feat(2nd): sequence sur le calcul littéral
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\begin{exercise}[subtitle={Réduire - technique}, step={1}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
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Réduire les expressions suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $A = - 6x - 7 + 10x + 3$
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\item $B = - 4t - 3 - 10t - 7t$
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\item $C = - 8t - 4 - 3t + 8t$
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\item $D = 4x + 5 - 4x - 9$
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\item $E = - 7t + 9 + 2t - 9 - 4t$
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\item $F = \dfrac{- 9}{9} + 9a + 4a + 8$
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\item $G = 6x^{2} + 4 - 2x^{2} + 4 - 5x^{2}$
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\item $H = - 9x - 10 - 3x^{2} + 5 - 4x^{2}$
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\item $I = - 9x - 5 + 7x^{2} + 9x + 9x^{2}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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A & = - 6x - 7 + 10x + 3 \\ & = - 6x - 7 + 10x + 3 \\ & = - 6x + 10x - 7 + 3 \\ & = (- 6 + 10) \times x - 4 \\ & = 4x - 4
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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B & = - 4t - 3 - 10t - 7t \\ & = - 4t - 3 + (- 10 - 7) \times t \\ & = - 4t - 3 - 17t \\ & = - 4t - 17t - 3 \\ & = (- 4 - 17) \times t - 3 \\ & = - 21t - 3
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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C & = - 8t - 4 - 3t + 8t \\ & = - 8t - 4 + (- 3 + 8) \times t \\ & = - 8t - 4 + 5t \\ & = - 8t + 5t - 4 \\ & = (- 8 + 5) \times t - 4 \\ & = - 3t - 4
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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D & = 4x + 5 - 4x - 9 \\ & = 4x + 5 - 4x - 9 \\ & = 4x - 4x + 5 - 9 \\ & = (4 - 4) \times x - 4 \\ & = 0x - 4 \\ & = - 4
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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E & = - 7t + 9 + 2t - 9 - 4t \\ & = - 7t + 9 + (2 - 4) \times t - 9 \\ & = - 7t + 9 - 9 - 2t \\ & = (- 7 - 2) \times t + 0 \\ & = - 9t
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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F & = \dfrac{- 9}{9} + 9a + 4a + 8 \\ & = 9a + \dfrac{- 9}{9} + 4a + 8 \\ & = 9a + 4a + \dfrac{- 9}{9} + 8 \\ & = (9 + 4) \times a + \dfrac{- 9}{9} + \dfrac{8}{1} \\ & = 13a + \dfrac{- 9}{9} + \dfrac{8 \times 9}{1 \times 9} \\ & = 13a + \dfrac{- 9}{9} + \dfrac{72}{9} \\ & = 13a + \dfrac{- 9}{9} + \dfrac{72}{9} \\ & = 13a + \dfrac{- 9 + 72}{9} \\ & = 13a + \dfrac{63}{9}
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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G & = 6x^{2} + 4 - 2x^{2} + 4 - 5x^{2} \\ & = 6x^{2} + 4 + (- 2 - 5) \times x^{2} + 4 \\ & = 6x^{2} + 4 + 4 - 7x^{2} \\ & = (6 - 7) \times x^{2} + 8 \\ & = - x^{2} + 8
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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H & = - 9x - 10 - 3x^{2} + 5 - 4x^{2} \\ & = - 3x^{2} - 9x - 10 + 5 - 4x^{2} \\ & = - 3x^{2} - 4x^{2} - 9x - 10 + 5 \\ & = (- 3 - 4) \times x^{2} - 9x - 5 \\ & = - 7x^{2} - 9x - 5
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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I & = - 9x - 5 + 7x^{2} + 9x + 9x^{2} \\ & = 7x^{2} - 9x - 5 + 9x + 9x^{2} \\ & = 7x^{2} + 9x^{2} - 9x + 9x - 5 \\ & = (7 + 9) \times x^{2} + (- 9 + 9) \times x - 5 \\ & = 16x^{2} - 5
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Développer 1 - technique}, step={2}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
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Développer puis réduire les expressions suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $A = - 6(3x - 7)$
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\item $B = - 6(- 7 + 3t)$
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\item $C = t(7 - 5t)$
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\item $D = 10x(4x + 7)$
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\item $E = - 3x(- 5x - 4)$
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\item $F = \dfrac{2}{10} \times x(2x + 9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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A & = - 6(3x - 7) \\ & = - 6 \times 3x - 6(- 7) \\ & = - 6 \times 3 \times x + 42 \\ & = - 18x + 42
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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||||
B & = - 6(- 7 + 3t) \\ & = - 6 \times 3t - 6(- 7) \\ & = - 6 \times 3 \times t + 42 \\ & = - 18t + 42
|
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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C & = t(7 - 5t) \\ & = t \times - 5t + t \times 7 \\ & = - 5t^{2} + 7t
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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D & = 10x(4x + 7) \\ & = 10x \times 4x + 10x \times 7 \\ & = 10 \times 4 \times x^{1 + 1} + 7 \times 10 \times x \\ & = 40x^{2} + 70x
|
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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E & = - 3x(- 5x - 4) \\ & = - 3x \times - 5x - 3x(- 4) \\ & = - 3(- 5) \times x^{1 + 1} - 4(- 3) \times x \\ & = 15x^{2} + 12x
|
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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F & = \dfrac{2}{10} \times x(2x + 9) \\ & = \dfrac{2}{10} \times x \times 2x + \dfrac{2}{10} \times x \times 9 \\ & = \dfrac{2}{10} \times 2 \times x^{1 + 1} + 9 \times \dfrac{2}{10} \times x \\ & = \dfrac{2 \times 2}{10} \times x^{2} + \dfrac{9 \times 2}{10} \times x \\ & = \dfrac{4}{10} \times x^{2} + \dfrac{18}{10} \times x
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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||||
\end{multicols}
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||||
\end{solution}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Développer 2 - technique}, step={2}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
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Développer puis réduire les expressions suivantes
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\begin{multicols}{2}
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||||
\begin{enumerate}
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\item $A = (- 10x - 9)(3x - 5)$
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||||
\item $B = (8t - 6)(4t - 2)$
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||||
\item $C = (2x + 6)(- 6x - 7)$
|
||||
\item $D = (2x - 9)(2x + 8)$
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||||
\item $E = (- 3x + 2)^{2}$
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||||
\item $F = (8x + 5)^{2}$
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||||
\item $G = (8x + 5)^{2}$
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||||
\item $H = (\dfrac{10}{7} \times x - 10)^{2}$
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\end{enumerate}
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||||
\end{multicols}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{solution}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{align*}
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A & = (- 10x - 9)(3x - 5) \\ & = - 10x \times 3x - 10x(- 5) - 9 \times 3x - 9(- 5) \\ & = - 10 \times 3 \times x^{1 + 1} - 5(- 10) \times x - 9 \times 3 \times x + 45 \\ & = 50x - 27x - 30x^{2} + 45 \\ & = (50 - 27) \times x - 30x^{2} + 45 \\ & = - 30x^{2} + 23x + 45
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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B & = (8t - 6)(4t - 2) \\ & = 8t \times 4t + 8t(- 2) - 6 \times 4t - 6(- 2) \\ & = 8 \times 4 \times t^{1 + 1} - 2 \times 8 \times t - 6 \times 4 \times t + 12 \\ & = - 16t - 24t + 32t^{2} + 12 \\ & = (- 16 - 24) \times t + 32t^{2} + 12 \\ & = 32t^{2} - 40t + 12
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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C & = (2x + 6)(- 6x - 7) \\ & = 2x \times - 6x + 2x(- 7) + 6 \times - 6x + 6(- 7) \\ & = 2(- 6) \times x^{1 + 1} - 7 \times 2 \times x + 6(- 6) \times x - 42 \\ & = - 14x - 36x - 12x^{2} - 42 \\ & = (- 14 - 36) \times x - 12x^{2} - 42 \\ & = - 12x^{2} - 50x - 42
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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D & = (2x - 9)(2x + 8) \\ & = 2x \times 2x + 2x \times 8 - 9 \times 2x - 9 \times 8 \\ & = 2 \times 2 \times x^{1 + 1} + 8 \times 2 \times x - 9 \times 2 \times x - 72 \\ & = 16x - 18x + 4x^{2} - 72 \\ & = (16 - 18) \times x + 4x^{2} - 72 \\ & = 4x^{2} - 2x - 72
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||||
\end{align*}
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||||
\item
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\begin{align*}
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E & = (- 3x + 2)^{2} \\ & = (- 3x + 2)(- 3x + 2) \\ & = - 3x \times - 3x - 3x \times 2 + 2 \times - 3x + 2 \times 2 \\ & = - 3(- 3) \times x^{1 + 1} + 2(- 3) \times x + 2(- 3) \times x + 4 \\ & = - 6x - 6x + 9x^{2} + 4 \\ & = (- 6 - 6) \times x + 9x^{2} + 4 \\ & = 9x^{2} - 12x + 4
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\end{align*}
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||||
\item
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\begin{align*}
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F & = (8x + 5)^{2} \\ & = (8x + 5)(8x + 5) \\ & = 8x \times 8x + 8x \times 5 + 5 \times 8x + 5 \times 5 \\ & = 8 \times 8 \times x^{1 + 1} + 5 \times 8 \times x + 5 \times 8 \times x + 25 \\ & = 40x + 40x + 64x^{2} + 25 \\ & = (40 + 40) \times x + 64x^{2} + 25 \\ & = 64x^{2} + 80x + 25
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\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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G & = (8x + 5)^{2} \\ & = (8x + 5)(8x + 5) \\ & = 8x \times 8x + 8x \times 5 + 5 \times 8x + 5 \times 5 \\ & = 8 \times 8 \times x^{1 + 1} + 5 \times 8 \times x + 5 \times 8 \times x + 25 \\ & = 40x + 40x + 64x^{2} + 25 \\ & = (40 + 40) \times x + 64x^{2} + 25 \\ & = 64x^{2} + 80x + 25
|
||||
\end{align*}
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||||
\item
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\begin{align*}
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H & = (\dfrac{10}{7} \times x - 10)^{2} \\ & = (\dfrac{10}{7} \times x - 10)(\dfrac{10}{7} \times x - 10) \\ & = \dfrac{10}{7} \times x \times \dfrac{10}{7} \times x + \dfrac{10}{7} \times x(- 10) - 10 \times \dfrac{10}{7} \times x - 10(- 10) \\ & = \dfrac{10}{7} \times \dfrac{10}{7} \times x^{1 + 1} - 10 \times \dfrac{10}{7} \times x - 10 \times \dfrac{10}{7} \times x + 100 \\ & = \dfrac{- 10 \times 10}{7} \times x + \dfrac{- 10 \times 10}{7} \times x + \dfrac{10 \times 10}{7 \times 7} \times x^{2} + 100 \\ & = \dfrac{- 100}{7} \times x + \dfrac{100}{49} \times x^{2} + \dfrac{- 100}{7} \times x + 100 \\ & = 100 + \dfrac{100}{49} \times x^{2} + \dfrac{- 100}{7} \times x + \dfrac{- 100}{7} \times x \\ & = 100 + \dfrac{100}{49} \times x^{2} + (\dfrac{- 100}{7} + \dfrac{- 100}{7}) \times x \\ & = 100 + \dfrac{100}{49} \times x^{2} + \dfrac{- 100 - 100}{7} \times x \\ & = \dfrac{100}{49} \times x^{2} + \dfrac{- 200}{7} \times x + 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
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||||
BIN
2nd/02_Calcul_Litteral/3E_remplacer_dans_formules.pdf
Normal file
BIN
2nd/02_Calcul_Litteral/3E_remplacer_dans_formules.pdf
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12
2nd/02_Calcul_Litteral/bopytex_config.py
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12
2nd/02_Calcul_Litteral/bopytex_config.py
Normal file
@@ -0,0 +1,12 @@
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# bopytex_config.py
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from mapytex.calculus.random import expression as random_expression
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from mapytex import render
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import random
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random.seed(0) # Controlling the seed allows to make subject reproductible
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render.set_render("tex")
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direct_access = {
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||||
"random_expression": random_expression,
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}
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||||
BIN
2nd/02_Calcul_Litteral/dev_supplementaires.pdf
Normal file
BIN
2nd/02_Calcul_Litteral/dev_supplementaires.pdf
Normal file
Binary file not shown.
165
2nd/02_Calcul_Litteral/dev_supplementaires.tex
Normal file
165
2nd/02_Calcul_Litteral/dev_supplementaires.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,165 @@
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||||
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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||||
\usepackage{myXsim}
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||||
\usepackage{amsmath}
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||||
\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Développement et réduction - Exercices}
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\date{Septembre 2025}
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\xsimsetup{
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||||
solution/print = false
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}
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Réductions}]
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||||
Réduire les expressions suivantes
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\begin{multicols}{3}
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||||
\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
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\item $7x + 1 + 7x + 8$
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||||
\item $3x - 6 + 4x - 2$
|
||||
|
||||
\item $- 4x^{2} - 6 - 6x^{2} + 6 + 6x + 8$
|
||||
\item $- 1x + 3 - 8x + 1 - 9x - 2x$
|
||||
|
||||
\item $18x + 19 + 12x + 4x + 18$
|
||||
\item $- 3x - 7 + 3x + 9$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
A =& 7x + 1 + 7x + 8\\ =& 7x + 1 + 7x + 8\\ =& 7x + 7x + 1 + 8\\ =& (7 + 7) \times x + 9\\ =& 14x + 9
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
B =& 3x - 6 + 4x - 2\\ =& 3x - 6 + 4x - 2\\ =& 3x + 4x - 6 - 2\\ =& (3 + 4) \times x - 8\\ =& 7x - 8
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
C =& - 4x^{2} - 6 - 6x^{2} + 6 + 6x + 8\\ =& - 4x^{2} - 6x^{2} - 6 + 14 + 6x\\ =& (- 4 - 6) \times x^{2} + 6x - 6 + 14\\ =& - 10x^{2} + 6x + 8
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
D =& - 1x + 3 - 8x + 1 - 9x - 2x\\ =& - x + 3 + 1 - 8x + (- 9 - 2) \times x\\ =& (- 1 - 8) \times x + 4 - 11x\\ =& - 9x + 4 - 11x\\ =& - 9x - 11x + 4\\ =& (- 9 - 11) \times x + 4\\ =& - 20x + 4
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
E =& 18x + 19 + 12x + 4x + 18\\ =& 18x + 19 + (12 + 4) \times x + 18\\ =& 18x + 19 + 18 + 16x\\ =& (18 + 16) \times x + 37\\ =& 34x + 37
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
F =& - 3x - 7 + 3x + 9\\ =& - 3x - 7 + 3x + 9\\ =& - 3x + 3x - 7 + 9\\ =& (- 3 + 3) \times x + 2\\ =& 0x + 2\\ =& 2
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Simple développement}]
|
||||
Développer puis réduire les expressions suivantes
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
|
||||
\item $10(x + 3)$
|
||||
\item $- 3(- 5x - 6)$
|
||||
\item $10(6x + 4)$
|
||||
|
||||
\item $5x(8x + 10)$
|
||||
\item $- 10x(- 6x - 9) - 9$
|
||||
\item $8x - 3x(- 6x - 7)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
A =& 10(x + 3)\\ =& 10x + 10 \times 3\\ =& 10x + 30
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
B =& - 3(- 5x - 6)\\ =& - 3 \times - 5x - 3(- 6)\\ =& - 3(- 5) \times x + 18\\ =& 15x + 18
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
C =& 10(6x + 4)\\ =& 10 \times 6x + 10 \times 4\\ =& 10 \times 6 \times x + 40\\ =& 60x + 40
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
D =& 5x(8x + 10)\\ =& 5x \times 8x + 5x \times 10\\ =& 5 \times 8 \times x^{1 + 1} + 10 \times 5 \times x\\ =& 40x^{2} + 50x
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
E =& - 10x(- 6x - 9) - 9\\ =& - 10x \times - 6x - 10x(- 9) - 9\\ =& - 10(- 6) \times x^{1 + 1} - 9(- 10) \times x - 9\\ =& 60x^{2} + 90x - 9
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
F =& 8x - 3x(- 6x - 7)\\ =& 8x - 3x \times - 6x - 3x(- 7)\\ =& 8x - 3(- 6) \times x^{1 + 1} - 7(- 3) \times x\\ =& 8x + 21x + 18x^{2}\\ =& (8 + 21) \times x + 18x^{2}\\ =& 18x^{2} + 29x
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Double développement}]
|
||||
Développer puis réduire les expressions suivantes
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
|
||||
\item $(x + 4)(x - 4)$
|
||||
\item $(6x + 2)(8x - 9)$
|
||||
\item $(- 8x + 8)(- 2x + 2)$
|
||||
|
||||
\item $(6x + 9)(10x + 10)$
|
||||
\item $(7x - 8)^{2}$
|
||||
\item $(10x - 7)^{2}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
A =& (x + 4)(x - 4)\\ =& x \times x + x(- 4) + 4x + 4(- 4)\\ =& x^{2} - 16 + (- 4 + 4) \times x\\ =& x^{2} - 16
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
B =& (6x + 2)(8x - 9)\\ =& 6x \times 8x + 6x(- 9) + 2 \times 8x + 2(- 9)\\ =& 6 \times 8 \times x^{1 + 1} - 9 \times 6 \times x + 2 \times 8 \times x - 18\\ =& - 54x + 16x + 48x^{2} - 18\\ =& (- 54 + 16) \times x + 48x^{2} - 18\\ =& 48x^{2} - 38x - 18
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
C =& (- 8x + 8)(- 2x + 2)\\ =& - 8x \times - 2x - 8x \times 2 + 8 \times - 2x + 8 \times 2\\ =& - 8(- 2) \times x^{1 + 1} + 2(- 8) \times x + 8(- 2) \times x + 16\\ =& - 16x - 16x + 16x^{2} + 16\\ =& (- 16 - 16) \times x + 16x^{2} + 16\\ =& 16x^{2} - 32x + 16
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
D =& (6x + 9)(10x + 10)\\ =& 6x \times 10x + 6x \times 10 + 9 \times 10x + 9 \times 10\\ =& 6 \times 10 \times x^{1 + 1} + 10 \times 6 \times x + 9 \times 10 \times x + 90\\ =& 60x + 90x + 60x^{2} + 90\\ =& (60 + 90) \times x + 60x^{2} + 90\\ =& 60x^{2} + 150x + 90
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
E =& (7x - 8)^{2}\\ =& (7x - 8)(7x - 8)\\ =& 7x \times 7x + 7x(- 8) - 8 \times 7x - 8(- 8)\\ =& 7 \times 7 \times x^{1 + 1} - 8 \times 7 \times x - 8 \times 7 \times x + 64\\ =& - 56x - 56x + 49x^{2} + 64\\ =& (- 56 - 56) \times x + 49x^{2} + 64\\ =& 49x^{2} - 112x + 64
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
F =& (10x - 7)^{2}\\ =& (10x - 7)(10x - 7)\\ =& 10x \times 10x + 10x(- 7) - 7 \times 10x - 7(- 7)\\ =& 10 \times 10 \times x^{1 + 1} - 7 \times 10 \times x - 7 \times 10 \times x + 49\\ =& - 70x - 70x + 100x^{2} + 49\\ =& (- 70 - 70) \times x + 100x^{2} + 49\\ =& 100x^{2} - 140x + 49
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Double développement}]
|
||||
Développer puis réduire les expressions suivantes
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}[label={\Alph*=}]
|
||||
\item $2x + \dfrac{- 8}{7} - 8x + \dfrac{- 5}{7}$
|
||||
\item $8\left(- 4x + \dfrac{3}{5}\right)$
|
||||
\item $\left(\dfrac{- 5}{- 4} x - 4\right)\left(3x + \dfrac{8}{10}\right)$
|
||||
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
A =& 2x + \dfrac{- 8}{7} - 8x + \dfrac{- 5}{7}\\ =& 2x + \dfrac{- 8}{7} + \dfrac{- 5}{7} - 8x\\ =& (2 - 8) \times x + \dfrac{- 8 - 5}{7}\\ =& - 6x + \dfrac{- 13}{7}
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
B =& 8(- 4x + \dfrac{3}{5})\\ =& 8 \times - 4x + 8 \times \dfrac{3}{5}\\ =& 8(- 4) \times x + \dfrac{8 \times 3}{5}\\ =& - 32x + \dfrac{24}{5}
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\begin{flalign*}
|
||||
C =& \left(\dfrac{- 5}{- 4} \times x - 4\right)\left(3x + \dfrac{8}{10}\right)\\ =& \dfrac{- 5}{- 4} \times x \times 3x + \dfrac{- 5}{- 4} \times x \times \dfrac{8}{10} - 4 \times 3x - 4 \times \dfrac{8}{10}\\ =& \dfrac{- 5}{- 4} \times 3 \times x^{1 + 1} + \dfrac{8}{10} \times \dfrac{- 5}{- 4} \times x - 4 \times 3 \times x + \dfrac{- 4 \times 8}{10}\\ =& \dfrac{- 5 \times 3}{- 4} \times x^{2} + \dfrac{8\left(- 5\right)}{10\left(- 4\right)} \times x - 12x + \dfrac{- 32}{10}\\ =& \dfrac{- 40}{- 40} \times x + \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} - 12x + \dfrac{- 32}{10}\\ =& \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} + \dfrac{- 40}{- 40} \times x - 12x + \dfrac{- 32}{10}\\ =& \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} + \left(\dfrac{- 40}{- 40} - 12\right) \times x + \dfrac{- 32}{10}\\ =& \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} + \dfrac{- 32}{10} + \left(\dfrac{- 40}{- 40} + \dfrac{- 12}{1}\right) \times x\\ =& \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} + \dfrac{- 32}{10} + \left(\dfrac{- 40}{- 40} + \dfrac{- 12\left(- 40\right)}{1\left(- 40\right)}\right) \times x\\ =& \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} + \dfrac{- 32}{10} + \left(\dfrac{- 40}{- 40} + \dfrac{480}{- 40}\right) \times x\\ =& \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} + \dfrac{- 32}{10} + \dfrac{- 40 + 480}{- 40} \times x\\ =& \dfrac{- 15}{- 4} \times x^{2} + \dfrac{440}{- 40} \times x + \dfrac{- 32}{10}
|
||||
\end{flalign*}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\vfill
|
||||
\printexercise{exercise}{1,2,3,4}
|
||||
\vfill
|
||||
|
||||
\newpage
|
||||
|
||||
\printsolutionstype{exercise}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
156
2nd/02_Calcul_Litteral/exercises.tex
Normal file
156
2nd/02_Calcul_Litteral/exercises.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,156 @@
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Programmes de calculs}, step={1}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
|
||||
Voici 2 programmes de calculs.
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
\setlength\fboxsep{10pt}
|
||||
\Ovalbox{%
|
||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||||
\textbf{Programme A:} \\
|
||||
Choisir un nombre \\
|
||||
Multiplier par 4 \\
|
||||
Soustraire 1 \\
|
||||
Ajouter le nombre de départ \\
|
||||
Soustraire 2
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}
|
||||
\hfill
|
||||
\Ovalbox{%
|
||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||||
\textbf{Programme B:} \\
|
||||
Choisir un nombre \\
|
||||
Multiplier par 5 \\
|
||||
Enlever 3
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}
|
||||
|
||||
\medskip
|
||||
|
||||
Bob pense "\textit{Ces 2 programmes donnent toujours le même résultat.}".
|
||||
|
||||
Qu'en pensez vous?
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Vrai ou faux}, step={1}, origin={MEpC}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
|
||||
Pour chacune des affirmations, expliquer si elles sont vraies ou fausses.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Pour tous les nombres $x$, on a $4+3x = 7x$.
|
||||
\item Pour tous les nombres $y$, on a $y^2 = y$.
|
||||
\item Pour tous les nombres $z$, on a $2z + z - 8 = 3z - 7 - 1$.
|
||||
\item Pour tous les nombres $t$, on a $\dfrac{4t-8}{8} = 4t - 1$.
|
||||
\item Pour lous les nombres $t$, on a $3t + 3 + 5 = t + 2t + 4$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Aire de rectangles}, step={2}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
|
||||
Trouver deux façons différentes de calculer l'aire de ces rectangles
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw (0, 0) -- node [midway, below] {1}
|
||||
(1, 0) coordinate (A) -- node [midway, below] {$x$}
|
||||
(3, 0) -- node [midway, right] {3}
|
||||
(3, 2) --
|
||||
(1, 2) coordinate (B)--
|
||||
(0, 2) --
|
||||
cycle;
|
||||
\draw (A) -- (B);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\item
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw (0, 0) -- node [midway, below] {$4$}
|
||||
(3, 0) -- node [midway, right] {$2$}
|
||||
(3, 1.5) coordinate (A) -- node [midway, right] {$x$}
|
||||
(3, 2) --
|
||||
(0, 2) --
|
||||
(0, 1.5) coordinate (B)--
|
||||
cycle;
|
||||
\draw (A) -- (B);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\item
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw (0, 0) -- node [midway, below] {$x$}
|
||||
(1, 0) coordinate (A) -- node [midway, below] {$1$}
|
||||
(3, 0) -- node [midway, right] {$3$}
|
||||
(3, 1.5) coordinate (C) -- node [midway, right] {$x$}
|
||||
(3, 2) --
|
||||
(1, 2) coordinate (B)--
|
||||
(0, 2) --
|
||||
(0, 1.5) coordinate (D)--
|
||||
cycle;
|
||||
\draw (A) -- (B);
|
||||
\draw (C) -- (D);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\item
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw (0, 0) -- node [midway, below] {$6x$}
|
||||
(1, 0) coordinate (A) -- node [midway, below] {$3$}
|
||||
(3, 0) -- node [midway, right] {$2$}
|
||||
(3, 1.5) coordinate (C) -- node [midway, right] {$2x$}
|
||||
(3, 2) --
|
||||
(1, 2) coordinate (B)--
|
||||
(0, 2) --
|
||||
(0, 1.5) coordinate (D)--
|
||||
cycle;
|
||||
\draw (A) -- (B);
|
||||
\draw (C) -- (D);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Masse volumique}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
|
||||
La masse volumique $\rho$ (prononcer “rhô”) d’un échantillon de matière est une grandeur qui caractérise une espèce chimique. Elle dépend de son état (solide, liquide ou gaz) et de la température ambiante. Elle s’exprime en $g/L$. Elle est égale au quotient de sa masse $m$ (en g) par le volume $V$ (en L) qu’il occupe :
|
||||
\[
|
||||
\rho = \frac{m}{V}
|
||||
\]
|
||||
Sachant que la masse de $10 L$ d’acétone est de $\np{7840} g$, quelle est sa masse volumique ?
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Avec formulaire}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
|
||||
A l’aide du formulaire fourni, et sans calculatrice calculer les grandeurs suivantes, en s’assurant de respecter les unités du Système International données par le formulaire :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item La tension aux bornes d’une résistance de $4 \Omega$ parcourue par une intensité de $2,5 A$
|
||||
\item La période d’une oscillation à une fréquence de $5 Hz$
|
||||
\item La concentration en masse de $8 g$ de sel dans $4 L$ d’eau
|
||||
\item L’énergie cinétique d’une pomme d’une masse de $0,1 kg$ tombant d’un arbre à une vitesse de $2 m/s$
|
||||
\item La vitesse moyenne d’une balle ayant parcouru $35 m$ en $7 s$
|
||||
\item Le poids d’un wagon de train sur terre (où $g\approx 9,8N/kg$) d’une masse de $1000 kg$
|
||||
\item L’énergie électrique consommée en 60 s par un radiateur dont la puissance est de $2000 W$.
|
||||
\item La force de gravitation qu’exerce un potiron de $2 kg$ sur une citrouille de $4 kg$ situés à une distance de $4 m$ l’un de l’autre
|
||||
\item La masse volumique de l’éthanol, à partir d’un échantillon de $2 L$ d’éthanol, à $1,578 kg$
|
||||
\item L’énergie cinétique d’une prune d’une masse de $8 g$ tombant d’un arbre à une vitesse de $2 m/s$
|
||||
\item La vitesse moyenne d’un vélo ayant parcouru $22 km$ en 1 h et 6 min
|
||||
\item La quantité de matières équivalent à $602 \times 10^{23}$ atomes d’oxygènes
|
||||
\item Le poids d’un wagon TGV d’une masse de $400$ tonnes, sur terre
|
||||
\item La tension aux bornes d’une résistance de $4 c\Omega$ parcourue par une intensité de $2,5 mA$
|
||||
\item L’énergie électrique consommée en une journée par un radiateur dont la puissance est de $3 kW$, et qui fonctionne pendant 30\% du temps
|
||||
\item La concentration en masse de $0,2 kg$ de sucre dilués dans $0,1m^3$ d’eau
|
||||
\item La force de gravitation qu’exerce une courgette de $500 g$ sur une tomate de $100 g$ situées à une distance de $10 cm$ l’une de l’autre
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Transformation du formulaire}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
|
||||
A l’aide du formulaire fourni, calculer les grandeurs suivantes, en s’assurant de respecter les unités du Système International données par le formulaire. On commencera par manipuler la formule afin d’isoler la grandeur recherchée, avant de faire l’application numérique :
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item La résistance d’un conducteur ohmique traversé par un courant électrique d’une intensité de $160 mA$ et aux bornes duquel on mesure une tension de $4 V$
|
||||
\item La fréquence d’une oscillation qui a une période de $0,5 s$
|
||||
\item La masse de sel contenu dans $2,5 L$ d’eau à une concentration en masse de $9 g/L$
|
||||
\item La masse d’une pomme tombant d’un arbre à une vitesse de $2 m/s$ et ayant accumulé une énergie cinétique cinétique de $1 J$
|
||||
\item La masse d’un concombre sachant qu’une citrouille de $2000 g$ située à une distance de $1m$ de lui exerce sur lui une force de gravitation de $6, 67 \times 10^{-11}N$
|
||||
\item La puissance d’un lampe consommant $2400 J$ en $60 s$
|
||||
\item La vitesse à laquelle tombe d’un arbre une cerise de $5 g$ ayant accumulé une énergie cinétique de $10 mJ$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Emballage}, step={3}, origin={Classique}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\searchMode}]
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item J’ai une boîte de longueur $15cm$ et de largeur $8cm$, et qui contient $1L$ de sauce. J'ai eu la bonne idée d'enlever la partie supérieur, je ne peux donc pas la tourner.... Rentrera-t-elle dans mon frigo dont les étagères sont espacées de 20cm?
|
||||
\item Je veux emballer un livre de $20cm$ par $15cm$, d’une épaisseur de 3cm. Quelle sera la surface d’emballage visible dont j’aurais besoin ?
|
||||
\item Pour des contraintes environnementales, je ne dois pas dépasser $0.12m^2$ d’emballage. Quelle est l’épaisseur maximale que peut avoir le livre pour que je puisse l’emballer tout en respectant les normes environnementales ?
|
||||
\item On considère un parallélépipède rectangle de longueur $L$, de largeur $l$ et de hauteur $h$. On note son volume $V$ et l’aire totale de ses faces $A$. Noter toutes les formules que vous avez utilisé pour répondre aux questions précédentes.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
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2nd/02_Calcul_Litteral/formulaire.png
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BIN
2nd/02_Calcul_Litteral/formulaire.png
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2nd/02_Calcul_Litteral/index.rst
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@@ -0,0 +1,62 @@
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||||
Calcul Littéral
|
||||
###############
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||||
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:date: 2025-09-04
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||||
:modified: 2025-09-04
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||||
:authors: Benjamin Bertrand
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||||
:tags: calcul litteral
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||||
:category: 2nd
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||||
:summary: Manipulation d'expressions littérales
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Éléments du programme
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=====================
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Contenus
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||||
- Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques, en particulier sur des expressions fractionnaires.
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Capacités attendues
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-------------------
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||||
- Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.
|
||||
- Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple U = RI, d = vt, S = πr 2, V = abc, V = πr 2h), exprimer une variable en fonction des autres. Cas d’une relation du premier degré ax + by = c.
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Commentaires
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Progression
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===========
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Séquence menée sur la durée à raison de 1h par semaine sur la première période. Elle est constituée essentiellement d'exercices techniques à faire en autonomie et en groupe.
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||||
Plan de travail:
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||||
.. image:: ./plan_de_travail.pdf
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Plan de travail
|
||||
|
||||
Étape 1: Réduction
|
||||
------------------
|
||||
|
||||
Redécouverte de la réduction d'expressions puis entrainement technique.
|
||||
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||||
Étape 2: Développement
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||||
----------------------
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||||
|
||||
Redécouverte du développement d'expressions (sans les identités remarquables) puis entrainement technique.
|
||||
|
||||
Suite à ces deux étapes, une fiche d'exercice technique est mise à disposition avec la correction au bureau.
|
||||
|
||||
.. image:: ./dev_supplementaires.pdf
|
||||
:height: 200px
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:alt: Exercices techniques bonus
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Étape 3: Utilisation de formules
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Utilisation de formules pour calculer des grandeurs.
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BIN
2nd/02_Calcul_Litteral/plan_de_travail.pdf
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2nd/02_Calcul_Litteral/plan_de_travail.pdf
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2nd/02_Calcul_Litteral/plan_de_travail.tex
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55
2nd/02_Calcul_Litteral/plan_de_travail.tex
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@@ -0,0 +1,55 @@
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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Calcul littéral - Plan de travail}
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\tribe{2nd}
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\date{septembre 2025}
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\pagestyle{empty}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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% Résumé
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\smallskip
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Savoir-faire de la séquence:
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\begin{itemize}
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\item Exemples simples de calcul sur des expressions algébriques, en particulier sur des expressions fractionnaires.
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\item Effectuer des calculs numériques ou littéraux mettant en jeu des puissances, des racines carrées, des écritures fractionnaires.
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\item Sur des cas simples de relations entre variables (par exemple U = RI, d = vt, S = πr 2, V = abc, V = πr 2h), exprimer une variable en fonction des autres.
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\end{itemize}
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\section{Réduction}
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\listsectionexercises
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\section{Développement}
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\listsectionexercises
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\section{Évaluer une expression}
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\listsectionexercises
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\smallskip
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\input{exercises.tex}
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\input{1_exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.5]{./formulaire.png}
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\end{center}
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\end{document}
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29
2nd/02_Calcul_Litteral/solutions.tex
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29
2nd/02_Calcul_Litteral/solutions.tex
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@@ -0,0 +1,29 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usetikzlibrary{shapes.geometric}
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||||
\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Calcul littéral - Solutions}
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\tribe{2nd}
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\date{septembre 2022}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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exercise/print=false,
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solution/print=true,
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}
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\pagestyle{empty}
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||||
\begin{document}
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||||
\maketitle
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\input{exercises.tex}
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\input{1_exercises.tex}
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%\printcollection{banque}
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%\printsolutions{exercises}
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||||
\end{document}
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106
2nd/02_Calcul_Litteral/tpl_exercises.tex
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106
2nd/02_Calcul_Litteral/tpl_exercises.tex
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@@ -0,0 +1,106 @@
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Réduire - technique}, step={1}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
|
||||
Réduire les expressions suivantes
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||||
\Block{
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||||
set reduction = {
|
||||
"A": random_expression("{a}x + {b} + {c}x + {d}", [], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"B": random_expression("{a}t + {b} + {c}t + {d}t", [], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"C": random_expression("{a}t + {b} + {c}t + {d}t", [], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"D": random_expression("{a}x + {b} + {c}x + {d}", ["a+c==0"], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"E": random_expression("{a}t + {b} + {c}t + {d} + {e}t", ["b+d==0"], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"F": random_expression("{a}/{k} + {b}a + {c}a + {d}", [], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"G": random_expression("{a}x^2 + {b} + {c}x^2 + {d} + {e}x^2", [], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"H": random_expression("{a}x + {b} + {c}x^2 + {d} + {e}x^2", [], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"I": random_expression("{a}x + {b} + {c}x^2 + {d}x + {e}x^2", ["a+d==0"], global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for (l, e) in reduction.items()
|
||||
\item $\Var{l} = \Var{e}$
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for (l, e) in reduction.items()
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Var{l} & = \Var{e.simplify().explain() | join(' \\\\ & = ')}
|
||||
\end{align*}
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Développer 1 - technique}, step={2}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
|
||||
Développer puis réduire les expressions suivantes
|
||||
\Block{
|
||||
set reduction = {
|
||||
"A": random_expression("{a}({c}x + {d})", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"B": random_expression("{a}({b} + {c}t)", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"C": random_expression("t({b} + {c}t)", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"D": random_expression("{a}x({b}x + {c})", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"E": random_expression("{a}x({b}x + {c})", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"F": random_expression("{a}/{d}x({b}x + {c})", global_config={"min_max":(1, 10)}),
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for (l, e) in reduction.items()
|
||||
\item $\Var{l} = \Var{e}$
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for (l, e) in reduction.items()
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Var{l} & = \Var{e.simplify().explain() | join(' \\\\ & = ')}
|
||||
\end{align*}
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Développer 2 - technique}, step={2}, origin={D'anciennes choses}, topics={ Fraction Developpement Litteral }, tags={ Fractions, Developpement }, mode={\trainMode}]
|
||||
Développer puis réduire les expressions suivantes
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||||
\Block{
|
||||
set reduction = {
|
||||
"A": random_expression("({a}x + {b})({c}x + {d})", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"B": random_expression("({a}t + {b})({c}t + {d})", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"C": random_expression("({a}x + {b})({c}x + {d})", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"D": random_expression("({a}x + {b})({c}x + {d})", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"E": random_expression("({a}x + {b})^2", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"F": random_expression("({a}x + {b})^2", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"G": random_expression("({a}x + {b})^2", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
"H": random_expression("({a}/{c}x + {b})^2", global_config={"rejected":[1, 0, -1]}),
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for (l, e) in reduction.items()
|
||||
\item $\Var{l} = \Var{e}$
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
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||||
\begin{solution}
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
%- for (l, e) in reduction.items()
|
||||
\item
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Var{l} & = \Var{e.simplify().explain() | join(' \\\\ & = ')}
|
||||
\end{align*}
|
||||
%- endfor
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
|
||||
\end{solution}
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Reference in New Issue
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