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Tresors/theorie_modeles.mdwn

@@ -5,15 +5,17 @@ Merci Lulu
 ### Language
 
 Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec
+
     * $(c_i)_i$ les constantes
     * $(f_j)_j$ les fonctions
     * $(R_k)_k$ les relations
 
 Dans ce language, on pourra définir des **termes**
+
     * Atomique: les $c_i$ et les variables
     * $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes
 
-Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia}$)
+Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exists, \forall, varia}$)
 
 #### Exemple
 Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
@@ -28,6 +30,7 @@ Un **énoncé** est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de
 Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.
 
 Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand 
+
     * $M$ est un ensemble
     * $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
     * Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$)
@@ -36,20 +39,21 @@ Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand
 Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D
 
 #### Exemples:
-    * On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
-    * On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
-    * Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties.
+
+* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
+* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
+* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties.
 
 ### Mille définitions
-    * **M statisfait un énoncé $\Phi$** ssi $\Phi$ est vrai dans M.
-    * M et N deux L-structures
-    $\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi 
-        * cst de M sont des cst de N
-        * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})$
-        * $R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))$
-    * Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
-    * On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif.
-    * On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
-    * On a un **isomorphisme partiel** quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
+* **M statisfait un énoncé $\Phi$** ssi $\Phi$ est vrai dans M.
+* M et N deux L-structures
+$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi 
+    * cst de M sont des cst de N
+    * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})$
+    * $R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))$
+* Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
+* On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif.
+* On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
+* On a un **isomorphisme partiel** quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
 
 ### Va et viens infinis