feat(2nd): révisions pour DS4

2nd/Evaluations/DS_2025-12-03/revisions.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+% Title Page
+\title{Fiche de révisions}
+\tribe{2nd}
+\date{DS du 03 décembre 2025}
+% Tags: Tableaux de signes, Tableaux de variations, vecteurs
+
+\DeclareExerciseCollection[step=1]{banque}
+\xsimsetup{collect}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\section*{Objectifs de révision}
+
+Cette fiche vous permet de réviser les notions essentielles pour le DS :
+\begin{itemize}
+    \item Tracer des tableaux de signes et de variations à partir d'un graphique
+    \item Tracer un graphique à partir de tableaux
+    \item Exploiter les informations données par les tableaux
+    \item Manipuler les vecteurs (somme, multiplication par un scalaire, relation de Chasles)
+\end{itemize}
+
+\input{revisions_exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\newpage
+\printsolutions[headings=true]
+
+
+\end{document}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:

2nd/Evaluations/DS_2025-12-03/revisions_exercises.tex

@@ -0,0 +1,299 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Du graphique aux tableaux - 1}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Voici le graphique d'une fonction $f$.
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-4,ymax=5,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY
+            \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,-2) (-4, 0) (-3, 2) (-2, 3) (-1, 2) (0, 0) (1, -1) (2, 0) (3, 2) (4, 3) (5, 2) };
+            \draw (4, 3) node [above right] {$\mathcal{C}_f$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer le tableau de signes de la fonction $f$.
+        \item Tracer le tableau de variations de la fonction $f$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Tableau de signes :}
+        
+        On repère les valeurs de $x$ où la courbe traverse l'axe des abscisses (où $f(x) = 0$). La courbe coupe l'axe en $x = -4$, $x = 0$ et $x = 2$. Ensuite, on détermine le signe de $f(x)$ dans chaque intervalle en observant si la courbe est au-dessus (positif) ou en-dessous (négatif) de l'axe des abscisses.
+
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ f(x) $/1}{-5, -4, 0, 2, 5}
+                \tkzTabLine{, -, z, +, z, -, z, +, }
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+
+        \item \textbf{Tableau de variations :}
+        
+        On repère les extremums (sommets) de la courbe, c'est-à-dire les points où la fonction change de sens de variation. On note les valeurs de $x$ correspondantes, puis on indique si la fonction est croissante (flèche montante) ou décroissante (flèche descendante) dans chaque intervalle, en précisant les valeurs de $f(x)$ aux extremums.
+
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ f(x) $/2}{-5, -2, 1, 4, 5}
+                \tkzTabVar{ -/-2, +/3, -/-1, +/3, -/2}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Du graphique aux tableaux - 2}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Voici le graphique d'une fonction $g$.
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-5,ymax=4,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY
+            \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5,3) (-4, 2) (-3, 0) (-2, -2) (-1, -3) (0, -2) (1, 0) (2, 1) (3, 0) (4, -2) (5, -4) };
+            \draw (4, -2) node [below right] {$\mathcal{C}_g$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer le tableau de signes de la fonction $g$.
+        \item Tracer le tableau de variations de la fonction $g$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Tableau de signes :}
+        
+        La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = -3$, $x = 1$ et $x = 3$. On détermine ensuite le signe dans chaque intervalle.
+
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}
+                \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ g(x) $/1}{-5, -3, 1, 3, 5}
+                \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, }
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+
+        \item \textbf{Tableau de variations :}
+        
+        On repère les extremums : un minimum local vers $x = -1$ avec $g(-1) = -3$ et un maximum local vers $x = 2$ avec $g(2) = 1$.
+
+        \begin{center}
+            \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+                \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ g(x) $/2}{-5, -1, 2, 5}
+                \tkzTabVar{ +/3, -/-3, +/1, -/-4}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{center}
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Du tableau de signes au graphique}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes}, mode={\trainMode}]
+    Voici le tableau de signes d'une fonction $h$.
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ h(x) $/1}{-5, -2, 1, 4, 5}
+            \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, }
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+
+    Tracer un graphique possible d'une fonction qui correspond à ce tableau de signes.
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    Le graphique doit respecter les contraintes suivantes :
+    \begin{itemize}
+        \item La courbe doit être au-dessus de l'axe des abscisses sur $\intOF{-5}{-2}$
+        \item La courbe doit couper l'axe en $x = -2$
+        \item La courbe doit être en-dessous de l'axe sur $\intOF{-2}{1}$
+        \item La courbe doit couper l'axe en $x = 1$
+        \item La courbe doit être au-dessus de l'axe sur $\intOF{1}{4}$
+        \item La courbe doit couper l'axe en $x = 4$
+        \item La courbe doit être en-dessous de l'axe sur $\intOF{4}{5}$
+    \end{itemize}
+
+    Voici un exemple de graphique possible :
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.5]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-3,ymax=3,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY
+            \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5, 2) (-3, 1) (-2, 0) (-1, -1.5) (0, -2) (1, 0) (2, 1.5) (3, 2) (4, 0) (5, -1.5)};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Du tableau de variations au graphique}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Voici le tableau de variations d'une fonction $k$.
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+            \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ k(x) $/2}{-5, -1, 2, 5}
+            \tkzTabVar{ +/3, -/-2, +/4, -/0}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+
+    Tracer un graphique possible d'une fonction qui correspond à ce tableau de variations.
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    Le graphique doit respecter les contraintes suivantes :
+    \begin{itemize}
+        \item En $x = -5$, la fonction vaut $3$
+        \item La fonction est décroissante de $x = -5$ à $x = -1$
+        \item En $x = -1$, la fonction atteint un minimum local de $-2$
+        \item La fonction est croissante de $x = -1$ à $x = 2$
+        \item En $x = 2$, la fonction atteint un maximum local de $4$
+        \item La fonction est décroissante de $x = 2$ à $x = 5$
+        \item En $x = 5$, la fonction vaut $0$
+    \end{itemize}
+
+    Voici un exemple de graphique possible :
+    
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.8, yscale=0.5]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
+            ymin=-3,ymax=5,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY
+            \draw [color=red, very thick] plot [smooth] coordinates {(-5, 3) (-3, 0) (-1, -2) (0, 0) (2, 4) (3, 2) (5, 0)};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Questions sur les tableaux}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Ci-dessous, le tableau de signes de la fonction $m$ et le tableau de variations de la fonction $n$.
+
+    \begin{minipage}{0.45\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+            \tkzTabInit[lgt=2,espcl=1]{$ x $/1,$ m(x) $/1}{-5, -2, 0, 3, 5}
+            \tkzTabLine{, +, z, -, z, +, z, -, }
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
+            \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ n(x) $/2}{-5, -2, 1, 4, 5}
+            \tkzTabVar{ -/-3, +/2, -/-1, +/3, -/1}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+
+    Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si les informations à disposition ne sont pas suffisantes pour répondre à la question.
+    \begin{tasks}(2)
+        \task Entre $-2$ et $0$, la fonction $m$ est négative.
+        \task Sur l'intervalle $\intFF{-2}{1}$, $n$ est croissante.
+        \task Sur l'intervalle $\intFF{0}{3}$, $m$ est positive.
+        \task Le maximum de la fonction $n$ est $3$.
+        
+        \task Les solutions de l'équation $m(x) = 0$ sont $x \in \left\{ -2; 0; 3 \right\}$.
+        \task $n(-3)$ est plus grand que $n(0)$.
+        \task Sur l'intervalle $\intFF{1}{4}$, $n$ est décroissante.
+        \task Les solutions de l'inéquation $m(x) \geq 0$ sont $x \in \intFF{-5}{-2}\cup \intFF{0}{3}$.
+    \end{tasks}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{tasks}(2)
+        \task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de signes, $m$ est négative entre $-2$ et $0$.
+
+        \task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de variations, $n$ est croissante entre $-2$ et $1$, donc sur $\intFF{-2}{1}$.
+
+        \task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de signes, $m$ est positive sur l'intervalle $\intOF{0}{3}$, donc aussi sur $\intFF{0}{3}$.
+
+        \task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de variations, le maximum de $n$ sur l'intervalle $\intFF{-5}{5}$ est $3$, atteint en $x = 4$.
+
+        \task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de signes, les solutions de $m(x) = 0$ sont $x \in \left\{ -2; 0; 3 \right\}$.
+
+        \task \textbf{On ne peut pas savoir.} Entre $-3$ et $0$, la fonction $n$ croît puis décroît. Sans connaître les valeurs exactes, on ne peut pas comparer $n(-3)$ et $n(0)$.
+
+        \task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de variations, $n$ est décroissante entre $1$ et $4$, donc sur $\intFF{1}{4}$.
+
+        \task \textbf{Vrai.} D'après le tableau de signes, $m(x) \geq 0$ sur $\intFF{-5}{-2}\cup \intFF{0}{3}$.
+    \end{tasks}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Relation de Chasles}, step={1}, origin={Création}, topics={Vecteurs hors repère}, tags={vecteurs}, mode={\trainMode}]
+    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
+        La figure ci-contre est composée de triangles équilateraux. À l'aide de la relation de Chasles, écrire les calculs de vecteurs suivants sous forme d'un seul vecteur.
+
+        \begin{multicols}{2}
+            \begin{enumerate}
+                \item  $\vect{AB} + \vect{BC}$
+                \item  $\vect{DE} + \vect{EF}$
+                
+                \item  $\vect{GH} + \vect{HI}$
+                \item  $\vect{AC} + \vect{CF}$
+                
+                \item  $\vect{AB} + \vect{BD} + \vect{DG}$
+                \item  $\vect{BC} + \vect{CE} + \vect{EH}$
+                
+                \item  $\vect{AI} - \vect{AH}$
+                \item  $\vect{DF} - \vect{BF}$
+                
+                \item  $2\vect{AB} + \vect{BC}$
+                \item  $\frac{1}{2}\vect{AI} + \vect{EH}$
+            \end{enumerate}
+        \end{multicols}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.35\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[scale=1.3]
+            % Définition des coordonnées pour les triangles équilatéraux
+            \coordinate (A) at (0,0);
+            \coordinate (B) at (1,0);
+            \coordinate (C) at (2,0);
+            \coordinate (D) at (0.5,0.866);
+            \coordinate (E) at (1.5,0.866);
+            \coordinate (F) at (2.5,0.866);
+            \coordinate (G) at (1,1.732);
+            \coordinate (H) at (2,1.732);
+            \coordinate (I) at (1.5,2.598);
+            
+            % Tracer les triangles
+            \draw[gray] (A) -- (B) -- (D) -- cycle;
+            \draw[gray] (B) -- (C) -- (E) -- cycle;
+            \draw[gray] (B) -- (D) -- (E) -- cycle;
+            \draw[gray] (D) -- (E) -- (G) -- cycle;
+            \draw[gray] (E) -- (F) -- (H) -- cycle;
+            \draw[gray] (E) -- (G) -- (H) -- cycle;
+            \draw[gray] (G) -- (H) -- (I) -- cycle;
+            
+            % Marquer les points
+            \foreach \point/\position in {A/below left, B/below, C/below right, D/left, E/right, F/right, G/left, H/right, I/above}
+                \node at (\point) [\position] {\point};
+            
+            \foreach \point in {A,B,C,D,E,F,G,H,I}
+                \fill (\point) circle (2pt);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    En utilisant la relation de Chasles $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$ :
+    
+    \begin{enumerate}
+        \item $\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC}$
+        
+        \item $\vect{DE} + \vect{EF} = \vect{DF}$
+        
+        \item $\vect{GH} + \vect{HI} = \vect{GI}$
+        
+        \item $\vect{AC} + \vect{CF} = \vect{AF}$
+        
+        \item $\vect{AB} + \vect{BD} + \vect{DG} = \vect{AG}$ (en utilisant Chasles : $\vect{AB} + \vect{BD} = \vect{AD}$ puis $\vect{AD} + \vect{DG} = \vect{AG}$)
+        
+        \item $\vect{BC} + \vect{CE} + \vect{EH} = \vect{BH}$ (en utilisant Chasles : $\vect{BC} + \vect{CE} = \vect{BE}$ puis $\vect{BE} + \vect{EH} = \vect{BH}$)
+        
+        \item $\vect{AI} - \vect{AH} = \vect{AI} + \vect{HA} = \vect{HI}$ (car $\vect{HA} + \vect{AI} = \vect{HI}$ par Chasles)
+        
+        \item $\vect{DF} - \vect{BF} = \vect{DF} + \vect{FB} = \vect{BD}$ (car $\vect{FB} + \vect{BD} = \vect{FD}$ par Chasles, donc $\vect{BD} = \vect{FD} + \vect{BF} = \vect{DF} - \vect{BF}$)
+        
+        \item $2\vect{AB} + \vect{BC}$ : Le vecteur $2\vect{AB}$ a la même direction que $\vect{AB}$ mais est deux fois plus long. Comme $\vect{AB} = \vect{BC}$ (côtés de triangles équilatéraux de même taille), on a $2\vect{AB} + \vect{BC} = 2\vect{AB} + \vect{AB} = 3\vect{AB} = 3\vect{BC}$. Ce vecteur va de $A$ jusqu'à un point situé 3 fois la longueur $AB$ vers la droite, donc $2\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AF}$ (car $AF = 3 \times AB$).
+        
+        \item $\frac{1}{2}\vect{AI} + \vect{EH}$ : Le vecteur $\frac{1}{2}\vect{AI}$ va de $A$ au milieu de $[AI]$. En observant la figure, le milieu de $[AI]$ se situe au niveau du point $E$ (même hauteur). Donc $\frac{1}{2}\vect{AI}$ nous amène à un point proche de $E$. En ajoutant $\vect{EH}$, on obtient un vecteur qui va vers $H$. Plus précisément, $\frac{1}{2}\vect{AI} + \vect{EH} = \vect{AE} + \vect{EH} = \vect{AH}$ (approximativement, selon la géométrie exacte des triangles).
+    \end{enumerate}
+\end{solution}