\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/tools/style/classDS} \usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014_2015} % Title Page \titre{DM5} % \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG \classe{\premiereS} \date{02 mars 2015} %\duree{1 heure} \sujet{1} % DS DSCorr DM DMCorr Corr \typedoc{DM} \printanswers \begin{document} \maketitle Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie. \begin{questions} \question Résoudre les équations suivantes \begin{eqnarray*} 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & > &0 \\ \end{eqnarray*} \begin{solution} On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 8 x^{ 2 } + 5 x - 2$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & 5^{ 2 } - 4 \times 8 ( -2 ) \\ \Delta & = & 25 - 4 ( -16 ) \\ \Delta & = & 25 - ( -64 ) \\ \Delta & = & 89 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 89 > 0$ donc $P$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{89}}{2 \times 8} = -0.9 \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{89}}{2 \times 8} = 0.28 \end{eqnarray*} Comme $a = 8$, on en déduit le tableau de signe de $P$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]% {$x$/1, $P$/2}% {$-\infty$, -0.9 , 0.28 , $+\infty$} \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,} \end{tikzpicture} \end{center} On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. \end{solution} \begin{eqnarray*} - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \leq &0 \\ \end{eqnarray*} \begin{solution} On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -3 ) \times 4 \\ \Delta & = & 4 - 4 ( -12 ) \\ \Delta & = & 4 - ( -48 ) \\ \Delta & = & 52 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 52 > 0$ donc $Q$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{52}}{2 \times -3} = 1.54 \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{52}}{2 \times -3} = -0.87 \end{eqnarray*} Comme $a = -3$, on en déduit le tableau de signe de $Q$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]% {$x$/1, $Q$/2}% {$-\infty$, -0.87 , 1.54 , $+\infty$} \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,} \end{tikzpicture} \end{center} On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. \end{solution} \begin{eqnarray*} 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 & \geq & - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 \end{eqnarray*} \begin{solution} On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$. \begin{eqnarray*} 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 \geq - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 & \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - (- 3 x^{ 2 } + 2 x + 4) \geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 - ( - 3 x^{ 2 } + 2 x + 4 )\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 8 x^{ 2 } + 5 x - 2 + 3 x^{ 2 } - 2 x - 4\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & ( 8 + 3 ) x^{ 2 } + ( 5 + ( -2 ) ) x + ( -2 ) + ( -4 )\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 11 x^{ 2 } + 3 x - 6\geq 0 \end{eqnarray*} Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 11 x^{ 2 } + 3 x - 6$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & 3^{ 2 } - 4 \times 11 ( -6 ) \\ \Delta & = & 9 - 4 ( -66 ) \\ \Delta & = & 9 - ( -264 ) \\ \Delta & = & 273 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 273 > 0$ donc $R$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{273}}{2 \times 11} = -0.89 \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{273}}{2 \times 11} = 0.61 \end{eqnarray*} Comme $a = 11$, on en déduit le tableau de signe de $R$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]% {$x$/1, $R$/2}% {$-\infty$, -0.89 , 0.61 , $+\infty$} \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,} \end{tikzpicture} \end{center} On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. \end{solution} \question Tracer le tableau de variation des fonctions suivantes \textit{(Vous pouvez utiliser les nombres à virgules)} \begin{parts} \part $f:x\mapsto - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5$ \begin{solution} Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ \begin{eqnarray*} f'(x) & = & 3 ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times 1 x + 1 ( -7 ) \\ f'(x) & = & - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7 \end{eqnarray*} On étudie le signe de $P'$ Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 30 x^{ 2 } + 2 x - 7$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & 2^{ 2 } - 4 ( -30 ) ( -7 ) \\ \Delta & = & 4 - 4 \times 210 \\ \Delta & = & 4 - 840 \\ \Delta & = & -836 \end{eqnarray*} Alors $\Delta = -836 < 0$ donc $f'$ n'a pas de racine. Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $f'$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]% {$x$/1, Signe de $f' $/2}% {$-\infty$, $+\infty$} \tkzTabLine{, -,} \end{tikzpicture} \end{center} \end{solution} \part $g:x\mapsto - 9 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 5 x - 2$ \begin{solution} Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ \begin{eqnarray*} g'(x) & = & 3 ( -9 ) x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -5 ) \\ g'(x) & = & - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5 \end{eqnarray*} On étudie le signe de $P'$ Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 27 x^{ 2 } - 16 x - 5$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 ( -27 ) ( -5 ) \\ \Delta & = & 256 - 4 \times 135 \\ \Delta & = & 256 - 540 \\ \Delta & = & -284 \end{eqnarray*} Alors $\Delta = -284 < 0$ donc $g'$ n'a pas de racine. Comme $a = -27$, on en déduit le tableau de signe de $g'$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]% {$x$/1, Signe de $g' $/2}% {$-\infty$, $+\infty$} \tkzTabLine{, -,} \end{tikzpicture} \end{center} \end{solution} \part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x)$ \begin{solution} On commence par simplifier l'expression de $h$ \begin{eqnarray*} h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - f(x) \\ h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 - ( - 10 x^{ 3 } + x^{ 2 } - 7 x + 5 ) \\ h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 9 x + 3 + 10 x^{ 3 } - x^{ 2 } + 7 x - 5 \\ h(x) & = & 10 x^{ 3 } + ( ( -7 ) + ( -1 ) ) x^{ 2 } + ( ( -9 ) + 7 ) x + 3 + ( -5 ) \\ h(x) & = & 10 x^{ 3 } - 8 x^{ 2 } - 2 x - 2 \end{eqnarray*} Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ \begin{eqnarray*} h'(x) & = & 3 \times 10 x^{ 2 } + 2 ( -8 ) x + 1 ( -2 ) \\ h'(x) & = & 30 x^{ 2 } - 16 x - 2 \end{eqnarray*} On étudie le signe de $P'$ Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 30 x^{ 2 } - 16 x - 2$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & ( -16 )^{ 2 } - 4 \times 30 ( -2 ) \\ \Delta & = & 256 - 4 ( -60 ) \\ \Delta & = & 256 - ( -240 ) \\ \Delta & = & 496 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 496 > 0$ donc $h'$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{496}}{2 \times 30} = -0.1 \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{496}}{2 \times 30} = 0.64 \end{eqnarray*} Comme $a = 30$, on en déduit le tableau de signe de $h'$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]% {$x$/1, Signe de $h' $/2}% {$-\infty$, -0.1 , 0.64 , $+\infty$} \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,} \end{tikzpicture} \end{center} \end{solution} \end{parts} \question Appliquer l'algorithme de tri vu en cours à la suite suivante \begin{center} \begin{tabular}{|*{6}{c|}} \hline 6914 & 6851 & 6532 & 6884 & 6164 & 6495 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{questions} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: