Examples
This commit is contained in:
Lafrite
parent
df692ebb91
commit
17b4db0db5
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@ -1,117 +0,0 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\RequirePackage[utf8x]{inputenc}
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\RequirePackage[francais]{babel}
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\RequirePackage{amssymb}
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\RequirePackage{amsmath}
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\RequirePackage{amsfonts}
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\RequirePackage{subfig}
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\RequirePackage{graphicx}
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\RequirePackage{color}
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% Title Page
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\title{Calcul littéral et statistiques}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Polynômes}
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Résoudre l'équation suivante
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\begin{eqnarray*}
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3 x^{ 2 } + 6 x + 3 & = & 0
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\end{eqnarray*}
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Solution:
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On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 3 x^{ 2 } + 6 x + 3$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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\Delta & = & 6^{ 2 } - 4 \times 3 \times 3 \\
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\Delta & = & 36 - 4 \times 9 \\
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\Delta & = & 36 - 36 \\
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\Delta & = & 0
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\end{eqnarray*}
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Comme $\Delta = 0$ donc $P$ a une racine
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\begin{eqnarray*}
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x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2\times 3} = -1 \\
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\end{eqnarray*}
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La solution de $3 x^{ 2 } + 6 x + 3 = 0$ est donc $\mathcal{S} = \left\{ -1\right\}$
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\bigskip
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~\dotfill
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\bigskip
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Résoudre l'équation suivante
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\begin{eqnarray*}
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x^{ 2 } + 4 x + 2 & = & - 9 x^{ 2 } + 9 x + 5
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\end{eqnarray*}
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Solution:
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On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c = 0$.
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\begin{align*}
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& & x^{ 2 } + 4 x + 2 = - 9 x^{ 2 } + 9 x + 5 \\
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||||
& \Leftrightarrow & x^{ 2 } + 4 x + 2 - ( - 9 x^{ 2 } + 9 x + 5 )= 0 \\
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||||
& \Leftrightarrow & x^{ 2 } + 4 x + 2 + 9 x^{ 2 } - 9 x - 5= 0 \\
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||||
& \Leftrightarrow & ( 1 + 9 ) x^{ 2 } + ( 4 - 9 ) x + 2 - 5= 0 \\
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||||
& \Leftrightarrow & 10 x^{ 2 } - 5 x - 3= 0
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||||
\end{align*}
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||||
On cherche maintenant à résoudre l'équation $10 x^{ 2 } - 5 x - 3 = 0$.
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On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 10 x^{ 2 } - 5 x - 3$.
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\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Delta & = & -5^{ 2 } - 4 \times 10 \times ( -3 ) \\
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||||
\Delta & = & 25 - 4 \times ( -30 ) \\
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||||
\Delta & = & 25 - ( -120 ) \\
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||||
\Delta & = & 145
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\end{eqnarray*}
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||||
comme $\Delta = 145 > 0$ donc $P$ a deux racines
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\begin{eqnarray*}
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x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{145}}{2 \times 10} = - \frac{\sqrt{145}}{20} + \frac{1}{4} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{145}}{2 \times 10} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{145}}{20}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Les solutions de l'équation $10 x^{ 2 } - 5 x - 3 = 0$ sont donc $\mathcal{S} = \left\{ - \frac{\sqrt{145}}{20} + \frac{1}{4}; \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{145}}{20} \right\}$
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -26,78 +26,72 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
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\begin{eqnarray*}
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||||
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & > &0 \\
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||||
6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & > &0 \\
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||||
\end{eqnarray*}
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\begin{solution}
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||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 8 x^{ 2 } + 5 x - 2$.
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||||
On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{ 2 } + 7 x + 7$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Delta & = & 5^{ 2 } - 4 \times 8 ( -2 ) \\
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||||
\Delta & = & 25 - 4 ( -16 ) \\
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||||
\Delta & = & 25 - ( -64 ) \\
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||||
\Delta & = & 89
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||||
\Delta & = & 7^{ 2 } - 4 \times 6 \times 7 \\
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||||
\Delta & = & 49 - 4 \times 42 \\
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||||
\Delta & = & 49 - 168 \\
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||||
\Delta & = & -119
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
comme $\Delta = 89 > 0$ donc $P$ a deux racines
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{89}}{2 \times 8} = -0.9 \\
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||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{89}}{2 \times 8} = 0.28
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Alors $\Delta = -119 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine.
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||||
Comme $a = 8$, on en déduit le tableau de signe de $P$
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, $P$/2}%
|
||||
{$-\infty$, -0.9 , 0.28 , $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
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||||
Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $P$
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||||
%\begin{center}
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||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, $P$/2}%
|
||||
% {$-\infty$, $+\infty$}
|
||||
% \tkzTabLine{, +,}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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||||
\end{solution}
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
- 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \leq &0 \\
|
||||
- 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \leq &0 \\
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
\begin{solution}
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||||
On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4$.
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||||
On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -3 ) \times 4 \\
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||||
\Delta & = & 4 - 4 ( -12 ) \\
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||||
\Delta & = & 4 - ( -48 ) \\
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||||
\Delta & = & 52
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||||
\Delta & = & 10^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\
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||||
\Delta & = & 100 - 4 \times ( -6 ) \\
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||||
\Delta & = & 100 - ( -24 ) \\
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||||
\Delta & = & 124
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
comme $\Delta = 52 > 0$ donc $Q$ a deux racines
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||||
comme $\Delta = 124 > 0$ donc $Q$ a deux racines
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{52}}{2 \times -3} = 1.54 \\
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||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{52}}{2 \times -3} = -0.87
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{124}}{2 \times -6} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{124}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6}
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Comme $a = -3$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
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||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, $Q$/2}%
|
||||
{$-\infty$, -0.87 , 1.54 , $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
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||||
Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
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||||
%\begin{center}
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||||
% \begin{tikzpicture}
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||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, $Q$/2}%
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||||
% {$-\infty$, - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6} , \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} , $+\infty$}
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||||
% \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
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||||
On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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||||
\end{solution}
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & \geq & - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4
|
||||
6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & \geq & - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
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||||
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@ -105,43 +99,37 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
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\begin{solution}
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||||
On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
8 x^{ 2 } + 5 x - 2 \geq - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - (- 3 x^{ 2 } + 2 x + 4) \geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - ( - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 )\geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 + 3 x^{ 2 } - 2 x - 4\geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & ( 8 + 3 ) x^{ 2 } + ( 5 + ( -2 ) ) x + ( -2 ) + ( -4 )\geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & 11 x^{ 2 } + 3 x - 6\geq 0
|
||||
6 x^{ 2 } + 7 x + 7 \geq - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - (- 6 x^{ 2 } + 10 x + 1) \geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - ( - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 )\geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 + 6 x^{ 2 } - 10 x - 1\geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & ( 6 + 6 ) x^{ 2 } + ( 7 - 10 ) x + 7 - 1\geq 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & 12 x^{ 2 } - 3 x + 6\geq 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
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||||
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||||
Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 11 x^{ 2 } + 3 x - 6$.
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||||
Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 12 x^{ 2 } - 3 x + 6$.
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Delta & = & 3^{ 2 } - 4 \times 11 ( -6 ) \\
|
||||
\Delta & = & 9 - 4 ( -66 ) \\
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||||
\Delta & = & 9 - ( -264 ) \\
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||||
\Delta & = & 273
|
||||
\Delta & = & -3^{ 2 } - 4 \times 12 \times 6 \\
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||||
\Delta & = & 9 - 4 \times 72 \\
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||||
\Delta & = & 9 - 288 \\
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||||
\Delta & = & -279
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||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
comme $\Delta = 273 > 0$ donc $R$ a deux racines
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||||
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{273}}{2 \times 11} = -0.89 \\
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||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{273}}{2 \times 11} = 0.61
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
|
||||
Alors $\Delta = -279 < 0$ donc $R$ n'a pas de racine.
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||||
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||||
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||||
Comme $a = 11$, on en déduit le tableau de signe de $R$
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, $R$/2}%
|
||||
{$-\infty$, -0.89 , 0.61 , $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Comme $a = 12$, on en déduit le tableau de signe de $R$
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, $R$/2}%
|
||||
% {$-\infty$, $+\infty$}
|
||||
% \tkzTabLine{, +,}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
|
||||
|
||||
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||||
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|
@ -153,83 +141,95 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
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|||
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||||
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||||
\begin{parts}
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||||
\part $f:x\mapsto - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5$
|
||||
\part $f:x\mapsto - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8$
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
f'(x) & = & 3 ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times 1 x + 1 ( -7 ) \\
|
||||
f'(x) & = & - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7
|
||||
f'(x) & = & 3 \times ( -2 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -4 ) x + 1 \times 1 \\
|
||||
f'(x) & = & - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
On étudie le signe de $P'$
|
||||
|
||||
Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7$.
|
||||
Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -30 ) ( -7 ) \\
|
||||
\Delta & = & 4 - 4 \times 210 \\
|
||||
\Delta & = & 4 - 840 \\
|
||||
\Delta & = & -836
|
||||
\Delta & = & -8^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\
|
||||
\Delta & = & 64 - 4 \times ( -6 ) \\
|
||||
\Delta & = & 64 - ( -24 ) \\
|
||||
\Delta & = & 88
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
Alors $\Delta = -836 < 0$ donc $f'$ n'a pas de racine.
|
||||
comme $\Delta = 88 > 0$ donc $f'$ a deux racines
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $f'$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, Signe de $f' $/2}%
|
||||
{$-\infty$, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, -,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $f'$
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, Signe de $f' $/2}%
|
||||
% {$-\infty$, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} , - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3} , $+\infty$}
|
||||
% \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\part $g:x\mapsto - 9 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 5 x - 2$
|
||||
\part $g:x\mapsto - 10 x^{ 3 } - 6 x^{ 2 } + 8 x + 7$
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
|
||||
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
g'(x) & = & 3 ( -9 ) x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -5 ) \\
|
||||
g'(x) & = & - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5
|
||||
g'(x) & = & 3 \times ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -6 ) x + 1 \times 8 \\
|
||||
g'(x) & = & - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
On étudie le signe de $P'$
|
||||
|
||||
Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5$.
|
||||
Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 ( -27 ) ( -5 ) \\
|
||||
\Delta & = & 256 - 4 \times 135 \\
|
||||
\Delta & = & 256 - 540 \\
|
||||
\Delta & = & -284
|
||||
\Delta & = & -12^{ 2 } - 4 -30 \times 8 \\
|
||||
\Delta & = & 144 - 4 \times ( -240 ) \\
|
||||
\Delta & = & 144 - ( -960 ) \\
|
||||
\Delta & = & 1104
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\end{eqnarray*}
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||||
Alors $\Delta = -284 < 0$ donc $g'$ n'a pas de racine.
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||||
comme $\Delta = 1104 > 0$ donc $g'$ a deux racines
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||||
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Comme $a = -27$, on en déduit le tableau de signe de $g'$
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, Signe de $g' $/2}%
|
||||
{$-\infty$, $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, -,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $g'$
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, Signe de $g' $/2}%
|
||||
% {$-\infty$, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} , - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5} , $+\infty$}
|
||||
% \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
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||||
\end{solution}
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||||
\part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x)$
|
||||
\part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x)$
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@ -237,51 +237,51 @@ g'(x) & = & - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5
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|||
\begin{solution}
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||||
On commence par simplifier l'expression de $h$
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x) \\
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||||
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - ( - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5 ) \\
|
||||
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 + 10 x^{ 3 } - x^{ 2 } + 7 x - 5 \\
|
||||
h(x) & = & 10 x^{ 3 } + ( ( -7 ) + ( -1 ) ) x^{ 2 } + ( ( -9 ) + 7 ) x + 3 + ( -5 ) \\
|
||||
h(x) & = & 10 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 2 x - 2
|
||||
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x) \\
|
||||
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - ( - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8 ) \\
|
||||
h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 + 2 x^{ 3 } + 4 x^{ 2 } - x - 8 \\
|
||||
h(x) & = & 2 x^{ 3 } + ( -7 + 4 ) x^{ 2 } + ( -5 - 1 ) x - 5 - 8 \\
|
||||
h(x) & = & 2 x^{ 3 } - 3 x^{ 2 } - 6 x - 13
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$
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\begin{eqnarray*}
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||||
h'(x) & = & 3 \times 10 x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -2 ) \\
|
||||
h'(x) & = & 30 x^{ 2 } - 16 x - 2
|
||||
h'(x) & = & 3 \times 2 x^{ 2 } + 2 \times ( -3 ) x + 1 \times ( -6 ) \\
|
||||
h'(x) & = & 6 x^{ 2 } - 6 x - 6
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
On étudie le signe de $P'$
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||||
Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 30 x^{ 2 } - 16 x - 2$.
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||||
Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 6 x^{ 2 } - 6 x - 6$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 \times 30 ( -2 ) \\
|
||||
\Delta & = & 256 - 4 ( -60 ) \\
|
||||
\Delta & = & 256 - ( -240 ) \\
|
||||
\Delta & = & 496
|
||||
\Delta & = & -6^{ 2 } - 4 \times 6 \times ( -6 ) \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 4 \times ( -36 ) \\
|
||||
\Delta & = & 36 - ( -144 ) \\
|
||||
\Delta & = & 180
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
comme $\Delta = 496 > 0$ donc $h'$ a deux racines
|
||||
comme $\Delta = 180 > 0$ donc $h'$ a deux racines
|
||||
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{496}}{2 \times 30} = -0.1 \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{496}}{2 \times 30} = 0.64
|
||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{180}}{2 \times 6} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{180}}{2 \times 6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
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||||
Comme $a = 30$, on en déduit le tableau de signe de $h'$
|
||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, Signe de $h' $/2}%
|
||||
{$-\infty$, -0.1 , 0.64 , $+\infty$}
|
||||
\tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $h'$
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, Signe de $h' $/2}%
|
||||
% {$-\infty$, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} , \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} , $+\infty$}
|
||||
% \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
|
||||
\end{solution}
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||||
\end{parts}
|
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@ -1,114 +0,0 @@
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|||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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||||
\RequirePackage[utf8x]{inputenc}
|
||||
\RequirePackage[francais]{babel}
|
||||
\RequirePackage{amssymb}
|
||||
\RequirePackage{amsmath}
|
||||
\RequirePackage{amsfonts}
|
||||
\RequirePackage{subfig}
|
||||
\RequirePackage{graphicx}
|
||||
\RequirePackage{color}
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||||
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||||
% Title Page
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||||
\title{Calcul littéral et statistiques}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Polynômes}
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Résoudre l'équation suivante
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\begin{eqnarray*}
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- 3 x^{ 2 } + 6 x - 3 & = & 0
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\end{eqnarray*}
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Solution:
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||||
On commence par calculer le discriminant
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||||
\begin{eqnarray*}
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\Delta & = & b^2-4ac \\
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||||
\Delta & = & 6^{ 2 } - 4 \times ( -3 ) \times ( -3 ) \\
|
||||
\Delta & = & 36 - ( -12 ) \times ( -3 ) \\
|
||||
\Delta & = & 36 - 36 \\
|
||||
\Delta & = & 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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|
||||
Alors $\Delta = 0 = 0$ donc il y a une solution
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\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 = \frac{-b}{2a} = \frac{ -6 }{ 2 \times ( -3 ) } = \frac{ -6 }{ -6 } = \frac{ 6 }{ 6 } = 1 = \frac{ -6 }{ -6 }
|
||||
\end{eqnarray*}
|
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||||
Les solutions sont donc $\mathcal{S} = \left\{ \frac{ -6 }{ -6 }\right\}$
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\bigskip
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~\dotfill
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\bigskip
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||||
Résoudre l'équation suivante
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
- 7 x^{ 2 } - 7 x + 9 & = & - 2 x^{ 2 } + x - 9
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||||
\end{eqnarray*}
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Solution:
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||||
On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c = 0$.
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\begin{eqnarray*}
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||||
- 7 x^{ 2 } - 7 x + 9 = - 2 x^{ 2 } + x - 9 & \Leftrightarrow & - 7 x^{ 2 } - 7 x + 9 - (- 2 x^{ 2 } + x - 9) = 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & - 7 x^{ 2 } + 2 x^{ 2 } - 7 x - x + 9 + 9= 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & ( ( -7 ) + 2 ) x^{ 2 } + ( ( -7 ) + ( -1 ) ) x + 9 + 9= 0 \\
|
||||
& \Leftrightarrow & - 5 x^{ 2 } - 8 x + 18= 0
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
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||||
On cherche maintenant à résoudre l'équation $- 5 x^{ 2 } - 8 x + 18 = 0$.
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||||
On commence par calculer le discriminant
|
||||
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||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
\Delta & = & b^2-4ac \\
|
||||
\Delta & = & ( -8 )^{ 2 } - 4 \times ( -5 ) \times 18 \\
|
||||
\Delta & = & 64 - ( -20 ) \times 18 \\
|
||||
\Delta & = & 64 - ( -360 ) \\
|
||||
\Delta & = & 424
|
||||
\end{eqnarray*}
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||||
Alors $\Delta = 424 > 0$ donc il y a deux solutions
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||||
\begin{eqnarray*}
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||||
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{424}}{2 \times -5} = 1.26 \\
|
||||
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{424}}{2 \times -5} = -2.86
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
|
||||
Les solutions sont donc $\mathcal{S} = \left\{ 1.26; -2.86 \right\}$
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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||||
%%% End:
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||||
Binary file not shown.
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@ -58,14 +58,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
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||||
\Block{endif}
|
||||
Comme $a = \Var{P.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P.name}$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, $P$/2}%
|
||||
\Var{P.tbl_sgn_header()}
|
||||
\Var{P.tbl_sgn()}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, $P$/2}%
|
||||
% \Var{P.tbl_sgn_header()}
|
||||
% \Var{P.tbl_sgn()}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
|
@ -100,14 +100,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
|
|||
|
||||
\Block{endif}
|
||||
Comme $a = \Var{Q.a}$, on en déduit le tableau de signe de $Q$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, $Q$/2}%
|
||||
\Var{Q.tbl_sgn_header()}
|
||||
\Var{Q.tbl_sgn()}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, $Q$/2}%
|
||||
% \Var{Q.tbl_sgn_header()}
|
||||
% \Var{Q.tbl_sgn()}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
|
||||
\end{solution}
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||||
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|
@ -154,14 +154,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
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|||
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||||
\Block{endif}
|
||||
Comme $a = \Var{R.a}$, on en déduit le tableau de signe de $R$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, $R$/2}%
|
||||
\Var{R.tbl_sgn_header()}
|
||||
\Var{R.tbl_sgn()}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, $R$/2}%
|
||||
% \Var{R.tbl_sgn_header()}
|
||||
% \Var{R.tbl_sgn()}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation.
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||||
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||||
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|
@ -211,14 +211,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
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|||
|
||||
\Block{endif}
|
||||
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||||
\Var{P1.tbl_sgn_header()}
|
||||
\Var{P1.tbl_sgn()}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||||
% \Var{P1.tbl_sgn_header()}
|
||||
% \Var{P1.tbl_sgn()}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
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|
@ -263,14 +263,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
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|||
|
||||
\Block{endif}
|
||||
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||||
\Var{P1.tbl_sgn_header()}
|
||||
\Var{P1.tbl_sgn()}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||||
% \Var{P1.tbl_sgn_header()}
|
||||
% \Var{P1.tbl_sgn()}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
|
@ -324,14 +324,14 @@ Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez
|
|||
|
||||
\Block{endif}
|
||||
Comme $a = \Var{P1.a}$, on en déduit le tableau de signe de $\Var{P1.name}$
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
{$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||||
\Var{P1.tbl_sgn_header()}
|
||||
\Var{P1.tbl_sgn()}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{center}
|
||||
%\begin{center}
|
||||
% \begin{tikzpicture}
|
||||
% \tkzTabInit[espcl=2]%
|
||||
% {$x$/1, Signe de $\Var{P1.name} $/2}%
|
||||
% \Var{P1.tbl_sgn_header()}
|
||||
% \Var{P1.tbl_sgn()}
|
||||
% \end{tikzpicture}
|
||||
%\end{center}
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
\end{parts}
|
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