feat(tstmg): exercices pour le chapitre sur la dérivation

Tstmg/04_Derivation_polynomes/1B.tex

@@ -0,0 +1,14 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Dérivation polynomes - Cours}
+\date{octobre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\end{document}

Tstmg/04_Derivation_polynomes/exercises.tex

@@ -0,0 +1,396 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Faire des tableaux}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Pour toutes les fonctions ci-dessous, tracer le tableau de signes puis le tableau de variations.
+
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.7, yscale=0.5]
+                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+                    ymin=-5,ymax=3,ystep=1]
+                    \tkzGrid
+                    \tkzAxeXY
+                    \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,2) (-4,-2) (-3, -3) (-2, -2) (-1, 0) (0, 0) (1, -2.5) (2, 0) (3, 2) (4, 1) (5, 2) };
+                    \draw (-4, 1) node [above left] {$\mathcal{C}_f$};
+                \end{tikzpicture}
+            \item  $h(x) = x^3 - 2x + 1$
+                \columnbreak
+            \item
+                \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
+                    % x sin(2x)
+                    \begin{axis}[
+                        axis lines = center,
+                        %grid = both,
+                        xlabel = {$x$},
+                        xtick distance=1,
+                        ylabel = {$g(x)$},
+                        ytick distance=1,
+                        legend pos = north west,
+                        ]
+                        \addplot[domain=-6:6,samples=80, color=red, very thick]{x*cos(deg(x)*pi/2)};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+            \item  $i(x) = -2(x-2)(x+1)(x+2)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Tableau de signes
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4.5, -1, 0, 2, 5}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +,}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+            Tableau de variations
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -3, 0.5, 1, 3, 4, 5}
+                    \tkzTabVar{ +/2, -/-3, +/0.25, -/-2.5, +/2, -/1, +/2}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+        \item Pour réaliser ces tableaux, il faut au préalable tracer le graphique de la fonction à la calculatrice.
+
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        axis lines = center,
+                        grid = both,
+                        xlabel = {$x$},
+                        ylabel = {$h(x)$},
+                        legend pos = north west,
+                        ]
+                        \addplot[domain=-2:2,samples=80, color=red, very thick]{x^3 - 2*x + 1};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                Tableau de signes
+                \begin{center}
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4.5, -1, 0, 2, 5}
+                        \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +,}
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{center}
+
+                Tableau de variations
+                \begin{center}
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=1,espcl=1]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -3, 0.5, 1, 3, 4, 5}
+                        \tkzTabVar{ +/2, -/-3, +/0.25, -/-2.5, +/2, -/1, +/2}
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{center}
+
+            \end{minipage}
+
+        \item Tableau de signes
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{-6, -5, -3, -1, 0, 1, 3, 5, 6}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, z, +, z, -, z, +, z, -,}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+            Tableau de variations
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ g(x) $/2}{-6, -4, -2, -0.5, 0.5, 2, 4, 6}
+                    \tkzTabVar{+/6, -/-4, +/2, -/-0.5, +/0.5, -/-2, +/4, -/-6}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+        \item Pour réaliser ces tableaux, il faut au préalable tracer le graphique de la fonction à la calculatrice.
+
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}[
+                        axis lines = center,
+                        grid = both,
+                        xlabel = {$x$},
+                        ylabel = {$i(x)$},
+                        ytick distance=5,
+                        legend pos = north west,
+                        ]
+                        \addplot[domain=-3:3,samples=80, color=red, very thick]{-2*(x-2)*(x+1)*(x+2)};
+                    \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+
+            \end{minipage}
+            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+                Tableau de signes
+                \begin{center}
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-3, -2, -1, 2, 3}
+                        \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -,}
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{center}
+
+                Tableau de variations
+                \begin{center}
+                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                        \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-3, -1.5, 0.8, 3}
+                        \tkzTabVar{ +/20, -/-2, +/13, -/-40}
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{center}
+            \end{minipage}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Tracer un graphique à partir de tableaux}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Tracer des graphiques qui correspondent aux tableaux suivants
+
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-3, 0, 1, 5 }
+                    \tkzTabVar{ +/4, -/2, +/3, -/-1}
+                \end{tikzpicture}
+            \item
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ z(t) $/1}{-5, -1, 3, 4, 5}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, - , }
+                \end{tikzpicture}
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
+                    \tkzInit[xmin=-3,xmax=5,xstep=1,
+                    ymin=-2,ymax=5,ystep=1]
+                    \tkzGrid
+                    \tkzAxeXY
+                    \draw [color=red, very thick] plot  coordinates {(-3, 4) (0, 2) (1, 3) (5, -1)};
+                \end{tikzpicture}
+            \item
+                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.45]
+                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+                    ymin=-2,ymax=2,ystep=1]
+                    \tkzGrid
+                    \tkzAxeXY
+                    \draw [color=red, very thick] plot [smooth]  coordinates {(-5, 1) (-1, 0) (0, -1) (3, 0) (3.5, 1) (4, 0) (5, -1)};
+                \end{tikzpicture}
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Vrai/Faux}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Ci-dessous, le tableau de signes de la fonction $f$ et le tableau de variations de $g$.
+
+    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ t $/1,$ f(t) $/1}{-5, -3, 1, 2, 5}
+            \tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, + , }
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+            \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ g(x) $/2}{-5, -1, 0, 3, 5 }
+            \tkzTabVar{ +/1, -/0, +/4, -/-1, +/2}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie, fausse ou si les informations à disposition sont suffisantes pour répondre à la question.
+    \begin{tasks}(2)
+        \task Entre -3 et 1, la fonction $f$ est positive.
+        \task Entre 0 et 5, la fonction $g$ est décroissante.
+        \task Sur l'intervalle $\intFF{-1}{0}$, $g$ est croissante.
+        \task Sur l'intervalle $\intFF{1}{2}$, $f$ est positive.
+
+        \task Sur l'intervalle $\intFF{1}{2}$, $g$ est croissante.
+        \task Sur l'intervalle $\intFF{-3}{-1}$, $f$ est croissante.
+        \task $g(1)$ est plus grand que $g(2)$.
+        \task $g(1)$ est plus grand que $g(4)$.
+
+        \task Le maximum de la fonction $g$ est 4.
+        \task Le minimum de la fonction $g$ est 0.
+        \task Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont $x \in \left\{ -3; 1 \right\}$
+        \task Les solutions de l'équation $f(x) \leq 0$ sont $x \in \intFF{-5}{-3}\cup \intFF{1}{2}$
+    \end{tasks}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{tasks}(2)
+        \task Vrai
+        \task Faux, elle est décroissante entre 0 et 3 puis croissante.
+
+        \task Vrai
+        \task Faux, elle est négative
+
+        \task Faux, elle est décroissante sur $\intFF{0}{3}$ donc sur $\intFF{1}{2}$
+        \task On ne peut pas savoir
+
+        \task Faux, la fonction est décroissante entre 0 et 3 donc $g(1) > g(2)$
+        \task On ne peut pas savoir
+
+        \task Vrai
+        \task Faux, c'est -1
+
+        \task Faux, il manque 2
+        \task Vrai
+    \end{tasks}
+\end{solution}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Démontrer un tableau de signe}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Grace à la résolution d'inéquations, tracer les tableaux de signes des fonctions suivantes
+    \begin{multicols}{2}
+    \begin{enumerate}
+        \item $f(x) = 3x + 1$
+        \item $f(x) = -4x + 1$
+        \item $f(x) = 4x - 16$
+        \item $f(x) = 3x - 9$
+    \end{enumerate}
+\end{multicols}
+\end{exercise}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Calculer des dérivées}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation}, mode={\trainMode}]
+    Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$
+            \item $g(x) = -2x^2 + 8x + 1$
+            \item $h(x) = x^3 - 4x^2 + 2x - 9$
+            \item $i(x) = 5x^3 + 3x^2 - x + 6$
+            \item $j(x) = -x^3 + 2x^2 - 5$
+            \item $k(x) = 4x^2 - 12x$
+            \item $l(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$
+            \item $m(x) = -3x^3 + 6x - 2$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f'(x) = 6x + 5$
+            \item $g'(x) = -4x + 8$
+            \item $h'(x) = 3x^2 - 8x + 2$
+            \item $i'(x) = 15x^2 + 6x - 1$
+            \item $j'(x) = -3x^2 + 4x$
+            \item $k'(x) = 8x - 12$
+            \item $l'(x) = 6x^2 - 18x + 12$
+            \item $m'(x) = -9x^2 + 6$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Etude des variations des polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Une entreprise fabrique et vend des objets connectés. Le bénéfice mensuel (en milliers d'euros) réalisé pour la production de $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction pour $x \in \intFF{0}{10}$.
+    \[B(x) = -2x^2 + 16x - 10\]
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $B(0)$ et $B(10)$.
+        \item Calculer la dérivée $B'(x)$ de la fonction $B$.
+        \item Étudier le signe de $B'(x)$ et dresser le tableau de signes.
+        \item En déduire le tableau de variations de $B$ sur $\intFF{0}{10}$.
+        \item Déterminer le nombre d'objets à produire pour maximiser le bénéfice mensuel.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item $B(0) = -2 \times 0^2 + 16 \times 0 - 10 = -10$
+
+            $B(10) = -2 \times 10^2 + 16 \times 10 - 10 = -200 + 160 - 10 = -50$
+
+        \item $B(x) = -2x^2 + 16x - 10$
+
+            $B'(x) = -2 \times 2x + 16 = -4x + 16$
+
+        \item On cherche quand $B'(x)$ est positif
+            \begin{align*}
+                -4x + 16 &> 0 \\
+                -4x &> -16 \\
+                x &< 4
+            \end{align*}
+
+            donc $B'(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à 4
+
+            Tableau de signes de $B'(x)$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1,$ B'(x) $/1}{0, 4, 10}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -,}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+        \item Tableau de variations de $B$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ B(x) $/2}{0, 4, 10}
+                    \tkzTabVar{-/-10, +/22, -/-50}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+            Avec $B(4) = -2 \times 4^2 + 16 \times 4 - 10 = -32 + 64 - 10 = 22$
+
+        \item Le bénéfice est maximal pour $x = 4$, c'est-à-dire pour une production de $4$ centaines d'objets, soit $\mathbf{400}$ objets.
+
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation du chiffre d'affaires}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\trainMode}]
+    Une boutique en ligne vend des casques audio. Le chiffre d'affaires mensuel (en milliers d'euros) en fonction du prix de vente $p$ (en euros) d'un casque est modélisé par la fonction pour $p \in \intFF{20}{100}$.
+    \[C(p) = -0.5p^2 + 50p - 800\]
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $C(20)$ et $C(100)$.
+        \item Calculer la dérivée $C'(p)$ de la fonction $C$.
+        \item Étudier le signe de $C'(p)$ et dresser le tableau de signes.
+        \item En déduire le tableau de variations de $C$ sur $\intFF{20}{100}$.
+        \item Quel prix de vente permet de maximiser le chiffre d'affaires mensuel ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item $C(20) = -0.5 \times 20^2 + 50 \times 20 - 800 = -200 + 1000 - 800 = 0$
+
+            $C(100) = -0.5 \times 100^2 + 50 \times 100 - 800 = -5000 + 5000 - 800 = -800$
+
+        \item $C(p) = -0.5p^2 + 50p - 800$
+
+            $C'(p) = -0.5 \times 2p + 50 = -p + 50$
+
+        \item On cherche quand $C'(p)$ est positif
+            \begin{align*}
+                -p + 50 &> 0 \\
+                -p &> -50 \\
+                p &< 50
+            \end{align*}
+
+            donc $C'(p)$ est positif quand $p$ est inférieur à 50
+
+            Tableau de signes de $C'(p)$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ p $/1,$ C'(p) $/1}{20, 50, 100}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -,}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+        \item Tableau de variations de $C$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ p $/1, $ C(p) $/2}{20, 50, 100}
+                    \tkzTabVar{-/0, +/450, -/-800}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+            Avec $C(50) = -0.5 \times 50^2 + 50 \times 50 - 800 = -1250 + 2500 - 800 = 450$
+
+        \item Le chiffre d'affaires est maximal pour un prix de vente de $\mathbf{50}$ euros par casque.
+
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+

Tstmg/04_Derivation_polynomes/index.rst

@@ -0,0 +1,42 @@
+Dérivation polynomes
+####################
+
+:date: 2025-10-07
+:modified: 2025-10-07
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: fonction, polynômes, dérivation
+:category: Tstmg
+:summary: Dérivations des polynomes et étude de variations
+
+
+Éléments du programme
+=====================
+
+Chapitre de rappels sur la dérivation de polynômes vues en première.
+
+Contenus
+--------
+
+- tableau de variations et de signes
+- Dérivation
+- Etude des variations d'un polynômes grace à la dérivée
+
+Capacités attendues
+-------------------
+
+- Lire un tableau de signe et de variations
+- Construire un tableau de signes à partir de la résolution d'inéquations
+- Dériver un polynôme
+- Étudier le signe de la dérivé pour en déduire les variations
+
+Progression
+===========
+
+Étape 1: Va et viens entre graphique et les tableaux
+----------------------------------------------------
+
+Étape 2: Dérivation
+-------------------
+
+Étape 3: Etude des variations d'un polynôme
+-------------------------------------------

Tstmg/04_Derivation_polynomes/plan_de_travail.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.18}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Dérivation polynomes - Plan de travail}
+\tribe{Tstmg}
+\date{octobre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section{Tableaux et graphiques}
+
+\listsectionexercises
+
+\section{Dérivation et extremum}
+
+\listsectionexercises
+
+
+\bigskip
+\hline
+\bigskip
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+
+\end{document}

Tstmg/04_Derivation_polynomes/solutions.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\usetikzlibrary{shapes.geometric}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Dérivation polynomes - Solutions}
+\tribe{Tstmg}
+\date{octobre 2025}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    exercise/print=false,
+    solution/print=true,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\input{exercises.tex}
+%\printcollection{banque}
+%\printsolutions{exercises}
+
+\end{document}