From ccd6df13089224a060316fa21521b1e23a400552 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Lafrite Date: Mon, 3 Mar 2014 18:17:15 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?th=C3=A9orie=20des=20mod=C3=A8le=20power!?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Tresor/theorie_modeles.mdwn | 55 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 55 insertions(+) create mode 100644 Tresor/theorie_modeles.mdwn diff --git a/Tresor/theorie_modeles.mdwn b/Tresor/theorie_modeles.mdwn new file mode 100644 index 0000000..107df70 --- /dev/null +++ b/Tresor/theorie_modeles.mdwn @@ -0,0 +1,55 @@ +# Théorie des modèles +Merci Lulu + + +### Language + +Un *language*: $L = ( (c__i)__i, (f__j)__j, (R__k)__k)$ avec +* $(c__i)__i$ les constantes +* $(f__j)__j$ les fonctions +* $(R__k)__k$ les relations + +Dans ce language, on pourra définir des *termes* +* Atomique: les $c__i$ et les variables +* $f(t__1, ..., t__n)$ avec $f$ un fonction et les $t__i$ des termes + +Et les *formules* qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia}) + +#### Exemple +Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité: +Avec des variables libres (ici x et y) +$$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$ +Sans variables libres: +$$ \forall x \forall y \quad x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$ + +Un *énoncé* est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure. + +### Structure +Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures. + +Soit $L$ un langage, $M$ est une *$L$-structure* quand +* $M$ est un ensemble +* (e__i^M) est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$) +* Pour chaque $f__i$ fonction du langage, on a $f__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la fonction $f__i$) +* Poue chaque $R__i$ relation du langage, on a $R__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la relation $R__i$) + +Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D + +#### Exemples: +* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...) +* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: L = (0, +) et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure. +* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0__E, +, (\lambda__k)__k)$ avec $\lambda__k$ les homotéties. + +### Mille définitions +* *M statisfait un énoncé $\Phi$* ssi $\Phi$ est vrai dans M. +* M et N deux L-structures +$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi + * cst de M sont des cst de N + * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})}) + * R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar})) +* Ce morphisme est *plongement* si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection) +* On a un *isomorphisme* quand on a un plongment surjectif. +* On dit que *M est une sous structure de N* quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions. +* On a un *isomorphisme partiel* quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but. + +### Va et viens infinis