# Théorie des modèles
Merci Lulu


### Language

Un *language*: $L = ( (c__i)__i, (f__j)__j, (R__k)__k)$ avec
* $(c__i)__i$ les constantes
* $(f__j)__j$ les fonctions
* $(R__k)__k$ les relations

Dans ce language, on pourra définir des *termes*
* Atomique: les $c__i$ et les variables
* $f(t__1, ..., t__n)$ avec $f$ un fonction et les $t__i$ des termes

Et les *formules* qui sont les mots finis de l'alphabet (c'est à dire $L \union {logic, \exist, \forall, varia})

#### Exemple
Si on prend le language de la relation inférieure $L = ( , , <)$ on peut écrire la notion de densité:
Avec des variables libres (ici x et y)
$$ x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$
Sans variables libres:
$$ \forall x \forall y \quad x < y \Rightarrow \exists z \quad x < z et z < y$$

Un *énoncé* est une formule sans variables libres. Par exemple la notion de densité (sans les variabls libres) est un énoncé pour le language de la relation inférieure.

### Structure
Pour le moment, un language n'a aucun caractère de vérité. C'est un language théorique que l'on va pouvoir appliquer à des ensembles que l'on connait on aura alors des structures.

Soit $L$ un langage, $M$ est une *$L$-structure* quand 
* $M$ est un ensemble
* (e__i^M) est l'ensemble des constantes (en particulier des éléments de $M$)
* Pour chaque $f__i$ fonction du langage, on a $f__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la fonction $f__i$)
* Poue chaque $R__i$ relation du langage, on a $R__i^M : M^{n_i} \mapsto M$ ($n__i$ est l'arité de la relation $R__i$)

Ces éléments là sont là pour s'assurer que l'on peut bien appliquer notre language à notre ensemble. On pourrait s'inquiéter que les fonctions nous fassent sortir de $M$ mais non c'est bien fait! :D

#### Exemples:
* On peut appliquer le language de la relation inférieure aux ensembles de nombres "classiques" (N, Q, R...)
* On peut aussi créer le language correspondant aux groupes: L = (0, +) et l'appliquer à Z pour en faire une L-structure.
* Language des espaces vectoriels sur Q: $L = ( 0__E, +, (\lambda__k)__k)$ avec $\lambda__k$ les homotéties.

### Mille définitions
* *M statisfait un énoncé $\Phi$* ssi $\Phi$ est vrai dans M.
* M et N deux L-structures
$\sigma : M \rightarrow N$ morphisme ssi 
    * cst de M sont des cst de N
    * $\sigma(f_j^M(\bar{m})) = f_j^N( \bar{\sigma(\bar{m})})
    * R^M(\bar{m}) \Rightarrow R^N(\sigma(\bar}))
* Ce morphisme est *plongement* si on a équivalence à la place d'une implication (On a alors une injection)
* On a un *isomorphisme* quand on a un plongment surjectif.
* On dit que *M est une sous structure de N* quand on est un sous ensemble contenant les constantes et stable par les fonctions.
* On a un *isomorphisme partiel* quand on a un morphisme entre deux structures tel que pour toute sous structure de la source le morphisme induit un isomorphisme sur une sous structure du but.

### Va et viens infinis