Cours/2025-2026
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feat(1G_math): relecture de la séquence 4

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Bertrand Benjamin
2025-10-22 10:36:28 +02:00
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71
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/1B_taux_accroissement.tex
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@@ -1,71 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Nombre dérivé et tangente - Cours}
\date{novembre 2022}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Taux d'accroissement}
\begin{definition}[Taux d'accroissement]
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Soit $f$ une fonction, $a$ et $b$ deux nombres.
\textbf{Le taux d'accroissement} de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ se calcule par
\[
\frac{f(b) - f(a)}{b-a}
\]
\bigskip
On interprète ce nombre comme la pente de la droite qui relie les points de la droite d'abscisse $a$ et $b$. Cette droite est appelé \textbf{corde}.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
grid= both,
xlabel = {$x$},
xtick distance=1,
ylabel = {$f(x)$},
ytick distance=1,
]
\addplot[domain=0:5,samples=20, color=red, very thick]{0.1*x^3 - 1.5*x + 1};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{definition}
\paragraph{Exemples}
\begin{itemize}
\item Calcul du taux d'accroissement entre $x = 1$ et $x = 4$ sur le graphique ci-dessus.
\vspace{2cm}
\item Soit $f(t) = 3t^2 + 2$ le taux d'accroissement entre $t=3$ et $t = 10$ est calculé:
\vspace{2cm}
\end{itemize}
\afaire{Traiter les exemples}
\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
\item Le taux d'accroissement est parfois nommé \textbf{taux de variations}.
\item En économie, quand la fonction $f$ représente les coûts, le taux d'accroissement est appelé \textbf{coût marginal}. Il permet de savoir quel sera le coût si l'on décide d'ajouter une unité.
\item En physique, quand la fonction $f$ représente la position, le taux d'accroissement est appelé \textbf{vitesse moyenne}.
\[
v_{moyenne} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p(t_2) - p(t_1)}{t_2 - t_1}
\]
\end{itemize}
\end{document}

BIN
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/1B_taux_de_variations.pdf
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2
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/1B_taux_de_variations.tex
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@@ -26,7 +26,7 @@
\bigskip
On interprète ce nombre comme la pente de la droite qui relie les points de la droite d'abscisse $a$ et $b$. Cette droite est appelée \textbf{corde}.
On interprète ce nombre comme la \textbf{pente} ou le \textbf{coefficient directeur} de la droite qui relie les points de la droite d'abscisse $a$ et $b$. Cette droite est appelé \textbf{corde}.
Pour exprimer le taux de variation d'une quantité $y$ par rapport à une quantité $x$, on peut utiliser la notation
\[

BIN
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/2B_tangente.pdf
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Binary file not shown.

BIN
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/3B_nombre_derive.pdf
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76
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/exercises.tex
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@@ -2,12 +2,12 @@
\noindent
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
On lance une balle et on décrit la hauteur ($h$ en m) en fonction du temps ($t$ en secondes) dans le graphique ci-contre
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Quelle est la hauteur de la balle après 5 s ?
\item Calculer la vitesse moyenne verticale entre $t=0$ et $t=4$.
\item Calculer la vitesse moyenne verticale entre $t=2$ et $t=10$.
\item Calculer la vitesse moyenne verticale entre $t=10$ et $t=16$.
\item Comment peut on déterminer graphiquement et sans calculs le signe de la vitesse moyenne?
\item Même question entre $t=10$ et $t=16$.
\item Relier les points de la courbe à l'abscisse $t=2$ et $t=10$. Retrouver le résultat de la question 3 par lecture graphique.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
@@ -143,7 +143,7 @@
\begin{exercise}[subtitle={Tangente}, step={2}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\searchMode}]
Dans cet exercice, nous allons étudier comment se comporte le taux d'accroissement et la corde quand on fixe un point et que l'on fait se rapprocher l'autre point. L'étude de ce comportement mènera au concept de tangente.
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Pour la fonction $f(x) = (x-3)^2 + 1$
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
@@ -163,7 +163,7 @@
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item On fixe le point $A$ qui est sur la courbe à l'abscisse 1. Repérer ce point sur le graphique. Quelle est la valeur de $f(1)$?
\item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 5. Calculer le taux de variations entre 1 et 5.
\item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 4. Calculer le taux de variations entre 1 et 4.
@@ -190,7 +190,7 @@
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item On fixe le point $A$ qui est sur la courbe à l'abscisse 1. Repérer ce point sur le graphique. Quelle est la valeur exacte de $f(1)$? $f(2)$?
\item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 5. Calculer le taux de variations entre 1 et 5.
\item Représenter la corde entre $A$ et le point d'abscisse 4. Calculer le taux de variations entre 1 et 4.
@@ -228,7 +228,7 @@
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Tracer des tangentes}, step={3}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
Tracer les tangentes aux points marqués sur les graphiques
Tracer les tangentes aux points marqués sur les graphiques puis lire graphiquement le coefficient directeur des tangentes.
\pgfkeys{tikz/.cd}
\tikzset{tangent/.style={black,thick},
@@ -495,29 +495,33 @@ On lance un caillou du haut d'un pont. La distance parcourue par le caillou au b
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Calculer un nombre dérivé}, step={4}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x) = x^2$
\begin{enumerate}
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\end{enumerate}
\item Soit $f(x) = 2x^2+x$
\begin{enumerate}
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\end{enumerate}
\item (*) Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$
\begin{enumerate}
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $2$.
\end{enumerate}
\item (*) Soit la fonction $f:x\mapsto 2x - 1$ définie sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $a$ et pour tout $h\neq0$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est égal à 2.
\item En déduire la valeur du nombre dérivé $f'(a)$.
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ ainsi que la tangente à la courbe représentative de $f$ au point 1. Que penser du résultat de la question précédente?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Soit $f(x) = x^2$
\begin{enumerate}[leftmargin=0.2cm]
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\end{enumerate}
\columnbreak
\item Soit $f(x) = 2x^2+x$
\begin{enumerate}[leftmargin=0.2cm]
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\end{enumerate}
\columnbreak
\item (*) Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$
\begin{enumerate}[leftmargin=0.2cm]
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $2$.
\end{enumerate}
\item (*) Soit la fonction $f:x\mapsto 2x - 1$
\begin{enumerate}[leftmargin=0.2cm]
\item Démontrer que pour tout réel $a$ et pour tout $h\neq0$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est égal à 2.
\item En déduire la valeur du nombre dérivé $f'(a)$.
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ ainsi que la tangente à la courbe représentative de $f$ au point 1. Que penser du résultat de la question précédente?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}
@@ -573,7 +577,7 @@ On lance un caillou du haut d'un pont. La distance parcourue par le caillou au b
\begin{exercise}[subtitle={Nombre dérivé graphique et équation tangente}, step={5}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=2.4cm, y=1.2cm]
\begin{tikzpicture}[x=2.5cm, y=1.2cm]
% Clip pour ne pas dépasser du repère
\clip (-2.5,-6) rectangle (4.5,2);
@@ -678,27 +682,29 @@ On lance un caillou du haut d'un pont. La distance parcourue par le caillou au b
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Calculer équation tangente}, step={5}, origin={ma tête}, topics={ Nombre dérivé et tangente }, tags={ Dérivation }, mode={\trainMode}]
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[leftmargin=*]
\item Soit $f(x) = x^2$
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[leftmargin=0.2cm]
\item Calculer $f(2)$
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $2$ et $2+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer $f'(2)$
\item Déterminer l'équation de la tangente à $f$ en $x=2$.
\end{enumerate}
\item Soit $f(x) = 2x^2+4$
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[leftmargin=0.2cm]
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $0$ et $0+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $0$.
\item Déterminer l'équation de la tangente à $f$ en $x=0$.
\end{enumerate}
\item (*) Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[leftmargin=0.2cm]
\item Exprimer le taux de variations de la fonction $f$ entre $1$ et $1+h$ où $h\neq0$
\item Déterminer la valeur de $f'(1)$
\item En déduire l'équation de la tangente à $f$ en $x=1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{solution}

13
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/index.rst
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@@ -51,6 +51,9 @@ Solutions (vérifiées globalement -- à prendre avec esprit critique)
Étape 1: Taux de variations
---------------------------
- (Re)Découverte du taux de variations: exercices 1 et 2.
- Calculs de taux de variations: exercice 2
Bilan:
.. image:: ./1B_taux_de_variations.pdf
@@ -60,9 +63,14 @@ Bilan:
Étape 2: Limite du taux
-----------------------
Approche graphique de la tangente avec la limite des cordes: exercice 3
Étape 3: Tangente
-----------------
- Tracer une tangente
- Tracer une courbe avec points et tangentes
Bilan:
.. image:: ./2B_tangente.pdf
@@ -72,6 +80,8 @@ Bilan:
Étape 4: Nombre dérivé
----------------------
- Calcul du nombre dérivé: Exercice 7 et 8
Bilan:
.. image:: ./3B_nombre_derive.pdf
@@ -81,6 +91,9 @@ Bilan:
Étape 5: Équation de la tangente
--------------------------------
- Lecture graphique de nombres dérivés, calculs de taux de variations, tracer des tangentes: exercice 9
- Calculer l'équation de tangentes: exercice 10
Bilan:
.. image:: ./4B_equation_tangente.pdf

BIN
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/plan_de_travail.pdf
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Binary file not shown.

7
1G_math/04_Derivation_point_de_vue_local/plan_de_travail.tex
View File

@@ -21,7 +21,9 @@
% Résumé
Savoir-faire de la séquence
\medskip
\noindent
\textbf{Savoir-faire de la séquence}
\begin{itemize}
\item Calculer un taux de variation, la pente d’une sécante.
\item Interpréter le nombre dérivé en contexte : pente d’une tangente, vitesse instantanée, coût marginal…
@@ -51,8 +53,9 @@ Savoir-faire de la séquence
\listsectionexercises
\bigskip
\medskip
\hline
\medskip
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}