}
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On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$.
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\begin{eqnarray*}
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\Var{P} \geq \Var{Q} & \Leftrightarrow & \Var{P} - (\Var{Q}) \geq 0 \\
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\Var{R.explain() | calculus(name = "", sep = "\\Leftrightarrow", end = "\\geq 0")}
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\end{eqnarray*}
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\Block{set R = Polynom_deg2(R._coef)}
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Ensuite on étudie le signe de $R(X) = \Var{R}$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Var{R.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
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\end{eqnarray*}
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\Block{if R.delta > 0}
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comme $\Delta = \Var{R.delta} > 0$ donc $R$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-R.b} - \sqrt{\Var{R.delta}}}{2 \times \Var{R.a}} = \Var{R.roots()[0] } \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-R.b} + \sqrt{\Var{R.delta}}}{2 \times \Var{R.a}} = \Var{R.roots()[1] }
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\end{eqnarray*}
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\Block{elif R.delta == 0}
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Comme $\Delta = 0$ donc $R$ a une racine
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\begin{eqnarray*}
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|
x_1 = \frac{-b}{2a} = \Var{R.roots()[0]} \\
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\end{eqnarray*}
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\Block{else}
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|
Alors $\Delta = \Var{R.delta} < 0$ donc $R$ n'a pas de racine.
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\Block{endif}
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|
Comme $a = \Var{R.a}$, on en déduit le tableau de signe de $R$
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\begin{center}
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\tkzTabInit[espcl=2]%
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|
{$x$/1, $R$/2}%
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|
\Var{R.tbl_sgn_header()}
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|
\Var{R.tbl_sgn()}
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|
|
\end{tikzpicture}
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|
\end{center}
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|
|
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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\end{solution}
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\question
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Tracer le tableau de variation des fonctions suivantes \textit{(Vous pouvez utiliser les nombres à virgules)}
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\Block{set f = Polynom.random(["{a}", "{b}", "{c}", "{d}"], name = 'f')}
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\Block{set P = f}
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\begin{parts}
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\part $f:x\mapsto \Var{P}$
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\begin{solution}
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|
Pour avoir les variations de $\Var{P.name}$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
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|
\Block{set P1 = P.derivate()}
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\begin{eqnarray*}
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|
\Var{P1.explain() | calculus(name = P1.name + "(x)", sep = "=", end = "")}
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|
\end{eqnarray*}
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|
\Block{set P1 = Polynom_deg2(P1._coef, name = P1.name)}
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|
On étudie le signe de $P'$
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|
Ensuite on étudie le signe de $\Var{P1.name}(x) = \Var{P1}$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Var{P1.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
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\end{eqnarray*}
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\Block{if P1.delta > 0}
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|
comme $\Delta = \Var{P1.delta} > 0$ donc $\Var{P1.name}$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P1.b} - \sqrt{\Var{P1.delta}}}{2 \times \Var{P1.a}} = \Var{P1.roots()[0] } \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P1.b} + \sqrt{\Var{P1.delta}}}{2 \times \Var{P1.a}} = \Var{P1.roots()[1] }
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
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\Block{elif P1.delta == 0}
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|
Comme $\Delta = 0$ donc $\Var{P1.name}$ a une racine
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|
\begin{eqnarray*}
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|
x_1 = \frac{-b}{2a} = \Var{P1.roots()[0]} \\
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|
\end{eqnarray*}
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|
\Block{else}
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|
|
Alors $\Delta = \Var{P1.delta} < 0$ donc $\Var{P1.name}$ n'a pas de racine.
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||
|
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||
|
|
\Block{endif}
|
||
|
|
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
|
||
|
|
\begin{center}
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||
|
|
\begin{tikzpicture}
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||
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|
\tkzTabInit[espcl=2]%
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||
|
|
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||
|
|
\Var{P1.tbl_sgn_header()}
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||
|
|
\Var{P1.tbl_sgn()}
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||
|
|
\end{tikzpicture}
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|
|
\end{center}
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|
|
|
||
|
|
\end{solution}
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|
\Block{set g = Polynom.random(["{a}", "{b}", "{c}", "{d}"], name = 'g')}
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\Block{set P = g}
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|
\part $g:x\mapsto \Var{P}$
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\begin{solution}
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|
|
Pour avoir les variations de $\Var{P.name}$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
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||
|
|
\Block{set P1 = P.derivate()}
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||
|
|
\begin{eqnarray*}
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||
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|
\Var{P1.explain() | calculus(name = P1.name + "(x)", sep = "=", end = "")}
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||
|
|
\end{eqnarray*}
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|
|
\Block{set P1 = Polynom_deg2(P1._coef, name = P1.name)}
|
||
|
|
On étudie le signe de $P'$
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|
|
||
|
|
Ensuite on étudie le signe de $\Var{P1.name}(x) = \Var{P1}$.
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||
|
|
\begin{eqnarray*}
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||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||
|
|
\Var{P1.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
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||
|
|
|
||
|
|
\Block{if P1.delta > 0}
|
||
|
|
comme $\Delta = \Var{P1.delta} > 0$ donc $\Var{P1.name}$ a deux racines
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P1.b} - \sqrt{\Var{P1.delta}}}{2 \times \Var{P1.a}} = \Var{P1.roots()[0] } \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P1.b} + \sqrt{\Var{P1.delta}}}{2 \times \Var{P1.a}} = \Var{P1.roots()[1] }
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\Block{elif P1.delta == 0}
|
||
|
|
Comme $\Delta = 0$ donc $\Var{P1.name}$ a une racine
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||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
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||
|
|
x_1 = \frac{-b}{2a} = \Var{P1.roots()[0]} \\
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
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||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\Block{else}
|
||
|
|
Alors $\Delta = \Var{P1.delta} < 0$ donc $\Var{P1.name}$ n'a pas de racine.
|
||
|
|
|
||
|
|
\Block{endif}
|
||
|
|
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||
|
|
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||
|
|
\Var{P1.tbl_sgn_header()}
|
||
|
|
\Var{P1.tbl_sgn()}
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
||
|
|
\end{center}
|
||
|
|
|
||
|
|
\end{solution}
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||
|
|
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||
|
|
\Block{set R = Polynom.random(["{a}", "{b}", "{c}"])}
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|
\part $h:x\mapsto \Var{R} - f(x)$
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\Block{set h = R - f}
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\Block{do h.give_name('h')}
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\begin{solution}
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|
On commence par simplifier l'expression de $h$
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\begin{eqnarray*}
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|
h(x) & = & \Var{R} - f(x) \\
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|
\Var{h.explain() | calculus(name = h.name + "(x)", sep = "=", end = "")}
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|
|
\end{eqnarray*}
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||
|
|
|
||
|
|
\Block{set P = h}
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||
|
|
Pour avoir les variations de $\Var{P.name}$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
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||
|
|
\Block{set P1 = P.derivate()}
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
\Var{P1.explain() | calculus(name = P1.name + "(x)", sep = "=", end = "")}
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
\Block{set P1 = Polynom_deg2(P1._coef, name = P1.name)}
|
||
|
|
On étudie le signe de $P'$
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||
|
|
|
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|
|
Ensuite on étudie le signe de $\Var{P1.name}(x) = \Var{P1}$.
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
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||
|
|
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||
|
|
\Var{P1.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
\Block{if P1.delta > 0}
|
||
|
|
comme $\Delta = \Var{P1.delta} > 0$ donc $\Var{P1.name}$ a deux racines
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
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||
|
|
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P1.b} - \sqrt{\Var{P1.delta}}}{2 \times \Var{P1.a}} = \Var{P1.roots()[0] } \\
|
||
|
|
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P1.b} + \sqrt{\Var{P1.delta}}}{2 \times \Var{P1.a}} = \Var{P1.roots()[1] }
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\Block{elif P1.delta == 0}
|
||
|
|
Comme $\Delta = 0$ donc $\Var{P1.name}$ a une racine
|
||
|
|
|
||
|
|
\begin{eqnarray*}
|
||
|
|
x_1 = \frac{-b}{2a} = \Var{P1.roots()[0]} \\
|
||
|
|
\end{eqnarray*}
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
\Block{else}
|
||
|
|
Alors $\Delta = \Var{P1.delta} < 0$ donc $\Var{P1.name}$ n'a pas de racine.
|
||
|
|
|
||
|
|
\Block{endif}
|
||
|
|
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
|
||
|
|
\begin{center}
|
||
|
|
\begin{tikzpicture}
|
||
|
|
\tkzTabInit[espcl=2]%
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|
|
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||
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\Var{P1.tbl_sgn_header()}
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\Var{P1.tbl_sgn()}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{solution}
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\end{parts}
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\question
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Appliquer l'algorithme de tri vu en cours à la suite suivante
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{6}{c|}}
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\hline
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6914 & 6851 & 6532 & 6884 & 6164 & 6495 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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\end{questions}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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