\documentclass[a4paper,10pt, table]{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/tools/style/classDS} \usepackage{/media/documents/Cours/Prof/Enseignements/2014_2015} % Title Page \titre{DM5} % \seconde \premiereS \PSTMG \TSTMG \classe{\premiereS} \date{02 mars 2015} %\duree{1 heure} \sujet{1} % DS DSCorr DM DMCorr Corr \typedoc{DM} \printanswers \begin{document} \maketitle Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Vous rendrez le sujet avec la copie. \begin{questions} \question Résoudre les équations suivantes \begin{eqnarray*} 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & > &0 \\ \end{eqnarray*} \begin{solution} On commence par calculer le discriminant de $P(x) = 6 x^{ 2 } + 7 x + 7$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & 7^{ 2 } - 4 \times 6 \times 7 \\ \Delta & = & 49 - 4 \times 42 \\ \Delta & = & 49 - 168 \\ \Delta & = & -119 \end{eqnarray*} Alors $\Delta = -119 < 0$ donc $P$ n'a pas de racine. Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $P$ %\begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[espcl=2]% % {$x$/1, $P$/2}% % {$-\infty$, $+\infty$} % \tkzTabLine{, +,} % \end{tikzpicture} %\end{center} On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. \end{solution} \begin{eqnarray*} - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \leq &0 \\ \end{eqnarray*} \begin{solution} On commence par calculer le discriminant de $Q(x) = - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & 10^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\ \Delta & = & 100 - 4 \times ( -6 ) \\ \Delta & = & 100 - ( -24 ) \\ \Delta & = & 124 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 124 > 0$ donc $Q$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{124}}{2 \times -6} = \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{124}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6} \end{eqnarray*} Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $Q$ %\begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[espcl=2]% % {$x$/1, $Q$/2}% % {$-\infty$, - \frac{\sqrt{31}}{6} + \frac{5}{6} , \frac{5}{6} + \frac{\sqrt{31}}{6} , $+\infty$} % \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,} % \end{tikzpicture} %\end{center} On regarde maintenant où sont les $-$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. \end{solution} \begin{eqnarray*} 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 & \geq & - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 \end{eqnarray*} \begin{solution} On commence par se ramener à une équation de la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$. \begin{eqnarray*} 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 \geq - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - (- 6 x^{ 2 } + 10 x + 1) \geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 - ( - 6 x^{ 2 } + 10 x + 1 )\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 6 x^{ 2 } + 7 x + 7 + 6 x^{ 2 } - 10 x - 1\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & ( 6 + 6 ) x^{ 2 } + ( 7 - 10 ) x + 7 - 1\geq 0 \\ & \Leftrightarrow & 12 x^{ 2 } - 3 x + 6\geq 0 \end{eqnarray*} Ensuite on étudie le signe de $R(X) = 12 x^{ 2 } - 3 x + 6$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & -3^{ 2 } - 4 \times 12 \times 6 \\ \Delta & = & 9 - 4 \times 72 \\ \Delta & = & 9 - 288 \\ \Delta & = & -279 \end{eqnarray*} Alors $\Delta = -279 < 0$ donc $R$ n'a pas de racine. Comme $a = 12$, on en déduit le tableau de signe de $R$ %\begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[espcl=2]% % {$x$/1, $R$/2}% % {$-\infty$, $+\infty$} % \tkzTabLine{, +,} % \end{tikzpicture} %\end{center} On regarde maintenant où sont les $+$ dans le tableau de signe pour résoudre l'inéquation. \end{solution} \question Tracer le tableau de variation des fonctions suivantes \textit{(Vous pouvez utiliser les nombres à virgules)} \begin{parts} \part $f:x\mapsto - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8$ \begin{solution} Pour avoir les variations de $f$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ \begin{eqnarray*} f'(x) & = & 3 \times ( -2 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -4 ) x + 1 \times 1 \\ f'(x) & = & - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1 \end{eqnarray*} On étudie le signe de $P'$ Ensuite on étudie le signe de $f'(x) = - 6 x^{ 2 } - 8 x + 1$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & -8^{ 2 } - 4 -6 \times 1 \\ \Delta & = & 64 - 4 \times ( -6 ) \\ \Delta & = & 64 - ( -24 ) \\ \Delta & = & 88 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 88 > 0$ donc $f'$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{88}}{2 \times -6} = - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3} \end{eqnarray*} Comme $a = -6$, on en déduit le tableau de signe de $f'$ %\begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[espcl=2]% % {$x$/1, Signe de $f' $/2}% % {$-\infty$, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{22}}{6} , - \frac{\sqrt{22}}{6} - \frac{2}{3} , $+\infty$} % \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,} % \end{tikzpicture} %\end{center} \end{solution} \part $g:x\mapsto - 10 x^{ 3 } - 6 x^{ 2 } + 8 x + 7$ \begin{solution} Pour avoir les variations de $g$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ \begin{eqnarray*} g'(x) & = & 3 \times ( -10 ) x^{ 2 } + 2 \times ( -6 ) x + 1 \times 8 \\ g'(x) & = & - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8 \end{eqnarray*} On étudie le signe de $P'$ Ensuite on étudie le signe de $g'(x) = - 30 x^{ 2 } - 12 x + 8$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & -12^{ 2 } - 4 -30 \times 8 \\ \Delta & = & 144 - 4 \times ( -240 ) \\ \Delta & = & 144 - ( -960 ) \\ \Delta & = & 1104 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 1104 > 0$ donc $g'$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{1104}}{2 \times -30} = - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5} \end{eqnarray*} Comme $a = -30$, on en déduit le tableau de signe de $g'$ %\begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[espcl=2]% % {$x$/1, Signe de $g' $/2}% % {$-\infty$, - \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{69}}{15} , - \frac{\sqrt{69}}{15} - \frac{1}{5} , $+\infty$} % \tkzTabLine{, -, z, +, z , -,} % \end{tikzpicture} %\end{center} \end{solution} \part $h:x\mapsto - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x)$ \begin{solution} On commence par simplifier l'expression de $h$ \begin{eqnarray*} h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - f(x) \\ h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 - ( - 2 x^{ 3 } - 4 x^{ 2 } + x + 8 ) \\ h(x) & = & - 7 x^{ 2 } - 5 x - 5 + 2 x^{ 3 } + 4 x^{ 2 } - x - 8 \\ h(x) & = & 2 x^{ 3 } + ( -7 + 4 ) x^{ 2 } + ( -5 - 1 ) x - 5 - 8 \\ h(x) & = & 2 x^{ 3 } - 3 x^{ 2 } - 6 x - 13 \end{eqnarray*} Pour avoir les variations de $h$, il faut connaître le signe de sa dérivé. On dérive $P$ \begin{eqnarray*} h'(x) & = & 3 \times 2 x^{ 2 } + 2 \times ( -3 ) x + 1 \times ( -6 ) \\ h'(x) & = & 6 x^{ 2 } - 6 x - 6 \end{eqnarray*} On étudie le signe de $P'$ Ensuite on étudie le signe de $h'(x) = 6 x^{ 2 } - 6 x - 6$. \begin{eqnarray*} \Delta & = & b^2-4ac \\ \Delta & = & -6^{ 2 } - 4 \times 6 \times ( -6 ) \\ \Delta & = & 36 - 4 \times ( -36 ) \\ \Delta & = & 36 - ( -144 ) \\ \Delta & = & 180 \end{eqnarray*} comme $\Delta = 180 > 0$ donc $h'$ a deux racines \begin{eqnarray*} x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{180}}{2 \times 6} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \\ x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{180}}{2 \times 6} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*} Comme $a = 6$, on en déduit le tableau de signe de $h'$ %\begin{center} % \begin{tikzpicture} % \tkzTabInit[espcl=2]% % {$x$/1, Signe de $h' $/2}% % {$-\infty$, - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} , \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} , $+\infty$} % \tkzTabLine{, +, z, -, z , +,} % \end{tikzpicture} %\end{center} \end{solution} \end{parts} \question Appliquer l'algorithme de tri vu en cours à la suite suivante \begin{center} \begin{tabular}{|*{6}{c|}} \hline 6914 & 6851 & 6532 & 6884 & 6164 & 6495 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{questions} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: