# Théorie des modèles
Merci Lulu


### Language

Un **language**: $L = ( (c_i)_i, (f_j)_j, (R_k)_k)$ avec

* $(c_i)_i$ les constantes
* $(f_j)_j$ les fonctions
* $(R_k)_k$ les relations

Dans ce language, on pourra définir des **termes**

* Atomique: les $c_i$ et les variables
* $f(t_1, ..., t_n)$ avec $f$ un fonction et les $t_i$ des termes

Et les **formules** qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exists, \forall, varia}$)

#### Exemple
Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
Avec des variables libres (ici x et y)
$$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z \mbox{ et } z < y$$
Sans variables libres:
$$ \forall x \forall y \quad x < y \quad \Rightarrow  \quad \exists z \quad x < z \mbox{ et } z < y$$

Un **énoncé** est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure.

### Structure
Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.

Soit $L$ un langage, $M$ est une **$L$-structure** quand 

* $M$ est un ensemble
* $(e_i^M)$ est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
* Pour chaque $f_i$ fonction du langage, on a $f_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la fonction $f_i$)
* Pour chaque $R_i$ relation du langage, on a $R_i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n_i$ est l'arité de la relation $R_i$)

Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D

#### Exemples:

* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: $L = (0, +)$ et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0_E, +, (\lambda_k)_k)$ avec $\lambda_k$ les homotéties.

### Mille définitions
* **M statisfait un énoncé $\Phi$** ssi $\Phi$ est vrai dans M.
* M et N deux L-structures
$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi 
    * cst de M sont des cst de N
    * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})$
    * $R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar{m}))$
* Ce morphisme est **plongement** si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
* On a un **isomorphisme** quand on a un plongment surjectif.
* On dit que **M est une sous structure de N** quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
* On a un **isomorphisme partiel** quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.

### Va et viens infinis