feat(1G_math): finalisation de DS2
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes},step={1}, origin={Divers}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={4}]
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L'exercice suivante est QCM. Une seule des 4 réponses est juste. Il n'est pas demandé de justifier. Une bonne réponse rapporte un point et un mauvaise réponse ne fait ni perdre ni gagner de points.
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes},step={1}, origin={Divers}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={3}]
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L'exercice suivant est un QCM. Une seule des 4 réponses est juste. Il n'est pas demandé de justifier. Une bonne réponse rapporte un point et une mauvaise réponse ne fait ni perdre ni gagner de points.
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\begin{enumerate}
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% développement
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\item Quelle est la forme factorisée de $f(x) = 0.5(x-2)^2 -8$?
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
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\item $0.5x^2-2x-6$
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\item $0.5(x-6)(x+2)$
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\item $0.5(x+10)(x-6)$
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\item $0.5(x-10)(x+6)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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% Calcul des termes d'une suite par récurrence avec n
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% % développement
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% \item Quelle est la forme factorisée de $f(x) = 0.5(x-2)^2 -8$?
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% \begin{multicols}{2}
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% \begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
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% \item $0.5x^2-2x-6$
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% \item $0.5(x-6)(x+2)$
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% \item $0.5(x+10)(x-6)$
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% \item $0.5(x-10)(x+6)$
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% \end{enumerate}
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% \end{multicols}
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% % Calcul des termes d'une suite par récurrence avec n
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\item Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 = \frac{3}{2}$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n + n$. Quelle est la valeur de $u_3$?
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\begin{multicols}{4}
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\begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
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@@ -42,45 +42,11 @@
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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% Retrouver un point sur le cercle trigo à partir d'un angle
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% \item
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% \begin{minipage}[t]{0.6\textwidth}
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% Sur le cercle trigonométrique ci-contre, quel point correspond à l'angle $\frac{5\pi}{6}$ radians?
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% \begin{multicols}{2}
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% \begin{enumerate}[label=Réponse \Alph*: , leftmargin=*]
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% \item A
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% \item B
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% \item C
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% \item D
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% \end{enumerate}
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% \end{multicols}
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% \end{minipage}
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% \begin{minipage}{0.5\textwidth}
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% \begin{center}
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% \begin{tikzpicture}[scale=2]
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% % Cercle trigonométrique
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% \draw[thick] (0,0) circle (1);
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% % Axes
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% \draw[->] (-1.3,0) -- (1.3,0);
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% \draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.3);
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% % Points remarquables
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% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=right:A] (A) at (1,0) {};
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% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=above right:B] (B) at ({cos(30)},{sin(30)}) {};
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% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=above left:C] (C) at ({cos(150)},{sin(150)}) {};
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% \node[circle, fill=black, inner sep=2pt, label=below left:D] (D) at ({cos(210)},{sin(210)}) {};
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% \end{tikzpicture}
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% \end{center}
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% \end{minipage}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item On développe : $f(x) = 0.5(x-2)^2 - 8 = 0.5(x^2 - 4x + 4) - 8 = 0.5x^2 - 2x + 2 - 8 = 0.5x^2 - 2x - 6$
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Puis on factorise : $0.5x^2 - 2x - 6 = 0.5(x^2 - 4x - 12) = 0.5(x-6)(x+2)$
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\textbf{Réponse B}
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\item $u_0 = \frac{3}{2}$
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$u_1 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} + 0 = 1 + 0 = 1$
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@@ -163,7 +129,7 @@ print(u_10)
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\item Démontrer que 3 est une racine de $f$
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\item Démontrer que $f(x) = -2(x-3)(x+1)$
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\item Déterminer le tableau de signe de $f(x)$.
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\item Tracer l'allure de la fonction $f(x)$ et placer les éléments remarquables de la fonction sur le graphique.
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\item Tracer l'allure de la fonction $f(x)$ et placer les éléments remarquables (trouvés dans les questions précédentes) de la fonction sur le graphique.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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@@ -209,61 +175,83 @@ print(u_10)
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Radians}, step={1}, origin={ma tête}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={3}]
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\begin{exercise}[subtitle={Radians}, step={1}, origin={ma tête}, topics={}, tags={ polynômes, représentation graphique, suite, trigonométrie }, points={4}]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Sur le cercle trigonométrique ci-contre, placer les points suivants et donner la mesure de l'angle associé en degrés.
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\textit{Pour cet exercice, vous pouvez répondre directement sur le sujet}
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\bigskip
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Le cercle trigonométrique ci-contre a été partagé en 24 segments.
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\begin{enumerate}
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\item Le point $A$ est l'image de $\frac{2\pi}{3}$ radians.
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\item Le point $B$ est l'image de $-\frac{3\pi}{4}$ radians.
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\item Le point $C$ est l'image de $\frac{7\pi}{6}$ radians.
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\item Le point $D$ est l'image de $\frac{7\pi}{2}$ radians.
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\item Placer les points suivants
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\begin{enumerate}
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\item Le point $A$ est l'image de $\frac{2\pi}{3}$ radians.
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\item Le point $B$ est l'image de $-\frac{3\pi}{4}$ radians.
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\item Le point $C$ est l'image de $\frac{7\pi}{6}$ radians.
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\end{enumerate}
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\item Déterminer les mesures principales des angles associés aux points
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $P$ \dotfill
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\item $Q$ \dotfill
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\item $R$ \dotfill
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.35\textwidth}
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[scale=2]
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% Cercle trigonométrique
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\draw[thick] (0,0) circle (1);
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% Axes
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\draw[->] (-1.3,0) -- (1.3,0);
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\draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.3);
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% Rayons multiples de π/4
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\foreach \angle in {0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315} {
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\draw[gray, thin] (0,0) -- (\angle:1);
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}
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% Rayons multiples de π/6
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\foreach \angle in {30, 60, 120, 150, 210, 240, 300, 330} {
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||||
\draw[gray, thin] (0,0) -- (\angle:1);
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\begin{tikzpicture}[scale=3]
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||||
\cercleTrigo
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% Diviser le cercle en 24 segments égaux
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\foreach \angle in {0,15,...,345} {
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\draw[thin, gray] (0,0) -- (\angle:1);
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}
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\draw (270:1) node {\bullet} node[below right] {$P$} ;
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\draw (120:1) node {\bullet} node[above left] {$Q$} ;
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\draw (210:1) node {\bullet} node[below left] {$R$} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $\frac{2\pi}{3}$ radians $= \frac{2\pi}{3} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{2 \times 180°}{3} = 120°$
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\item Placement des points :
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\begin{enumerate}
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\item $\frac{2\pi}{3}$ radians $= \frac{2\pi}{3} \times \frac{180°}{\pi} = 120°$
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Le point $A$ se situe dans le deuxième quadrant, à $120°$ de l'axe des abscisses (sens trigonométrique).
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Le point $A$ se situe dans le deuxième quadrant, à $120°$ de l'axe des abscisses (sens trigonométrique).
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\item $-\frac{3\pi}{4}$ radians $= -\frac{3\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = -\frac{3 \times 180°}{4} = -135°$
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\item $-\frac{3\pi}{4}$ radians $= -\frac{3\pi}{4} \times \frac{180°}{\pi} = -135°$
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Le point $B$ se situe dans le troisième quadrant, à $-135°$ (ou $225°$ en sens positif).
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Le point $B$ se situe dans le troisième quadrant, à $-135°$ (ou $225°$ en sens positif).
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\item $\frac{7\pi}{6}$ radians $= \frac{7\pi}{6} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{7 \times 180°}{6} = 210°$
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\item $\frac{7\pi}{6}$ radians $= \frac{7\pi}{6} \times \frac{180°}{\pi} = 210°$
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Le point $C$ se situe dans le troisième quadrant, à $210°$ de l'axe des abscisses.
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Le point $C$ se situe dans le troisième quadrant, à $210°$ de l'axe des abscisses.
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\end{enumerate}
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\item $\frac{7\pi}{2}$ radians $= \frac{7\pi}{2} \times \frac{180°}{\pi} = \frac{7 \times 180°}{2} = 630°$
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\item Mesures principales (dans $]-\pi, \pi]$) :
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\begin{enumerate}
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\item $P$ est à $270° = \frac{3\pi}{2}$ radians. Or $\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$
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Or $630° = 360° + 270° = 270°$ (mesure principale)
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Donc la mesure principale est $-\frac{\pi}{2}$
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Le point $D$ se situe sur l'axe des ordonnées négatif, à $270°$ (ou $-90°$).
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\item $Q$ est à $120° = \frac{2\pi}{3}$ radians, qui est déjà dans $]-\pi, \pi]$
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Donc la mesure principale est $\frac{2\pi}{3}$
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\item $R$ est à $210° = \frac{7\pi}{6}$ radians. Or $\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$
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Donc la mesure principale est $-\frac{5\pi}{6}$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Le virus!}, step={1}, points=5]
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On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de \np{150000} habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par
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On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de \np{75000} habitants. La fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intFF{0}{40}$ par
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\begin{align*}
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f(x) &= -30 x^2 + 1650 x - 13500
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\end{align*}
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@@ -290,11 +278,11 @@ print(u_10)
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\begin{enumerate}
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\item À $x = 15$ jours, on lit $f(15) \approx 7500$ personnes touchées.
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\item 10\% de 150 000 habitants = 15 000 personnes.
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\item 10\% de 75 000 habitants = 7 500 personnes.
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On cherche quand $f(x) > 15000$, mais sur le graphique on voit que $f(x)$ ne dépasse jamais 12 500, donc le maximum est inférieur à 10\%.
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On cherche quand $f(x) \geq 7500$. Par lecture graphique, on observe que la courbe atteint le seuil de 7 500 personnes vers $x \approx 20$ jours et redescend sous ce seuil vers $x \approx 35$ jours.
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Les crèches n'ont jamais été fermées.
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Les crèches ont donc été fermées pendant environ $35 - 20 = 15$ jours.
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\end{enumerate}
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\item
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Binary file not shown.
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