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Lafrite 2014-03-03 18:51:00 +01:00
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Tresors/theorie_modeles.mdwn
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@ -5,15 +5,17 @@ Merci Lulu
### Language ### Language
Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec
* $(c_i)_i$ les constantes * $(c_i)_i$ les constantes
* $(f_j)_j$ les fonctions * $(f_j)_j$ les fonctions
* $(R_k)_k$ les relations * $(R_k)_k$ les relations
Dans ce language, on pourra définir des **termes** Dans ce language, on pourra définir des **termes**
* Atomique: les $c_i$ et les variables * Atomique: les $c_i$ et les variables
* $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes * $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes
Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia}$) Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exists, \forall, varia}$)
#### Exemple #### Exemple
Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité: Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
@ -28,6 +30,7 @@ Un **énoncé** est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de
Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures. Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.
Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand
* $M$ est un ensemble * $M$ est un ensemble
* $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$) * $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
* Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$) * Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$)
@ -36,6 +39,7 @@ Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand
Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D
#### Exemples: #### Exemples:
* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...) * On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure. * On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties. * Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties.