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\newenvironment{solution}
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    ~\\
    \newbox\tempbox%
    \begin{lrbox}{\tempbox}\begin{minipage}{\linewidth}%
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    \end{minipage}\end{lrbox}%
    \medskip%
    \fbox{\usebox{\tempbox}}%
    \medskip%
}

% Title Page
\title{DM 1}
\date{Novembre 2015}
% DS DSCorr DM DMCorr Corr

\begin{document}

\maketitle

Sujet numéro 02


    \section{Exercice}


    Dans un sac, il y a 10 bonbons à la menthe, 15 bonbons à la fraise et 6 au chocolat. On choisit un bonbon au hasard dans ce sac.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la probabilité de tirer un bonbon à la fraise.
        \begin{solution}
            $T($ tirer un bonbon à la fraise $) = \dfrac{10}{31}$
        \end{solution}
        \item Calculer la probabilité de tirer un bonbon qui n'est pas au chocolat.
        \begin{solution}

            $T($ tirer un bonbon à la fraise ou à la menthe $) = \dfrac{25}{31}$
        \end{solution}
        \item Calculer la probabilité de tirer un bonbon au réglisse.
        \begin{solution}
            $T($ tirer un bonbon au réglisse $) = \dfrac{0}{31} = 0$
        \end{solution}
        \item Dans un autre sac, on place 25 bonbons à la menthe et 34 bonbons à la fraise. Lise préfère les bonbons à la menthe. Dans quel sac doit-elle tirer un bonbon pour avoir le plus de chance d'avoir un bonbon qu'elle préfère?
            \begin{solution}

                    Elle prefera tirer dans le deuxième sac car
                    \begin{eqnarray*}
                        \frac{10}{31} & < & \frac{25}{34}
                    \end{eqnarray*}


            \end{solution}
    \end{enumerate}



    \section{Exercice}
    \begin{enumerate}
        \item Compléter les pointillés pour qu'il y est bien égalité.
        \hspace{-1cm}
        \begin{center}
            %
            $\dfrac{6}{2} = \dfrac{\ldots}{10}$
            \hfill
            %
            $\dfrac{5}{6} = \dfrac{\ldots}{60}$
            \hfill
            %
            $\dfrac{\cdots}{45} = \dfrac{3}{5}$
            \hfill
            %
            $\dfrac{3}{6} = \dfrac{18}{\cdots}$
        \end{center}


        \item Faire les calculs suivants en détaillant les étapes (penser à simplifier les fractions quand c'est possible).
            \begin{enumerate}

                \item $A = \frac{ 2 }{ 3 } + \frac{ 7 }{ 3 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            A & = & \frac{ 2 }{ 3 } + \frac{ 7 }{ 3 } \\
A & = & \frac{ 2 + 7 }{ 3 } \\
A & = & 3
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}

                \item $B = \frac{ 3 }{ 10 } + \frac{ 10 }{ 10 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            B & = & \frac{ 3 }{ 10 } + \frac{ 10 }{ 10 } \\
B & = & \frac{ 3 + 10 }{ 10 } \\
B & = & \frac{ 13 }{ 10 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}

                \item $C = \frac{ -10 }{ 6 } + \frac{ 4 }{ 12 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            C & = & \frac{ -10 }{ 6 } + \frac{ 4 }{ 12 } \\
C & = & \frac{ -10 \times 2 }{ 6 \times 2 } + \frac{ 4 \times 1 }{ 12 \times 1 } \\
C & = & \frac{ -20 }{ 12 } + \frac{ 4 }{ 12 } \\
C & = & \frac{ -20 + 4 }{ 12 } \\
C & = & \frac{ -16 }{ 12 } \\
C & = & \frac{ -4 \times 4 }{ 3 \times 4 } \\
C & = & \frac{ -4 }{ 3 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}

                \item $D = \frac{ 10 }{ 6 } + \frac{ -8 }{ 42 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            D & = & \frac{ 10 }{ 6 } + \frac{ -8 }{ 42 } \\
D & = & \frac{ 10 \times 7 }{ 6 \times 7 } + \frac{ -8 \times 1 }{ 42 \times 1 } \\
D & = & \frac{ 70 }{ 42 } + \frac{ -8 }{ 42 } \\
D & = & \frac{ 70 - 8 }{ 42 } \\
D & = & \frac{ 62 }{ 42 } \\
D & = & \frac{ 31 \times 2 }{ 21 \times 2 } \\
D & = & \frac{ 31 }{ 21 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}

                \item $E = \frac{ 6 }{ 9 } \times 4$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            E & = & \frac{ 6 }{ 9 } \times 4 \\
E & = & \frac{ 6 \times 4 }{ 9 } \\
E & = & \frac{ 24 }{ 9 } \\
E & = & \frac{ 8 \times 3 }{ 3 \times 3 } \\
E & = & \frac{ 8 }{ 3 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}

                \item $F = \frac{ 9 }{ 2 } \times \frac{ 9 }{ 5 }$
                \begin{solution}
                        \begin{eqnarray*}
                            F & = & \frac{ 9 }{ 2 } \times \frac{ 9 }{ 5 } \\
F & = & \frac{ 9 }{ 5 } \times \frac{ 9 }{ 2 } \\
F & = & \frac{ 9 \times 9 }{ 5 \times 2 } \\
F & = & \frac{ 81 }{ 10 }
                        \end{eqnarray*}
                \end{solution}
            \end{enumerate}

    \end{enumerate}



\section{Exercice}

Dans la figure suivante, $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, $AO = 11$, $OD = 18$, $CD = 6$ et $OB = 14$.



\includegraphics[scale=0.4]{thales1}

Calculer les longueurs $OC$ et $AB$.

\begin{solution}
    On sait que
    \begin{itemize}
        \item $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles
        \item $A$,$O$ et $D$ sont alignés
        \item $B$,$O$ et $C$ sont alignés
    \end{itemize}
    Donc d'après le théorème de Thalès

        \begin{tabular}{|c|*{3}{c|}}
            \hline
            Triangle $OAB$ & $AO = 11$ & $OB = 14$ & $AB $ \\
            \hline
            Triangle $OCD$ & $DO = 18$ & $OC $ & $CD = 6$ \\
            \hline
        \end{tabular}
        est un tableau de proportionnalité.

        On en déduit que
        \begin{eqnarray*}
            OC & = & \frac{DO \times OB}{AO} = \frac{18 \times 14}{11} = 22.90909090909091
        \end{eqnarray*}
        Et que
        \begin{eqnarray*}
            AB & = & \frac{CD \times AO}{DO} = \frac{6 \times 11}{18} = 3.666666666666667
        \end{eqnarray*}

\end{solution}


\end{document}

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