feat(1G_math): bilans sur les fonctions dérivées

1G_math/08_Fonction_derivee/1B_fonction_derivee.tex

@@ -37,8 +37,37 @@
             \hline
             $ax^n$ & & & $n\times a\times x^{n-1}$\\
             \hline
+            $\frac{1}{x}$ & & & \\
+            \hline
+            $\sqrt{x}$ & & & \\
+            \hline
+            $\mid x\mid$ & & & \\
+            \hline
         \end{tabular}
     \end{center}
 \end{propriete}
 
+\begin{propriete}[Linéarité de la dérivation]
+    Soient $u(x)$, $v(x)$ deux fonctions dérivables sur un interval $I$ et $\lambda$ une constante réelle
+    
+    Alors
+    \begin{itemize}
+        \item La fonction $f(x) = u(x)+v(x)$ est dérivable sur $I$ et 
+            $$f'(x) = u'(x) + v'(x)$$
+        \item La fonction $g(x) = \lambda u(x)$ est dérivable sur $I$ et
+            $$g'(x) = \lambda u'(x)$$
+    \end{itemize}
+\end{propriete}
+
+\begin{propriete}[Dérivabilité des polynômes]
+    Toute fonction polynôme est dérivable sur $\R$
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples:} On veut calculer la fonction dérivée de $f(x) = 5x^2 + 3x + 1$
+\begin{align*}
+    f'(x) &=&
+\end{align*}
+
+
+
 \end{document}

1G_math/08_Fonction_derivee/2B_variations.tex

@@ -0,0 +1,61 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction dérivée - Cours}
+\date{décembre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Lien entre sens de variations et signe de la dérivée}
+
+Connaître la dérivée et étudier son signe permet de connaître les variations de la fonction.
+
+\begin{propriete}[Variations]
+    Soit $f$ une fonction monotone et dérivable sur un interval $I$
+    \begin{itemize}
+        \item $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si pour tout $x\in I \qquad f'(x) \cdots 0$  
+        \item $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si pour tout $x\in I \qquad f'(x) \cdots 0$  
+        \item $f$ est constante sur $I$ si et seulement si pour tout $x\in I \qquad f'(x) \cdots 0$  
+    \end{itemize}
+\end{propriete}
+
+\begin{definition}[Extremum]
+    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
+
+    % ajouter un graphique pour représenter les situtations de min et max locaux et globaux
+    
+    \begin{itemize}
+        \item $f$ admet un \textbf{maximum local} en $a$ s'il existe un intervalle $J$ inclus dans $I$ tel que pour tout $x\in J$ on a $f(x) < f(a)$.
+        \item $f$ admet un \textbf{maximum global} en $a$ si pour tout $x\in I$ on a $f(x) < f(a)$.
+        \item $f$ admet un \textbf{minimum local} en $a$ s'il existe un intervalle $J$ inclus dans $I$ tel que pour tout $x\in J$ on a $f(x) > f(a)$.
+        \item $f$ admet un \textbf{minimum global} en $a$ si pour tout $x\in I$ on a $f(x) > f(a)$.
+    \end{itemize}
+    
+\end{definition}
+
+\begin{propriete}[Extremum local]
+    Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ qui n'est pas l'une des bornes de $I$.
+
+    Si $f$ atteint un \textbf{extremum local} en $a$ alors $f'(a) = 0$.
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Plan d'étude de variations d'une fonction}
+
+L'étude des variations d'une fonction se fera alors en suivant les étapes suivantes
+\begin{enumerate}
+    \item Dériver la fonction $f(x)$ pour connaître $f'(x)$
+    \item Étudier le signe de $f'(x)$ en résolvant l'inéquation $f'(x) > 0$
+    \item Reporter le signe de $f'(x)$ dans un tableau de signe.
+    \item Déduire les variations de $f(x)$ grace à la propriété précédente.
+\end{enumerate}
+
+\paragraph{Exemple:} étudier les variations et les extremums de $f(x) = 3x^2 - 15x + 10$.
+
+\afaire{Suivre le plan pour étudier les variations de $f$}
+\end{document}

1G_math/08_Fonction_derivee/exercises.tex

@@ -20,18 +20,80 @@
 \end{exercise}
 
 \begin{solution}
-    <++>
+    \begin{enumerate}
+        \item Tableau complété :
+            \begin{center}
+                \begin{tabular}{|c|*{7}{p{1cm}|}}
+                    \hline
+                    Abscisse (x) & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\
+                    \hline
+                    Image & 27 & 12 & 3 & 0 & 3 & 12 & 27\\
+                    \hline
+                    Nombre dérivé & -18 & -12 & -6 & 0 & 6 & 12 & 18\\
+                    \hline
+                \end{tabular}
+            \end{center}
+
+        \item Représentation graphique : placer les points $(-3; 27)$, $(-2; 12)$, $(-1; 3)$, $(0; 0)$, $(1; 3)$, $(2; 12)$, $(3; 27)$, tracer les tangentes avec les pentes correspondantes, puis relier les points pour obtenir une parabole.
+
+        \item Conjecture : le nombre dérivé en $x$ semble être égal à $6x$.
+
+        \item Soit $x \in \R$ et $h \neq 0$. Calculons le taux de variation :
+            \begin{align*}
+                \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \frac{3(x+h)^2 - 3x^2}{h} \\
+                &= \frac{3(x^2 + 2xh + h^2) - 3x^2}{h} \\
+                &= \frac{3x^2 + 6xh + 3h^2 - 3x^2}{h} \\
+                &= \frac{6xh + 3h^2}{h} \\
+                &= \frac{h(6x + 3h)}{h} \\
+                &= 6x + 3h
+            \end{align*}
+
+            Quand $h$ tend vers 0, on obtient $f'(x) = 6x$, ce qui confirme la conjecture.
+    \end{enumerate}
 \end{solution}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Fonctions dérivées}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ dérivation, fonction }, mode={\paperMode}]
     Soit $a$ un nombre réel.
     \begin{enumerate}
         \item Soit $f(x) = a$, calculer le taux de variation de $f(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $f(x)$ pour tout $x \in \R$.
-        \item Soit $g(x) = ax$, calculer le taux de variation de $f(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $f(x)$ pour tout $x \in \R$.
-        \item Soit $h(x) = ax^2$, calculer le taux de variation de $f(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $f(x)$ pour tout $x \in \R$.
+        \item Soit $g(x) = ax$, calculer le taux de variation de $g(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $g(x)$ pour tout $x \in \R$.
+        \item Soit $h(x) = ax^2$, calculer le taux de variation de $h(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $h(x)$ pour tout $x \in \R$.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    Soit $a$ un nombre réel.
+    \begin{enumerate}
+        \item Pour $f(x) = a$ :
+            \begin{align*}
+                \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \frac{a - a}{h} = \frac{0}{h} = 0
+            \end{align*}
+            
+            Donc $f'(x) = 0$ pour tout $x \in \R$.
+
+        \item Pour $g(x) = ax$ :
+            \begin{align*}
+                \frac{g(x+h) - g(x)}{h} &= \frac{a(x+h) - ax}{h} \\
+                &= \frac{ax + ah - ax}{h} \\
+                &= \frac{ah}{h} = a
+            \end{align*}
+            
+            Donc $g'(x) = a$ pour tout $x \in \R$.
+
+        \item Pour $h(x) = ax^2$ :
+            \begin{align*}
+                \frac{h(x+h) - h(x)}{h} &= \frac{a(x+h)^2 - ax^2}{h} \\
+                &= \frac{a(x^2 + 2xh + h^2) - ax^2}{h} \\
+                &= \frac{ax^2 + 2axh + ah^2 - ax^2}{h} \\
+                &= \frac{2axh + ah^2}{h} \\
+                &= \frac{h(2ax + ah)}{h} \\
+                &= 2ax + ah
+            \end{align*}
+            
+            Quand $h$ tend vers 0, on obtient $h'(x) = 2ax$ pour tout $x \in \R$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 
 \begin{exercise}[subtitle={Dériver des fonctions}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ dérivation, fonction }, mode={\trainMode}]
     Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
@@ -49,6 +111,21 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f'(x) = 6x + 5$
+            \item $g'(x) = -4x + 8$
+            \item $h'(x) = 3x^2 - 8x + 2$
+            \item $i'(x) = 15x^2 + 6x - 1$
+            \item $j'(x) = -3x^2 + 4x$
+            \item $k'(x) = 8x - 12$
+            \item $l'(x) = 6x^2 - 18x + 12$
+            \item $m'(x) = -9x^2 + 6$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Etude graphique}, step={2}, origin={frederic-junier.org}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
     Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ ainsi que les droites $d_2$, $d_3$, $d_4$ et $d_5$ tangentes à $\mathcal{C}_f$ en$B$, $D$, $C$ et $E$.
 
@@ -166,6 +243,33 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item L'équation de la tangente $d_1$ au point $A(-6; 3)$ est de la forme $y = f'(-6)(x - (-6)) + f(-6)$.
+            
+            En observant le graphique, la tangente en $A$ a une pente positive d'environ 4.
+            
+            Donc $d_1 : y = 4(x + 6) + 3 = 4x + 27$.
+
+        \item Lecture graphique des nombres dérivés (pentes des tangentes) :
+            \begin{itemize}
+                \item $f'(-6) = 4$ (tangente $d_1$ montante)
+                \item $f'(-4) = 0$ (tangente $d_2$ horizontale)
+                \item $f'(-2) = -2$ (tangente $d_4$ descendante)
+                \item $f'(2) = 0$ (tangente $d_3$ horizontale)
+                \item $f'(4) = 4$ (tangente $d_5$ montante)
+            \end{itemize}
+
+        \item Conjecture : quand le nombre dérivé est positif, la fonction est croissante ; quand il est négatif, la fonction est décroissante ; quand il est nul, la fonction admet un extremum local.
+
+        \item Sur $\intOF{-\infty}{-4}$, la courbe est croissante donc $f'(x) > 0$.
+
+        \item La fonction dérivée $f'$ s'annule en $-4$ et $2$, est positive avant $-4$ et après $2$, et négative entre $-4$ et $2$.
+            
+            C'est la première courbe qui représente $f'$ : une parabole qui s'annule en $-4$ et $2$, négative entre ces deux valeurs.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Etude de fonctions}, step={2}, origin={frederic-junier.org}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
     \begin{multicols}{2}
         Pour les fonctions ci-contre, suivre les consignes suivantes
@@ -185,6 +289,67 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Pour $f(x) = 3x^2 - 12x + 10$ :}
+            
+            $f'(x) = 6x - 12$
+            
+            Étude du signe : $f'(x) > 0 \equiv 6x - 12 > 0 \equiv x > 2$
+            
+            Tableau de signes et de variations :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1,$ f'(x) $/1, $ f(x) $/2}{$-\infty$, 2, $+\infty$}
+                    \tkzTabLine{, -, z, +,}
+                    \tkzTabVar{+/, -/-2, +/}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+            
+            Avec $f(2) = 3 \times 4 - 24 + 10 = -2$
+            
+            La fonction admet un minimum en $x = 2$ de valeur $f(2) = -2$.
+
+        \item \textbf{Pour $g(x) = -5x^2 + 10x - 1$ :}
+            
+            $g'(x) = -10x + 10$
+            
+            Étude du signe : $g'(x) > 0 \equiv -10x + 10 > 0 \equiv x < 1$
+            
+            Tableau de signes et de variations :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1,$ g'(x) $/1, $ g(x) $/2}{$-\infty$, 1, $+\infty$}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -,}
+                    \tkzTabVar{-/, +/4, -/}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+            
+            Avec $g(1) = -5 + 10 - 1 = 4$
+            
+            La fonction admet un maximum en $x = 1$ de valeur $g(1) = 4$.
+
+        \item \textbf{Pour $h(x) = -x^2 - 12x - 2$ :}
+            
+            $h'(x) = -2x - 12$
+            
+            Étude du signe : $h'(x) > 0 \equiv -2x - 12 > 0 \equiv x < -6$
+            
+            Tableau de signes et de variations :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1,$ h'(x) $/1, $ h(x) $/2}{$-\infty$, -6, $+\infty$}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -,}
+                    \tkzTabVar{-/, +/34, -/}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+            
+            Avec $h(-6) = -36 + 72 - 2 = 34$
+            
+            La fonction admet un maximum en $x = -6$ de valeur $h(-6) = 34$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Objets connectés}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
     Une entreprise fabrique et vend des objets connectés. Le bénéfice mensuel (en milliers d'euros) réalisé pour la production de $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction pour $x \in \intFF{0}{10}$.
     \[B(x) = -2x^2 + 16x - 10\]
@@ -303,6 +468,26 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item La fonction inverse est une hyperbole avec deux branches. Son domaine de définition est $\R^*$ (tous les réels sauf 0).
+
+        \item Soit $x \in \R^*$ et $h$ suffisamment petit pour que $x + h \neq 0$ :
+            \begin{align*}
+                \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \\
+                &= \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \\
+                &= \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} \\
+                &= \frac{-h}{h \cdot x(x+h)} \\
+                &= \frac{-1}{x(x+h)}
+            \end{align*}
+
+        \item Quand $h$ tend vers 0, on obtient :
+            \[f'(x) = \frac{-1}{x \times x} = -\frac{1}{x^2}\]
+            
+            La fonction dérivée de la fonction inverse est $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ pour tout $x \in \R^*$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Dérivation de la fonction racine carré}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\paperMode}]
     Soit $f(x) = \sqrt{x}$ la fonction racine carré.
     \begin{enumerate}
@@ -313,10 +498,36 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Dérivation de la fonction valeur absolue}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\paperMode}]
-    Soit $f(x) = \mid x \mid$ la fonction racine carré.
+\begin{solution}
     \begin{enumerate}
-        \item Tracer l'allure de la fonction racine carré et préciser son domaine de définition.
+        \item La fonction racine carrée est croissante, partant de l'origine. Son domaine de définition est $\R^+ = \intFF{0}{+\infty}$.
+
+        \item Soit $x \in \R^+$ et $h$ suffisamment petit pour que $x + h \geq 0$ :
+            \begin{align*}
+                \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}
+            \end{align*}
+            
+            On multiplie par l'expression conjuguée :
+            \begin{align*}
+                \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} &= \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\
+                &= \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
+                &= \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\
+                &= \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}
+            \end{align*}
+
+        \item Quand $h$ tend vers 0, on obtient :
+            \[f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
+            
+            La fonction dérivée de la fonction racine carrée est $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
+
+        \item Cette fonction dérivée n'est pas définie pour $x = 0$ (division par zéro). Le domaine de dérivabilité est donc $\R^*_+ = \intOO{0}{+\infty}$.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dérivation de la fonction valeur absolue}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\paperMode}]
+    Soit $f(x) = \mid x \mid$ la fonction valeur absolue.
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la fonction valeur absolue et préciser son domaine de définition.
         \item On suppose que $x>0$
             \begin{enumerate}
                 \item Pour tout $h$ suffisamment proche de 0 pour que x+h soit positif, calculer le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.
@@ -335,3 +546,45 @@
             \end{enumerate}
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item La fonction valeur absolue forme un « V » avec un sommet en $(0; 0)$. Son domaine de définition est $\R$.
+
+        \item Si $x > 0$ :
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour $h$ suffisamment proche de 0 avec $x + h > 0$, on a $|x+h| = x+h$ et $|x| = x$ :
+                    \begin{align*}
+                        \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \frac{|x+h| - |x|}{h} \\
+                        &= \frac{(x+h) - x}{h} \\
+                        &= \frac{h}{h} = 1
+                    \end{align*}
+
+                \item Donc $f'(x) = 1$ pour tout $x > 0$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item Si $x < 0$ :
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour $h$ suffisamment proche de 0 avec $x + h < 0$, on a $|x+h| = -(x+h)$ et $|x| = -x$ :
+                    \begin{align*}
+                        \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \frac{|x+h| - |x|}{h} \\
+                        &= \frac{-(x+h) - (-x)}{h} \\
+                        &= \frac{-x - h + x}{h} \\
+                        &= \frac{-h}{h} = -1
+                    \end{align*}
+
+                \item Donc $f'(x) = -1$ pour tout $x < 0$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item Si $x = 0$ :
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour $h > 0$ : $\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h| - 0}{h} = \dfrac{h}{h} = 1$
+
+                \item Pour $h < 0$ : $\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h| - 0}{h} = \dfrac{-h}{h} = -1$
+
+                \item Les limites à droite et à gauche sont différentes (1 et -1), donc la fonction n'est pas dérivable en 0.
+                    
+                    Le domaine de dérivabilité de la valeur absolue est $\R^* = \R \setminus \{0\}$.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}

1G_math/08_Fonction_derivee/index.rst

@@ -42,11 +42,29 @@ Commentaires
 Progression
 ===========
 
-Étape 1: Constructions des fonctions dérivée
---------------------------------------------
+.. image:: ./plan_de_travail.pdf
+   :height: 200px
+   :alt: Plan de travail
 
-Étape 2: Etude des variations de polynômes de degré 2
------------------------------------------------------
+Étape 1: Construction de la fonction dérivée
+---------------------------------------------
 
-Étape 3: Dérivation des fonctions inverse, racine et valeur absolue
--------------------------------------------------------------------
+Introduction de la notion de fonction dérivée à partir du nombre dérivé. Étude des propriétés de linéarité de la dérivation et calcul de dérivées de fonctions polynômes.
+
+.. image:: ./1B_fonction_derivee.pdf
+   :height: 200px
+   :alt: Bilan - Fonction dérivée
+
+Étape 2: Lien entre variations et signe de la dérivée
+------------------------------------------------------
+
+Étude du lien entre le signe de la fonction dérivée et les variations de la fonction. Introduction des notions d'extremum local et global. Mise en place d'un plan méthodologique pour étudier les variations d'une fonction.
+
+.. image:: ./2B_variations.pdf
+   :height: 200px
+   :alt: Bilan - Variations et dérivée
+
+Étape 3: Dérivation des fonctions inverse, racine carrée et valeur absolue
+---------------------------------------------------------------------------
+
+Extension de la dérivation aux fonctions de référence : fonction inverse, fonction racine carrée et fonction valeur absolue. Étude de la dérivabilité en 0 de la fonction racine carrée.

1G_math/08_Fonction_derivee/solutions.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 \author{Benjamin Bertrand}
 \title{Fonction dérivée - Solutions}
-\tribe{1G_math}
+\tribe{1G math}
 \date{décembre 2025}
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}

tools/style/base.sty

@@ -66,6 +66,12 @@
 \setsansfont{KpSans}
 \setmonofont{KpMono}
 
+% Redéfinition de \equiv après le chargement de kpfonts-otf
+\AtBeginDocument{%
+    \let\oldequiv\equiv
+    \let\equiv\Leftrightarrow
+}
+
 % \RequirePackage[nomath]{kpfonts}
 % \renewcommand*\familydefault{\sfdefault}
 % \RequirePackage[T1]{fontenc}

tools/style/shortcuts.sty

@@ -51,7 +51,7 @@
 \newcommand{\coefBino}[2]{\vectCoord{#1}{#2}}
 
 %% Logique
-\renewcommand{\equiv}{\Leftrightarrow}
+% La redéfinition de \equiv est maintenant dans base.sty après le chargement de kpfonts-otf
 
 %% Calculatrice
 \usepackage{listings}