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Tresors/theorie_modeles.mdwn

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 ### Language
 
-Un *language*: $L = ( (c__i)__i, (f__j)__j, (R__k)__k)$ avec
-* $(c__i)__i$ les constantes
-* $(f__j)__j$ les fonctions
-* $(R__k)__k$ les relations
+Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec
+* $(c_i)_i$ les constantes
+* $(f_j)_j$ les fonctions
+* $(R_k)_k$ les relations
 
-Dans ce language, on pourra définir des *termes*
-* Atomique: les $c__i$ et les variables
-* $f(t__1, ..., t__n)$ avec $f$ un fonction et les $t__i$ des termes
+Dans ce language, on pourra définir des **termes**
+* Atomique: les $c_i$ et les variables
+* $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes
 
-Et les *formules* qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia})
+Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia})
 
 #### Exemple
 Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
 Avec des variables libres (ici x et y)
-$$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$
+$$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z \mbox{ et } z < y$$
 Sans variables libres:
-$$ \forall x \forall y \quad x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$
+$$ \forall x \forall y \quad x < y \quad \Rightarrow  \quad \exists z \quad x < z \mvox{ et } z < y$$
 
-Un *énoncé* est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure.
+Un **énoncé** est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure.
 
 ### Structure
 Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.
 
-Soit $L$ un langage, $M$ est une *$L$-structure* quand 
+Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand 
 * $M$ est un ensemble
-* (e__i^M) est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
-* Pour chaque $f__i$ fonction du langage, on a $f__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la fonction $f__i$)
-* Poue chaque $R__i$ relation du langage, on a $R__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la relation $R__i$)
+* $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
+* Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$)
+* Poue chaque $R_i$ relation du langage, on a $R_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la relation $R_i$)
 
 Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D
 
 #### Exemples:
 * On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
-* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: L = (0, +) et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
-* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0__E, +, (\lambda__k)__k)$ avec $\lambda__k$ les homotéties.
+* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
+* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties.
 
 ### Mille définitions
-* *M statisfait un énoncé $\Phi$* ssi $\Phi$ est vrai dans M.
+* **M statisfait un énoncé $\Phi$** ssi $\Phi$ est vrai dans M.
 * M et N deux L-structures
 $\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi 
     * cst de M sont des cst de N
-    * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})
-    * R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))
-* Ce morphisme est *plongement* si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
-* On a un *isomorphisme* quand on a un plongment surjectif.
-* On dit que *M est une sous structure de N* quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
-* On a un *isomorphisme partiel* quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
+    * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})$
+    * $R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))$
+* Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
+* On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif.
+* On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
+* On a un **isomorphisme partiel** quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.
 
 ### Va et viens infinis