feat(1G_math): DS1
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\begin{exercise}[subtitle={QCM}, step={1}, origin={ma tete}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }]
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\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, step={1}, origin={ma tete}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }, points={6}]
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% représentation graphique polynômes
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
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Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée
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Les questions de cet exercice sont indépendantes.
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\begin{enumerate}
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\item Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ dont voici le tableau de signe
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\begin{center}
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@@ -11,103 +9,117 @@
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\tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, + , }
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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Les solutions de l'inéquation $f(x) \leq 0$ sont
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\begin{tasks}(2)
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\task $x \in \intOO{-\infty}{-4} \cup \intOO{0}{2}$
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\task $x \in \intOF{-\infty}{-4} \cup \intFF{0}{2}$
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\task $x \in \intFF{-\infty}{-4} \cup \intFF{0}{2}$
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\task $x \in \intOF{-\infty}{-4} \cup \intFO{0}{2}$
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\end{tasks}
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Résoudre l'inéquation $f(x) \leq 0$.
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\item La solution de l'équation $\dfrac{1}{3}x + 2 = 2x - \dfrac{1}{2}$
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\item Résoudre l'équation $4x + 12 = 3 + 6x$
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\begin{tasks}(4)
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\task $\dfrac{-3}{2}$
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\task $\dfrac{3}{2}$
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\task $\dfrac{-2}{3}$
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\task Aucun des 3 résultats précédents
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\end{tasks}
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\item Développer puis réduire l'expression suivante $A = 3x - 2x(x - 5)$
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\item Quelle est la forme factorisée de $f(x) = 0.5(x-2)^2 - 9$?
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\begin{tasks}(4)
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\task $0.5x^2 - 2x - 6$
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\task $0.5(x-6)(x+2)$
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\task $0.5(x+10)(x-6)$
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\task $0.5(x-10)(x+6)$
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\end{tasks}
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\item Calculer la valeur suivante $B = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}\right)$
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Lancer de balle}, step={1}, origin={ma tete}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }]
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% représentation graphique polynômes
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\noindent
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\begin{minipage}{0.55\linewidth}
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On lance une balle et on décrit la hauteur ($h$ en m) en fonction du temps ($t$ en secondes) dans le graphique ci-contre.
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Vous laisserez les traits de construction qui vous ont permis de répondre aux questions avec le graphique.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la hauteur de la balle après 5 s ?
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\item Combien de temps la balle reste-t-elle à plus de 4 m ?
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\end{enumerate}
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On modélise la hauteur de la balle en fonction du temps $x$ en secondes par la fonction
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\[
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f(x) = -0,1(x-10)^2 + 10
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\]
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\begin{enumerate}
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\setcounter{enumi}{2}
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\item Calculer la hauteur de la balle après 14 s.
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\item Justifier que la fonction $f$ est une fonction polynôme de degré 2 et déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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axis lines = center,
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grid = both,
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xlabel = {$x$ en s},
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xtick distance=2,
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ylabel = {$f(x)$ en m},
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ytick distance=1,
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]
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\addplot[domain=0:20,samples=20, color=red, very thick]{-0.1*x^2+2*x};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item D'après le graphique, la hauteur de la balle après 5 s est d'environ 7,5 m.
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\item D'après le tableau de signe, $f(x) \leq 0$ lorsque $f(x) < 0$ ou $f(x) = 0$.
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\item La balle reste à plus de 4 m environ entre $x = 2$ s et $x = 18$ s, soit pendant $18 - 2 = 16$ secondes.
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$f(x) < 0$ pour $x \in ]-\infty ; -4[ \cup ]0 ; 2[$
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\item Calculons $f(14)$ :
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\begin{align}
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f(14) &= -0,1(14-10)^2 + 10 \\
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&= -0,1 \times 4^2 + 10 \\
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&= -0,1 \times 16 + 10 \\
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&= -1,6 + 10 \\
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&= 8,4
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\end{align}
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La hauteur de la balle après 14 s est de 8,4 m.
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$f(x) = 0$ pour $x \in \{-4 ; 0 ; 2\}$
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\item Développons l'expression de $f(x)$ :
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\begin{align}
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f(x) &= -0,1(x-10)^2 + 10 \\
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&= -0,1(x^2 - 20x + 100) + 10 \\
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&= -0,1x^2 + 2x - 10 + 10 \\
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&= -0,1x^2 + 2x
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\end{align}
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Donc $f(x) \leq 0$ pour $x \in ]-\infty ; -4] \cup [0 ; 2]$.
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La fonction $f$ est bien une fonction polynôme de degré 2 car elle peut s'écrire sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
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\item $4x + 12 = 3 + 6x$
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Les coefficients sont : $a = -0,1$, $b = 2$ et $c = 0$.
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$4x - 6x = 3 - 12$
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$-2x = -9$
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$x = 4,5$
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\item $A = 3x - 2x(x - 5)$
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$A = 3x - 2x \times x + 2x \times 5$
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$A = 3x - 2x^2 + 10x$
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$A = -2x^2 + 13x$
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\item $B = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}\right)$
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Pour additionner les fractions, on trouve un dénominateur commun :
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$\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} + \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{9}{15} + \dfrac{10}{15} = \dfrac{19}{15}$
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Donc $B = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{19}{15} = \dfrac{19}{45}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Carrelage hexagonal}, step={1}, origin={G1SSMAT02599}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }]
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\begin{exercise}[subtitle={Suites}, step={1}, origin={ma tete}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }, points={5}]
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% Suites
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\begin{enumerate}
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\item La suite $u$ est définie pour tout $n\in\N$ par: $u_n = -3n + 7$
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\begin{enumerate}
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\item Quel est le mode de génération de la suite $u$?
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\item Calculer $u_1$ et $u_4$.
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\item Déterminer les valeurs de $n$ telles que $u_n < -30$
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\end{enumerate}
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\item La suite $v$ est définie pour tout $n\in\N$ par: $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = v_n^2 + 1$
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\begin{enumerate}
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\item Quel est le mode de génération de la suite $v$?
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\item Calculer $v_1$ et $v_4$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item La suite $u$ est définie pour tout $n\in\N$ par: $u_n = -3n + 7$
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Mode de génération :} La suite $u$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = -3$.
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En effet, $u_n = u_0 + n \times r = 7 + n \times (-3) = -3n + 7$.
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\item \textbf{Calculs :}
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$u_1 = -3 \times 1 + 7 = -3 + 7 = 4$
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$u_4 = -3 \times 4 + 7 = -12 + 7 = -5$
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\item \textbf{Résolution de l'inéquation :} $u_n < -30$
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$-3n + 7 < -30$
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$-3n < -30 - 7$
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$-3n < -37$
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$n > \frac{37}{3}$ (on change le sens de l'inégalité car on divise par $-3 < 0$)
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$n > 12,33...$
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Comme $n \in \mathbb{N}$, on a $n \geq 13$.
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Donc $u_n < -30$ pour $n \geq 13$.
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\end{enumerate}
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\item La suite $v$ est définie pour tout $n\in\N$ par: $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = v_n^2 + 1$
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Mode de génération :} La suite $v$ est définie par récurrence avec un premier terme $v_0 = 1$ et une relation de récurrence $v_{n+1} = v_n^2 + 1$.
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\item \textbf{Calculs :}
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$v_1 = v_0^2 + 1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$
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$v_2 = v_1^2 + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$
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$v_3 = v_2^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$
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$v_4 = v_3^2 + 1 = 26^2 + 1 = 676 + 1 = 677$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Carrelage hexagonal}, step={1}, origin={G1SSMAT02599}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }, points={4}]
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% Modélisation avec des suites - géométrie
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\begin{minipage}{0.7\textwidth}
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Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande pièce.
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@@ -186,7 +198,7 @@
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Club de sport}, step={1}, origin={}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }]
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\begin{exercise}[subtitle={Club de sport}, step={1}, origin={}, topics={}, tags={ calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite }, points={5}]
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% Modélisation avec des suites - évolution
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Un club de sport compte en 2021, 300 membres. Chaque année, 80\% des membres renouvellent leur adhésion et on compte 80 nouveaux membres.
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\begin{enumerate}
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Binary file not shown.
Binary file not shown.
@@ -13,6 +13,7 @@
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\duree{1h}
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% Tags: calcul littéral, fractions, polynômes, représentation graphique, suite
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\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
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\xsimsetup{collect}
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