Cours/2025-2026
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Bertrand Benjamin
2025-11-11 10:22:26 +01:00
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63
Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/1B_signe_variations.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,63 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{qrcode}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Étude Polynômes - Cours}
\date{Novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Polynômes}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
Soit $P(x)$ un polynôme, il peut prendre différentes formes mais deux sont particulièrement intéressantes
\begin{itemize}
\item \textbf{la forme développée}: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$
\item \textbf{la forme factorisée}: $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$
\end{itemize}
\end{bclogo}
La forme développée est pratique pour dériver la fonction polynôme.
La forme factorisée est pratique pour résoudre des équations et étudier le signe de la fonction.
\paragraph{Exemples}%
Relier les formes factorisées avec les formes développées qui sont égales
\medskip
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Formes développées
\begin{tabular}{@{}r@{\quad}>{$\bullet$}c@{}}
$4 x^3 - 20 x^2 + 28 x - 12$ &\\
$3 x^2 - 3 x - 6$ &\\
$-x^3 - x^2 + 4 x + 4$ &\\
\end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Formes factorisées
\begin{itemize}
\item $3(x+1)(x-2)$
\item $-(x+1)(x-2)(x+2)$
\item $4(x-3)(x-1)^2$
\end{itemize}
\end{minipage}
\afaire{Relier les expression égales}
\section{Étude de signe d'une forme factorisée}
\paragraph{Exemple} étude du signe de
\[
f(x) = 3(2x-1)(-4x+1)
\]
\afaire{Étudier le signe de f}
\end{document}

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Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/2B_racine_factorisation.pdf Normal file
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87
Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/2B_racine_factorisation.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,87 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{qrcode}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Étude Polynômes - Cours}
\date{Novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{2}
\section{Racine et factorisation}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Définition}
Soit $f(x)$ un polynôme, on dit que $x$ est une \textbf{racine de $f$} si et seulement si
\[ f(x) = 0 \]
\end{bclogo}
\paragraph{Exemples}%
\begin{itemize}
\item Montrons que $x = 1$ est une racine du polynôme $f(x) = x^2 - 1$.
\afaire{Calculer $f(1)$ et conclure}
\item Montrons que $x = -2$ est une racine du polynôme $f(x) = 0.5x^3 + 1.5x^2 + x$.
\afaire{Calculer $f(-2)$ et conclure}
\end{itemize}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
\begin{itemize}
\item Un polynôme de degré 1 a une seul racine.
\item Un polynôme de degré 2 a 0, 1 ou 2 racines différentes.
\item Un polynôme de degré 3 a 1, 2 ou 3 racines différentes.
\end{itemize}
\end{bclogo}
\paragraph{Remarque:} Dans la pratique, il n'est pas évident de déterminer par le calcul les racines d'un polynôme. Il existe des méthodes qui ne sont pas au programme. Par contre, il est facile de les observer sur des graphiques.
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
Soit $f(x)$ un polynôme, alors les racines de $f$ sont les abscisses des points d'intersections entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses.
\end{bclogo}
\paragraph{Exemples}%
\begin{itemize}
\item Observation des racines du polynôme $f(x) = x^2 - 1$
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.6]
\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
ymin=-2,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]%
{\x*\x-1};
\end{tikzpicture}
\afaire{Repérer sur le graphique les deux racines du polynôme.}
\item Observation des racines du polynôme $f(x) = 0.5x^3 + 1.5x^2 + x$
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.6]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
ymin=-2,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]%
{0.5*\x**3 + 1.5*\x**2+\x};
\end{tikzpicture}
\afaire{Repérer graphiquement les deux racines du polynôme.}
\end{itemize}
\begin{bclogo}[barre=none, arrondi=0.1, logo=]{Propriété}
Un polynôme $f(x)$ est sous la forme factorisée $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$ si et seulement si $x_1$, $x_2$, ... et $x_n$ sont des racines de $f$.
\end{bclogo}
\paragraph{Exemples}%
\begin{itemize}
\item Donner la forme factorisée de $f(x) = x^2 - 1$.
\afaire{Lister les racines de $f(x)$ puis déterminer la forme factorisée.}
\item Donner la forme factorisée de $f(x) = 0.5x^3 + 1.5x^2 + x$
\afaire{Lister les racines de $f(x)$ puis déterminer la forme factorisée.}
\end{itemize}
\end{document}

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Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/3B_etude_des_variations.pdf Normal file
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35
Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/3B_etude_des_variations.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,35 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{qrcode}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Étude Polynômes - Cours}
\date{Novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{3}
\section{Étude des variations d'un polynôme de degré 3}
\paragraph{Exemple}:
On veut étudier les variations du polynôme:
$$ f(x) = x^3 - 3x + 10 $$
\begin{enumerate}
\item Dérivation de $f(x)$
\vspace{2cm}
\item Factorisation de $f(x)$ (en montrant que 1 et -1 sont des racines de $f'(x)$)
\vspace{2cm}
\item Étude de signe de $f'(x)$
\item Étude de variation de $f(x)$
\vspace{2cm}
\end{enumerate}
\afaire{}
\end{document}

956
Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/exercises.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,956 @@
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}, mode={\trainMode}]
Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 2x + 3$
\item $g(x) = 4(-x + 2)$
\item $h(x) = -3(4 - 5x)$
\item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
\item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
\item $k(x) = (4x - 12)(-x + 1)$
\item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
\item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
\item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 2x + 3$
\textbf{Résolution de $2x + 3 > 0$ :}
\begin{align*}
2x + 3 &> 0\\
2x &> -3\\
x &> -\frac{3}{2}
\end{align*}
Donc $2x + 3$ est positif quand $x > -\frac{3}{2}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $2x+3$/1}{$-\infty$, $-\frac{3}{2}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $g(x) = 4(-x + 2)$
\textbf{Résolution de $4 > 0$ :} $4$ est toujours positif.
\textbf{Résolution de $-x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
-x + 2 &> 0\\
-x &> -2\\
x &< 2
\end{align*}
Donc $-x + 2$ est positif quand $x < 2$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $4$/1, $-x+2$/1, $g(x)$/1}{$-\infty$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, t, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $h(x) = -3(4 - 5x)$
\textbf{Résolution de $-3 > 0$ :} $-3$ est toujours négatif.
\textbf{Résolution de $4 - 5x > 0$ :}
\begin{align*}
4 - 5x &> 0\\
-5x &> -4\\
x &< \frac{4}{5}
\end{align*}
Donc $4 - 5x$ est positif quand $x < \frac{4}{5}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $-3$/1, $4-5x$/1, $h(x)$/1}{$-\infty$, $\frac{4}{5}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, t, -, }
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabLine{, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $i(x) = (2x - 1)(3x + 2)$
\textbf{Résolution de $2x - 1 > 0$ :}
\begin{align*}
2x - 1 &> 0\\
2x &> 1\\
x &> \frac{1}{2}
\end{align*}
Donc $2x - 1$ est positif quand $x > \frac{1}{2}$.
\textbf{Résolution de $3x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
3x + 2 &> 0\\
3x &> -2\\
x &> -\frac{2}{3}
\end{align*}
Donc $3x + 2$ est positif quand $x > -\frac{2}{3}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $2x-1$/1, $3x+2$/1, $i(x)$/1}{$-\infty$, $-\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $j(x) = (5x + 3)(-2x - 6)$
\textbf{Résolution de $5x + 3 > 0$ :}
\begin{align*}
5x + 3 &> 0\\
5x &> -3\\
x &> -\frac{3}{5}
\end{align*}
Donc $5x + 3$ est positif quand $x > -\frac{3}{5}$.
\textbf{Résolution de $-2x - 6 > 0$ :}
\begin{align*}
-2x - 6 &> 0\\
-2x &> 6\\
x &< -3
\end{align*}
Donc $-2x - 6$ est positif quand $x < -3$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $5x+3$/1, $-2x-6$/1, $j(x)$/1}{$-\infty$, $-3$, $-\frac{3}{5}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, t, -, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $k(x) = (4x - 12)(-x + 1)$
\textbf{Résolution de $4x - 12 > 0$ :}
\begin{align*}
4x - 12 &> 0\\
4x &> 12\\
x &> 3
\end{align*}
Donc $4x - 12$ est positif quand $x > 3$.
\textbf{Résolution de $-x + 1 > 0$ :}
\begin{align*}
-x + 1 &> 0\\
-x &> -1\\
x &< 1
\end{align*}
Donc $-x + 1$ est positif quand $x < 1$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $4x-12$/1, $-x+1$/1, $k(x)$/1}{$-\infty$, $1$, $3$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, t, -, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $l(x) = 3(x + 2)(x - 5)$
\textbf{Résolution de $3 > 0$ :} $3$ est toujours positif.
\textbf{Résolution de $x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
x + 2 &> 0\\
x &> -2
\end{align*}
Donc $x + 2$ est positif quand $x > -2$.
\textbf{Résolution de $x - 5 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 5 &> 0\\
x &> 5
\end{align*}
Donc $x - 5$ est positif quand $x > 5$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $3$/1, $x+2$/1, $x-5$/1, $l(x)$/1}{$-\infty$, $-2$, $5$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, t, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $m(x) = -2(-x + 2)(-2x + 2)$
\textbf{Résolution de $-2 > 0$ :} $-2$ est toujours négatif.
\textbf{Résolution de $-x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
-x + 2 &> 0\\
-x &> -2\\
x &< 2
\end{align*}
Donc $-x + 2$ est positif quand $x < 2$.
\textbf{Résolution de $-2x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
-2x + 2 &> 0\\
-2x &> -2\\
x &< 1
\end{align*}
Donc $-2x + 2$ est positif quand $x < 1$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $-2$/1, $-x+2$/1, $-2x+2$/1, $m(x)$/1}{$-\infty$, $1$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, t, -, t, -, }
\tkzTabLine{, +, t, +, z, -, }
\tkzTabLine{, +, z, -, t, -, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item $n(x) = -0.1(6x - 5)(0.2x + 2)$
\textbf{Résolution de $-0.1 > 0$ :} $-0.1$ est toujours négatif.
\textbf{Résolution de $6x - 5 > 0$ :}
\begin{align*}
6x - 5 &> 0\\
6x &> 5\\
x &> \frac{5}{6}
\end{align*}
Donc $6x - 5$ est positif quand $x > \frac{5}{6}$.
\textbf{Résolution de $0.2x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
0.2x + 2 &> 0\\
0.2x &> -2\\
x &> -10
\end{align*}
Donc $0.2x + 2$ est positif quand $x > -10$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $-0.1$/1, $6x-5$/1, $0.2x+2$/1, $n(x)$/1}{$-\infty$, $-10$, $\frac{5}{6}$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, t, -, t, -, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Profit masqués}, step={1}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}, mode={\trainMode}]
Une usine produit chaque jour entre 0 et 60 milles masques. Une étude statistique a montré que les bénéfices pouvaient être modélisés par la fonction suivante:
\[
f(x) = x^3 - 96x^2+2489,25x - \np{10171,25}
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
\item Étudier le signe de $f(x)$.
\item En déduire le nombre de masque que l'entreprise doit produire pour gagner de l'argent.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Développons $(x-5)(x-39,5)(x-51,5)$:
\begin{align*}
(x-5)(x-39,5)(x-51,5) &= (x-5)[(x-39,5)(x-51,5)]\\
&= (x-5)[x^2 - 51,5x - 39,5x + 39,5 \times 51,5]\\
&= (x-5)[x^2 - 91x + 2034,25]\\
&= x^3 - 91x^2 + 2034,25x - 5x^2 + 455x - \np{10171,25}\\
&= x^3 - 96x^2 + 2489,25x - \np{10171,25}
\end{align*}
Donc $f(x) = (x-5)(x-39,5)(x-51,5)$.
\item \textbf{Résolution de $x - 5 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 5 &> 0\\
x &> 5
\end{align*}
Donc $x - 5$ est positif quand $x > 5$.
\textbf{Résolution de $x - 39,5 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 39,5 &> 0\\
x &> 39,5
\end{align*}
Donc $x - 39,5$ est positif quand $x > 39,5$.
\textbf{Résolution de $x - 51,5 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 51,5 &> 0\\
x &> 51,5
\end{align*}
Donc $x - 51,5$ est positif quand $x > 51,5$.
Tableau de signe de $f(x)$ sur $\intFF{0}{60}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $x-5$/1, $x-39.5$/1, $x-51.5$/1, $f(x)$/1}{$0$, $5$, $39.5$, $51.5$, $60$}
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, t, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, t, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, t, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, +, t, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item L'entreprise gagne de l'argent quand $f(x) > 0$, c'est-à-dire pour $x \in \intOO{5}{39,5} \cup \intOO{51,5}{60}$.
L'entreprise doit produire entre 5 et 39,5 milliers de masques (soit entre 5000 et 39500 masques) ou entre 51,5 et 60 milliers de masques pour gagner de l'argent.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}, mode={\trainMode}]
Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
\begin{enumerate}
\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Faux. $f(-1) = 3 \times (-1)^2 - 2 \times (-1) - 3 = 3 + 2 - 3 = 2 \neq 0$
\item Vrai. $g(3) = 5(3-3)(3+1) = 5 \times 0 \times 4 = 0$
\item Vrai. $h(4) = 2 \times 4^2 - 2 \times 4 - 24 = 32 - 8 - 24 = 0$
\item Vrai. $h(-3) = 2 \times (-3)^2 - 2 \times (-3) - 24 = 18 + 6 - 24 = 0$
\item Vrai. $i(-10) = (-10)^2 + 8 \times (-10) - 20 = 100 - 80 - 20 = 0$ et $i(2) = 2^2 + 8 \times 2 - 20 = 4 + 16 - 20 = 0$
\item Vrai. Par définition, les racines d'un polynôme factorisé sont les valeurs qui annulent chaque facteur.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Développer}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}, mode={\trainMode}]
Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (x+4)(x-2)$
\item $g(x) = (x-3)(x-8)$
\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (x+4)(x-2)$. Racines: $x = -4$ et $x = 2$.
$f(x) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8$
\item $g(x) = (x-3)(x-8)$. Racines: $x = 3$ et $x = 8$.
$g(x) = x^2 - 8x - 3x + 24 = x^2 - 11x + 24$
\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$. Racines: $x = 4$ et $x = 8$.
$h(x) = 2(x^2 - 8x - 4x + 32) = 2(x^2 - 12x + 32) = 2x^2 - 24x + 64$
\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$. Racines: $x = 1$ et $x = 6$.
$i(x) = -3(x^2 - 6x - x + 6) = -3(x^2 - 7x + 6) = -3x^2 + 21x - 18$
\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$. Racines: $x = 2$ et $x = 5$.
$j(x) = 10(x^2 - 5x - 2x + 10) = 10(x^2 - 7x + 10) = 10x^2 - 70x + 100$
\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$. Racines: $x = -1$ et $x = -9$.
$k(x) = 0.5(x^2 + 9x + x + 9) = 0.5(x^2 + 10x + 9) = 0.5x^2 + 5x + 4.5$
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}, mode={\trainMode}]
\begin{enumerate}
\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
\[
f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
\item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
\end{enumerate}
\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
\[
h(x) = x^2 + 2x - 15
\]
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, tracer la représentation graphique de $h$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
\item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
\item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
\item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
\end{enumerate}
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
\[
-3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
\]
\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f(5) = 5 \times 5^2 - 26 \times 5 + 5 = 125 - 130 + 5 = 0$ \\
$f(0.2) = 5 \times 0.2^2 - 26 \times 0.2 + 5 = 0.2 - 5.2 + 5 = 0$
Donc $x = 5$ et $x = 0.2$ sont bien deux racines de $f$.
\item $g(5) = 2(5-5)(5-0.2) = 0$ \\
$g(0.2) = 2(0.2-5)(0.2-0.2) = 0$
Donc $x = 5$ et $x = 0.2$ sont bien deux racines de $g$.
\item Développons $g(x)$:
\begin{align*}
g(x) &= 2(x-5)(x-0.2)\\
&= 2(x^2 - 0.2x - 5x + 1)\\
&= 2(x^2 - 5.2x + 1)\\
&= 2x^2 - 10.4x + 2
\end{align*}
Or $f(x) = 5x^2 - 26x + 5$. On remarque que $g(x) = \frac{2}{5}f(x)$.
Donc $f(x)$ et $g(x)$ ne sont pas égales, mais elles ont les mêmes racines.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Sur la calculatrice, on conjecture que les racines sont $x = -5$ et $x = 3$.
\item $h(-5) = (-5)^2 + 2 \times (-5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$ \\
$h(3) = 3^2 + 2 \times 3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$
Donc $x = -5$ et $x = 3$ sont bien des racines de $h$.
\item $h(x) = (x+5)(x-3)$
\item \textbf{Résolution de $x + 5 > 0$ :}
\begin{align*}
x + 5 &> 0\\
x &> -5
\end{align*}
Donc $x + 5$ est positif quand $x > -5$.
\textbf{Résolution de $x - 3 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 3 &> 0\\
x &> 3
\end{align*}
Donc $x - 3$ est positif quand $x > 3$.
Tableau de signe de $h(x)$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $x+5$/1, $x-3$/1, $h(x)$/1}{$-\infty$, $-5$, $3$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f(5) = 3 \times 5^2 - 9 \times 5 - 30 = 75 - 45 - 30 = 0$
Donc $x = 5$ est une racine de $f$.
\item Testons les valeurs:
\begin{itemize}
\item $f(-3) = 3 \times (-3)^2 - 9 \times (-3) - 30 = 27 + 27 - 30 = 24 \neq 0$
\item $f(-2) = 3 \times (-2)^2 - 9 \times (-2) - 30 = 12 + 18 - 30 = 0$ ✓
\item $f(0) = -30 \neq 0$
\item $f(2) = 3 \times 4 - 18 - 30 = -36 \neq 0$
\end{itemize}
Donc $x = -2$ est une racine de $f$.
\item Développons $3(x+2)(x-5)$:
\begin{align*}
3(x+2)(x-5) &= 3(x^2 - 5x + 2x - 10)\\
&= 3(x^2 - 3x - 10)\\
&= 3x^2 - 9x - 30\\
&= f(x)
\end{align*}
\item \textbf{Résolution de $3 > 0$ :} $3$ est toujours positif.
\textbf{Résolution de $x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
x + 2 &> 0\\
x &> -2
\end{align*}
Donc $x + 2$ est positif quand $x > -2$.
\textbf{Résolution de $x - 5 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 5 &> 0\\
x &> 5
\end{align*}
Donc $x - 5$ est positif quand $x > 5$.
Tableau de signe de $f(x)$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $3$/1, $x+2$/1, $x-5$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $-2$, $5$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, t, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={3}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}, mode={\trainMode}]
On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
\[
f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
\]
\begin{enumerate}
\item Dériver la fonction $f(x)$ et démontrer que $f'(x) = 3(x-1)(x+2)$
\item Tracer la tableau de signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$.
\item La fonction admet-elle un minimum? Un maximum?
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x + 1$
$f'(x) = 3x^2 + 3x - 6 = 3(x^2 + x - 2) = 3(x-1)(x+2)$
\item \textbf{Résolution de $3 > 0$ :} $3$ est toujours positif.
\textbf{Résolution de $x - 1 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 1 &> 0\\
x &> 1
\end{align*}
Donc $x - 1$ est positif quand $x > 1$.
\textbf{Résolution de $x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
x + 2 &> 0\\
x &> -2
\end{align*}
Donc $x + 2$ est positif quand $x > -2$.
Tableau de signe de $f'(x)$ et variations de $f(x)$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $3$/1, $x-1$/1, $x+2$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/2}{$-\infty$, $-2$, $1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{, +, t, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, z, +, }
\tkzTabVar{-/, +/$11$, -/$-2.5$, +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Avec $f(-2) = -8 + 6 + 12 + 1 = 11$ et $f(1) = 1 + 1,5 - 6 + 1 = -2,5$.
\item La fonction admet un maximum en $x = -2$ avec $f(-2) = 11$ et un minimum en $x = 1$ avec $f(1) = -2,5$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Mobilier urbain}, step={3}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}, mode={\trainMode}]
% Inspiré de T1CMATH00290
On considère qu'une entreprise produit, par semaine, $x$ lots de mobilier urbain, où $x$ est un entier compris entre 0 et 80.
Le coût de production, exprimé en euro, pour $x$ lots produits est modélisé par la fonction $C$ définie par
$$ C(x) = x^3 - 84x^2 + \np{5000}x $$
\begin{enumerate}
\item Calculer le coût correspondant à la production de 50 lots.
\item Chaque lot produit par l'entreprise est vendu \np{5000}\euro. Justifier que le bénéfice, exprimé en euro, réalisé lorsque l’entreprise produit et vend $x$ lots est donné par la fonction $B$ définie sur $\intFF{0}{80}$ par
$$ B(x) = -x^3 + 84x^2 $$
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer $B'(x)$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$.
\item Montrer que pour tout réel de $\intFF{0}{80}$,
$$ B'(x) = 3x(56 - x)$$
\item En déduire le nombre de lots que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal, puis donner la valeur de ce bénéfice maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Le coût de production de 50 lots est:
\begin{align*}
C(50) &= 50^3 - 84 \times 50^2 + \np{5000} \times 50\\
&= \np{125000} - \np{210000} + \np{250000}\\
&= \np{165000}\text{\euro}
\end{align*}
\item Le bénéfice est la différence entre les recettes et les coûts.
Les recettes pour $x$ lots vendus à \np{5000}\euro{} chacun sont: $R(x) = \np{5000}x$
Donc le bénéfice est:
\begin{align*}
B(x) &= R(x) - C(x)\\
&= \np{5000}x - (x^3 - 84x^2 + \np{5000}x)\\
&= \np{5000}x - x^3 + 84x^2 - \np{5000}x\\
&= -x^3 + 84x^2
\end{align*}
\item
\begin{enumerate}
\item $B'(x) = -3x^2 + 84 \times 2 \times x = -3x^2 + 168x$
\item Développons l'expression proposée $B'(x)$:
\begin{align*}
B'(x) &= 3x(56 - x)
B'(x) &= 3x\times56 - 3x\times x
B'(x) &= -3x^2 + 168x\\
\end{align*}
Donc pour tout réel de $\intFF{0}{80}$, $B'(x) = 3x(56 - x)$.
\item \textbf{Résolution de $3 > 0$ :} $3$ est toujours positif.
\textbf{Résolution de $x > 0$ :} $x$ est positif quand $x > 0$.
\textbf{Résolution de $56 - x > 0$ :}
\begin{align*}
56 - x &> 0\\
-x &> -56\\
x &< 56
\end{align*}
Donc $56 - x$ est positif quand $x < 56$.
Tableau de signe de $B'(x)$ et variations de $B(x)$ sur $\intFF{0}{80}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $3$/1, $x$/1, $56-x$/1, $B'(x)$/1, $B(x)$/2}{$0$, $56$, $80$}
\tkzTabLine{, +, t, +, }
\tkzTabLine{, +, t, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabLine{, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/$0$, +/$\np{58464}$, -/$\np{25600}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Avec $B(0) = 0$, $B(56) = -56^3 + 84 \times 56^2 = -\np{175616} + \np{263424} = \np{58464}$ et $B(80) = -80^3 + 84 \times 80^2 = -\np{512000} + \np{537600} = \np{25600}$.
L'entreprise doit produire et vendre \textbf{56 lots} pour réaliser un bénéfice maximal de \textbf{\np{58464}\euro}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Constructeur de Machins}, step={3}, origin={Nathan 2ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}, mode={\trainMode}]
Une entreprise fabrique des \textit{machins}. Chaque jour, elle peut en produire entre 0 et 80 tonnes.
Le coût de fabrication, en euros, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction $C(x)$ représentée dans le graphique ci-dessous.
\noindent
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Lecture graphique:} Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
\begin{enumerate}
\item Combien coûte la production de 50 tonnes de \textit{machins}.
\item Quelle quantité de \textit{machins} peut-on produire pour une coût de fabrication de \np{100000}\euro?
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des recettes:} Une tonne de \textit{machins} est vendue \np{1900}\euros. La recette pour $x$ tonnes peut donc être modélisée par la fonction $R(x) = 1900x$.
\begin{enumerate}
\item Reproduire la représentation graphique de la fonction $R(x)$.
\item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices en produisant 10 tonnes?
\item Déterminer graphiquement les productions où ses bénéfices sont positifs.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{axis}[
width=10cm,
height=11cm,
xmin=0, xmax=80,
ymin=0, ymax=160000,
xlabel={$x$ (tonnes)},
ylabel={Coût (\euro)},
grid=both,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!30},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
xtick distance=10,
ytick distance=20000,
minor tick num=1,
]
\addplot[domain=0:80, samples=100, color=red, very thick]
{x^3 - 105*x^2 + 3700*x + 4000};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item \textbf{Étude des bénéfices:} On admet que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction $B(x) = -x^3 + 105x^2 -1800x - 4000$ sur $\intFF{0}{80}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
\item Calculer $B'(10)$ et $B'(60)$
\item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
\item Compléter le tableau de variations de $B(x)$ avec les valeurs au bout des flèches.
\item Quelle quantité doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal. Que vaut ce bénéfice?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Lecture graphique:}
\begin{enumerate}
\item Le coût de production de 50 tonnes est d'environ \np{100000}\euro.
\item Pour un coût de \np{100000}\euro, on peut produire environ 10 tonnes, 50 tonnes ou 70 tonnes.
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des recettes:}
\begin{enumerate}
\item La droite $R(x) = 1900x$ passe par l'origine et par le point $(10, 19000)$.
\item Pour 10 tonnes: $R(10) = 19000$\euro{} et $C(10) \approx 30000$\euro{} (lecture graphique).
Donc $B(10) = 19000 - 30000 = -11000$\euro. L'entreprise ne réalise pas de bénéfices.
\item Les bénéfices sont positifs quand $R(x) > C(x)$, c'est-à-dire graphiquement quand la droite est au-dessus de la courbe.
Cela correspond approximativement à $x \in \intOO{20}{70}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des bénéfices:}
\begin{enumerate}
\item $B'(x) = -3x^2 + 210x - 1800$
\item $B'(10) = -3 \times 100 + 2100 - 1800 = -300 + 2100 - 1800 = 0$ \\
$B'(60) = -3 \times 3600 + 12600 - 1800 = -10800 + 12600 - 1800 = 0$
\item Puisque $B'(10) = 0$ et $B'(60) = 0$, on peut factoriser:
$B'(x) = -3(x-10)(x-60)$
\item \textbf{Résolution de $-3 > 0$ :} $-3$ est toujours négatif.
\textbf{Résolution de $x - 10 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 10 &> 0\\
x &> 10
\end{align*}
Donc $x - 10$ est positif quand $x > 10$.
\textbf{Résolution de $x - 60 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 60 &> 0\\
x &> 60
\end{align*}
Donc $x - 60$ est positif quand $x > 60$.
Tableau de signe de $B'(x)$ et variations de $B(x)$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $-3$/1, $x-10$/1, $x-60$/1, $B'(x)$/1, $B(x)$/2}{$0$, $10$, $60$, $80$}
\tkzTabLine{, -, t, -, t, -, }
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, t, -, z, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, }
\tkzTabVar{-/$-4000$, -/$-12500$, +/$50000$, -/$12000$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item Calculons les valeurs:
\begin{itemize}
\item $B(0) = -4000$
\item $B(10) = -1000 + 10500 - 18000 - 4000 = -12500$
\item $B(60) = -216000 + 378000 - 108000 - 4000 = 50000$
\item $B(80) = -512000 + 672000 - 144000 - 4000 = 12000$
\end{itemize}
\item L'entreprise doit produire 60 tonnes pour réaliser un bénéfice maximal de \np{50000}\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Producteur de carottes}, step={3}, origin={Nathan 1ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}, mode={\trainMode}]
Une entreprise produit et vend des carottes. Elle a la capacité de produire entre 0 et 16 tonnes.
Le coût de production, en euro, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction
\[
C(x) = x^3 - 15x^2 + 78x - 650
\]
Chaque tonne de carottes est vendue 150\euro.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Production de 3 tonnes de carottes}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût de production de 3 tonnes de carottes.
\item Déterminer les revenus de la vente de 3 tonnes.
\item En déduire les bénéfices. L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices?
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des bénéfices}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression des revenus $R(x)$ pour $x$ tonnes de carottes vendues.
\item En déduire que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction
\[ B(x) = -x^3 + 15x^2 + 72x + 650 \]
\item Calculer $B'(x)$
\item Calculer $B'(-2)$ et $B'(12)$. En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
\item Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire les variations de $B(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 16.
\item Quelles quantité de carottes doivent être vendues pour avoir un bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Production de 3 tonnes de carottes}
\begin{enumerate}
\item $C(3) = 3^3 - 15 \times 3^2 + 78 \times 3 - 650 = 27 - 135 + 234 - 650 = -524$\euro
(Note: un coût négatif n'a pas de sens, le modèle n'est probablement pas valable pour 3 tonnes)
\item $R(3) = 150 \times 3 = 450$\euro
\item $B(3) = 450 - (-524) = 974$\euro. L'entreprise réalise des bénéfices.
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des bénéfices}
\begin{enumerate}
\item $R(x) = 150x$
\item $B(x) = R(x) - C(x) = 150x - (x^3 - 15x^2 + 78x - 650) = -x^3 + 15x^2 + 72x + 650$
\item $B'(x) = -3x^2 + 30x + 72$
\item $B'(-2) = -3 \times 4 - 60 + 72 = -12 - 60 + 72 = 0$ \\
$B'(12) = -3 \times 144 + 360 + 72 = -432 + 360 + 72 = 0$
Donc $B'(x) = -3(x+2)(x-12)$
\item \textbf{Résolution de $-3 > 0$ :} $-3$ est toujours négatif.
\textbf{Résolution de $x + 2 > 0$ :}
\begin{align*}
x + 2 &> 0\\
x &> -2
\end{align*}
Donc $x + 2$ est positif quand $x > -2$.
\textbf{Résolution de $x - 12 > 0$ :}
\begin{align*}
x - 12 &> 0\\
x &> 12
\end{align*}
Donc $x - 12$ est positif quand $x > 12$.
Tableau de signe de $B'(x)$ et variations de $B(x)$ sur $\intFF{0}{16}$:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1, $-3$/1, $x+2$/1, $x-12$/1, $B'(x)$/1, $B(x)$/2}{$0$, $12$, $16$}
\tkzTabLine{, -, t, -, t, -, }
\tkzTabLine{, +, t, +, t, +, }
\tkzTabLine{, -, z, +, t, +, }
\tkzTabLine{, +, z, -, t, -, }
\tkzTabVar{-/$650$, +/$1946$, -/$1322$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item L'entreprise doit vendre 12 tonnes de carottes pour avoir un bénéfice maximal.
$B(12) = -12^3 + 15 \times 12^2 + 72 \times 12 + 650 = -1728 + 2160 + 864 + 650 = 1946$\euro
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{solution}
% \begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}, step={3}, origin={Création}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}, mode={\searchMode}]
% \noindent
% \begin{minipage}{0.6\linewidth}
% \textit{Cet exercice est une tache complexe. C'est à vous d'explorer et de mettre les maths qui vous semblent appropriés pour résoudre le problème}.
%
% \medskip
%
% On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.
%
%
% Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible?
%
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{0.3\linewidth}
% \includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}
%
% \end{minipage}
% \end{exercise}
%
% \begin{solution}
% Soit $x$ la longueur du pli (en cm). Les dimensions de la boite sont alors:
% \begin{itemize}
% \item Longueur: $20 - 2x$
% \item Largeur: $10 - 2x$
% \item Hauteur: $x$
% \end{itemize}
%
% Le volume est donc: $V(x) = x(20-2x)(10-2x) = 4x(10-x)(5-x) = 4x^3 - 60x^2 + 200x$
%
% On cherche le maximum de $V(x)$ sur $\intFF{0}{5}$.
%
% $V'(x) = 12x^2 - 120x + 200 = 4(3x^2 - 30x + 50)$
%
% Les racines de $V'(x)$ sont: $x = \frac{30 \pm \sqrt{900-600}}{6} = \frac{30 \pm \sqrt{300}}{6} = 5 \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}$
%
% Soit $x \approx 2,11$ cm ou $x \approx 7,89$ cm (hors domaine).
%
% Le volume maximal est obtenu pour $x \approx 2,11$ cm.
% \end{solution}

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Dérivation et degré 3
#####################
:date: 2025-11-20
:modified: 2025-11-20
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: dérivation, polynômes, représentation graphique
:category: Tstmg
:summary: Etude des polynômes de degrés 3 avec la dérivation et l'étude de signes des polynômes de degré 2.
Éléments du programme
=====================
Contenus
--------
Capacités attendues
-------------------
Commentaires
------------
Progression
===========
Étape 1:
--------

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54
Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/plan_de_travail.tex Normal file
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Dérivation et degré 3 - Plan de travail}
\tribe{Tstmg}
\date{novembre 2025}
\pagestyle{empty}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
}
\begin{document}
\maketitle
% Résumé
\bigskip
Savoir-faire de la séquence
\begin{itemize}
\item Calculer la dérivée d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à trois.
\item Déterminer le sens de variation et les extremums d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
\end{itemize}
\bigskip
\section{Étude de signe des polynômes de degré 2}
\listsectionexercises
\section{Racine d'un polynome}
\listsectionexercises
\section{Exercices types}
\listsectionexercises
\medskip
\hline
\medskip
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}

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Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/solutions.pdf Normal file
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28
Tstmg/06_Derivation_et_degre_3/solutions.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,28 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usetikzlibrary{shapes.geometric}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Dérivation et degré 3 - Solutions}
\tribe{Tstmg}
\date{novembre 2025}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
exercise/print=false,
solution/print=true,
}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\input{exercises.tex}
%\printcollection{banque}
%\printsolutions{exercises}
\end{document}