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\newenvironment{solution}
{%
    ~\\
    \newbox\tempbox%
    \begin{lrbox}{\tempbox}\begin{minipage}{\linewidth}%
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    \end{minipage}\end{lrbox}%
    \medskip%
    \fbox{\usebox{\tempbox}}%
    \medskip%
}

% Title Page
\title{DM 1}
\date{Novembre 2015}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr

\begin{document}

\maketitle

Sujet numéro 3


    \section{Exercice}
    
    
    Dans un sac, il y a 6 bonbons à la menthe, 24 bonbons à la fraise et 5 au chocolat. On choisit un bonbon au hasard dans ce sac.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la probabilité de tirer un bonbon à la fraise.
        \begin{solution}
            $T($ tirer un bonbon à la fraise $) = \dfrac{6}{35}$
        \end{solution}
        \item Calculer la probabilité de tirer un bonbon qui n'est pas au chocolat.
        \begin{solution}
            
            $T($ tirer un bonbon à la fraise ou à la menthe $) = \dfrac{30}{35}$
        \end{solution}
        \item Calculer la probabilité de tirer un bonbon au réglisse.
        \begin{solution}
            $T($ tirer un bonbon au réglisse $) = \dfrac{0}{35} = 0$
        \end{solution}
        \item Dans un autre sac, on place 25 bonbons à la menthe et 34 bonbons à la fraise. Lise préfère les bonbons à la menthe. Dans quel sac doit-elle tirer un bonbon pour avoir le plus de chance d'avoir un bonbon qu'elle préfère?
            \begin{solution}
                
                    Elle prefera tirer dans le deuxième sac car
                    \begin{eqnarray*}
                        \frac{6}{35} & < & \frac{25}{34} 
                    \end{eqnarray*}
                
                    
            \end{solution}
    \end{enumerate}


    
    \section{Exercice}
    \begin{enumerate}
        \item Compléter les pointillés pour qu'il y est bien égalité.
        \hspace{-1cm}
        \begin{center}
            %
            $\dfrac{10}{3} = \dfrac{\ldots}{9}$
            \hfill
            %
            $\dfrac{9}{4} = \dfrac{\ldots}{20}$
            \hfill
            %
            $\dfrac{\cdots}{8} = \dfrac{8}{4}$
            \hfill
            %
            $\dfrac{10}{9} = \dfrac{20}{\cdots}$
        \end{center}


        \item Faire les calculs suivants en détaillant les étapes (penser à simplifier les fractions quand c'est possible).
            \begin{enumerate}
                
                \item $A = \frac{ 3 }{ 4 } + \frac{ 3 }{ 4 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            A & = & \frac{ 3 }{ 4 } + \frac{ 3 }{ 4 } \\ 
A & = & \frac{ 3 + 3 }{ 4 } \\ 
A & = & \frac{ 6 }{ 4 } \\ 
A & = & \frac{ 3 \times 2 }{ 2 \times 2 } \\ 
A & = & \frac{ 3 }{ 2 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                
                \item $B = \frac{ 1 }{ 9 } + \frac{ -1 }{ 9 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            B & = & \frac{ 1 }{ 9 } + \frac{ -1 }{ 9 } \\ 
B & = & \frac{ 1 - 1 }{ 9 } \\ 
B & = & 0
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                
                \item $C = \frac{ 2 }{ 3 } + \frac{ 6 }{ 6 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            C & = & \frac{ 2 }{ 3 } + \frac{ 6 }{ 6 } \\ 
C & = & \frac{ 2 \times 2 }{ 3 \times 2 } + \frac{ 6 \times 1 }{ 6 \times 1 } \\ 
C & = & \frac{ 4 }{ 6 } + \frac{ 6 }{ 6 } \\ 
C & = & \frac{ 4 + 6 }{ 6 } \\ 
C & = & \frac{ 10 }{ 6 } \\ 
C & = & \frac{ 5 \times 2 }{ 3 \times 2 } \\ 
C & = & \frac{ 5 }{ 3 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                
                \item $D = \frac{ -8 }{ 10 } + \frac{ -2 }{ 70 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            D & = & \frac{ -8 }{ 10 } + \frac{ -2 }{ 70 } \\ 
D & = & \frac{ -8 \times 7 }{ 10 \times 7 } + \frac{ -2 \times 1 }{ 70 \times 1 } \\ 
D & = & \frac{ -56 }{ 70 } + \frac{ -2 }{ 70 } \\ 
D & = & \frac{ -56 - 2 }{ 70 } \\ 
D & = & \frac{ -58 }{ 70 } \\ 
D & = & \frac{ -29 \times 2 }{ 35 \times 2 } \\ 
D & = & \frac{ -29 }{ 35 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                
                \item $E = \frac{ 5 }{ 3 } \times 8$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            E & = & \frac{ 5 }{ 3 } \times 8 \\ 
E & = & \frac{ 5 \times 8 }{ 3 } \\ 
E & = & \frac{ 40 }{ 3 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}
                
                \item $F = \frac{ 6 }{ 6 } \times \frac{ 9 }{ 4 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            F & = & \frac{ 6 }{ 6 } \times \frac{ 9 }{ 4 } \\ 
F & = & \frac{ 9 }{ 4 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}
            \end{enumerate}
        
    \end{enumerate}



\section{Exercice} 

Dans la figure suivante, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, $AO = 12$, $OD = 14$, $CD = 15$ et $OB = 14$.



\includegraphics[scale=0.4]{thales2} 

Calculer les longueurs $OC$ et $AB$.

\begin{solution}
    On sait que 
    \begin{itemize}
        \item $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
        \item $A$,$O$ et $D$ sont alignés
        \item $B$,$O$ et $C$ sont alignés
    \end{itemize}
    Donc d'après le théorème de Thalès

        \begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
            \hline
            Triangle $OAB$ & $AO = 12$ & $OB = 14$ & $AB $ \\
            \hline
            Triangle $OCD$ & $DO = 14$ & $OC $ & $CD = 15$ \\
            \hline
        \end{tabular}
        est un tableau de proportionnalité.

        On en déduit que 
        \begin{eqnarray*}
            OC & = & \frac{DO \times OB}{AO} = \frac{14 \times 14}{12} = 16.333333333333336
        \end{eqnarray*}
        Et que
        \begin{eqnarray*}
            AB & = & \frac{CD \times AO}{DO} = \frac{15 \times 12}{14} = 12.857142857142856
        \end{eqnarray*}
        
\end{solution}


\end{document}

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