feat(1G_spec): correction suites

1G_EnsSci/03_suites_arithmetiques/exercises.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \begin{exercise}[subtitle={Carrés de Pierre}, step={1}, origin={}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, suite}, mode={\searchMode}]
     \begin{minipage}{ 0.45\textwidth }
     Pierre joue avec des mosaïques de couleur. Il dispose ses mosaïques pour obtenir des « carrés »
-Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabriquer n’importe quel « carré ». Comment l’aider ?
+Il voudrait savoir à l'avance combien de mosaïques il lui faut pour fabriquer n'importe quel « carré ». Comment l'aider ?
     \end{minipage}
     \hfill
     \begin{minipage}{ 0.5\textwidth }
@@ -24,6 +24,40 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
         \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Pour 150 textos, calculons le prix de chaque forfait :
+        \begin{itemize}
+            \item Forfait \textbf{Liberté} : $36$ \euro
+            \item Forfait \textbf{Zen} : $20 + 150 \times 0{,}05 = 20 + 7{,}5 = 27{,}5$ \euro
+            \item Forfait \textbf{Proche} : $150 \times 0{,}20 = 30$ \euro
+        \end{itemize}
+        Abdou doit choisir le forfait \textbf{Zen} qui est le moins cher.
+        
+        \item Pour 300 textos :
+        \begin{itemize}
+            \item Forfait \textbf{Liberté} : $36$ \euro
+            \item Forfait \textbf{Zen} : $20 + 300 \times 0{,}05 = 20 + 15 = 35$ \euro
+            \item Forfait \textbf{Proche} : $300 \times 0{,}20 = 60$ \euro
+        \end{itemize}
+        Roubouanti a fait le bon choix car le forfait \textbf{Liberté} est le moins cher pour 300 textos.
+        
+        \item Pour $n$ textos envoyés :
+        \begin{itemize}
+            \item Forfait \textbf{Liberté} : le prix est toujours de 36 \euro
+            \item Forfait \textbf{Zen} : le prix est $20 + 0{,}05n$ \euro
+            \item Forfait \textbf{Proche} : le prix est $0{,}20n$ \euro
+        \end{itemize}
+        
+        \item Le forfait \textbf{Liberté} devient plus intéressant que le forfait \textbf{Zen} quand :
+        \[36 < 20 + 0{,}05n \equiv 16 < 0{,}05n \equiv n > \dfrac{16}{0{,}05} = 320\]
+        
+        Le forfait \textbf{Liberté} devient plus intéressant que le forfait \textbf{Proche} quand :
+        \[36 < 0{,}20n \equiv n > \dfrac{36}{0{,}20} = 180\]
+        
+        Ainsi, le forfait \textbf{Liberté} est le plus intéressant à partir de 321 textos envoyés.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Modélisation par une suite arithmétique}, step={2}, origin={livre scolaire}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, suite }, mode={\trainMode}]
     \begin{enumerate}
@@ -38,6 +72,22 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item La charge de la barre suit la suite : 100 kg, 90 kg, 80 kg, 70 kg, etc.
+        
+        On observe que la différence entre deux termes consécutifs est constante : $90 - 100 = -10$, $80 - 90 = -10$, $70 - 80 = -10$.
+        
+        Oui, cette situation peut être modélisée par une suite arithmétique de premier terme $u(0) = 100$ et de raison $r = -10$.
+        
+        \item La réserve de noisettes suit : 156, 122, 86.
+        
+        Calculons les différences : $122 - 156 = -34$ et $86 - 122 = -36$.
+        
+        Les différences ne sont pas constantes, donc cette situation ne peut pas être modélisée par une suite arithmétique sur la durée de l'hiver.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Reconnaître une suite arithmétique}, step={2}, origin={livre scolaire}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, suite }, mode={\trainMode}]
    Les situations suivantes sont à croissance linéaire.
    \begin{enumerate}
@@ -46,6 +96,22 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
    \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item La population suit : 76, 70, 64, 58.
+        
+        La raison est $r = 70 - 76 = -6$ (on vérifie : $64 - 70 = -6$ et $58 - 64 = -6$).
+        
+        Le mois suivant, il y aura $58 + (-6) = 52$ chèvres.
+        
+        \item La quantité d'eau suit : 15 mm, 19 mm, 23 mm, 27 mm.
+        
+        La raison est $r = 19 - 15 = 4$ (on vérifie : $23 - 19 = 4$ et $27 - 23 = 4$).
+        
+        Dix minutes plus tard, la valeur relevée sera $27 + 4 = 31$ mm.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Reconnaître une suite arithmétique par son graphique}, step={2}, origin={livre scolaire}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, suite }, mode={\trainMode}]
     Pour chacune des représentations graphiques suivantes, déterminer si la suite représentée est arithmétique. Si oui, préciser son premier terme et sa raison.
 
@@ -106,6 +172,34 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Les points sont : $(0; 5)$, $(1; 20)$, $(2; 35)$, $(3; 50)$, $(4; 65)$.
+        
+        Les différences sont : $20 - 5 = 15$, $35 - 20 = 15$, $50 - 35 = 15$, $65 - 50 = 15$.
+        
+        La suite est arithmétique de premier terme $u(0) = 5$ et de raison $r = 15$.
+        
+        \item Les points sont : $(0; 10)$, $(1; 8)$, $(2; 5)$, $(3; 3)$, $(4; 1)$.
+        
+        Les différences sont : $8 - 10 = -2$, $5 - 8 = -3$, $3 - 5 = -2$, $1 - 3 = -2$.
+        
+        Les différences ne sont pas constantes, donc la suite n'est pas arithmétique.
+        
+        \item Les points sont : $(0; 110)$, $(1; 90)$, $(2; 70)$, $(3; 50)$, $(4; 30)$.
+        
+        Les différences sont : $90 - 110 = -20$, $70 - 90 = -20$, $50 - 70 = -20$, $30 - 50 = -20$.
+        
+        La suite est arithmétique de premier terme $u(0) = 110$ et de raison $r = -20$.
+        
+        \item Les points sont : $(0; 120)$, $(1; 90)$, $(2; 54)$, $(3; 27)$, $(4; 10)$.
+        
+        Les différences sont : $90 - 120 = -30$, $54 - 90 = -36$, $27 - 54 = -27$, $10 - 27 = -17$.
+        
+        Les différences ne sont pas constantes, donc la suite n'est pas arithmétique.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Transition démographique}, step={2}, origin={}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, tableur, programmation }, mode={\searchMode}]
     \begin{multicols}{2}
         \begin{doc}{ Population française entre 1950 et 1980 selon l'INSEE }
@@ -159,6 +253,28 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Le graphique montre une croissance quasi-linéaire de la population entre 1950 et 1980.
+        
+        \item On peut modéliser la population par une suite arithmétique. Entre 1950 et 1980 (30 ans), la population est passée de \np{41 647 258} à \np{53 731 387} habitants.
+        
+        L'augmentation moyenne par an est : 
+        \[\dfrac{53\,731\,387 - 41\,647\,258}{30} \approx 402\,804 \text{ habitants/an}\]
+        
+        En prenant 1950 comme année de référence ($n = 0$), on obtient le modèle :
+        \[p(n) = 41\,647\,258 + 402\,804 \times n\]
+        
+        Pour 1990 ($n = 40$) : $p(40) = 41\,647\,258 + 402\,804 \times 40 \approx 57\,759\,418$ habitants
+        
+        Pour 2020 ($n = 70$) : $p(70) = 41\,647\,258 + 402\,804 \times 70 \approx 69\,843\,538$ habitants
+        
+        \item L'estimation pour 2020 donne environ 69,8 millions d'habitants, alors que l'INSEE annonce 67,1 millions.
+        
+        Le modèle linéaire surestime la population car il ne prend pas en compte le ralentissement de la croissance démographique observé depuis les années 1980. Un modèle linéaire n'est donc pas adapté sur une période aussi longue.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Formule explicite}, step={3}, origin={}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, tableur, programmation }, mode={\trainMode}]
     Calculer les valeurs de $u(0)$, $u(1)$, $u(2)$ et $u(10)$ pour les suites suivantes puis reconnaître les paramètres et le sens de variation de ces suites arithmétiques
     \begin{multicols}{3}
@@ -170,6 +286,37 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item $u(n) = 2 + 3n$
+        \begin{itemize}
+            \item $u(0) = 2 + 3 \times 0 = 2$
+            \item $u(1) = 2 + 3 \times 1 = 5$
+            \item $u(2) = 2 + 3 \times 2 = 8$
+            \item $u(10) = 2 + 3 \times 10 = 32$
+        \end{itemize}
+        Suite arithmétique de premier terme $u(0) = 2$ et de raison $r = 3$. La suite est croissante.
+        
+        \item $u(n) = 5n - 10$
+        \begin{itemize}
+            \item $u(0) = 5 \times 0 - 10 = -10$
+            \item $u(1) = 5 \times 1 - 10 = -5$
+            \item $u(2) = 5 \times 2 - 10 = 0$
+            \item $u(10) = 5 \times 10 - 10 = 40$
+        \end{itemize}
+        Suite arithmétique de premier terme $u(0) = -10$ et de raison $r = 5$. La suite est croissante.
+        
+        \item $u(n) = \dfrac{n - 4}{2}$
+        \begin{itemize}
+            \item $u(0) = \dfrac{0 - 4}{2} = -2$
+            \item $u(1) = \dfrac{1 - 4}{2} = -\dfrac{3}{2}$
+            \item $u(2) = \dfrac{2 - 4}{2} = -1$
+            \item $u(10) = \dfrac{10 - 4}{2} = 3$
+        \end{itemize}
+        Suite arithmétique de premier terme $u(0) = -2$ et de raison $r = \dfrac{1}{2}$. La suite est croissante.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Formule de récurrence}, step={3}, origin={}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, tableur, programmation }, mode={\trainMode}]
     Calculer les valeurs de $u(0)$, $u(1)$, $u(2)$ et $u(10)$ pour les suites suivantes puis reconnaître les paramètres et le sens de variation de ces suites arithmétiques
     \begin{multicols}{2}
@@ -181,6 +328,36 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item $u(0) = 4$ et $u(n+1) = u(n) + 5$
+        \begin{itemize}
+            \item $u(0) = 4$
+            \item $u(1) = u(0) + 5 = 4 + 5 = 9$
+            \item $u(2) = u(1) + 5 = 9 + 5 = 14$
+            \item $u(10) = u(0) + 10 \times 5 = 4 + 50 = 54$
+        \end{itemize}
+        Suite arithmétique de premier terme $u(0) = 4$ et de raison $r = 5$. La suite est croissante.
+        
+        \item $u(0) = -7$ et $u(n+1) = u(n) + 10$
+        \begin{itemize}
+            \item $u(0) = -7$
+            \item $u(1) = u(0) + 10 = -7 + 10 = 3$
+            \item $u(2) = u(1) + 10 = 3 + 10 = 13$
+            \item $u(10) = u(0) + 10 \times 10 = -7 + 100 = 93$
+        \end{itemize}
+        Suite arithmétique de premier terme $u(0) = -7$ et de raison $r = 10$. La suite est croissante.
+        
+        \item $u(0) = 1$ et $u(n+1) = u(n) - 3$
+        \begin{itemize}
+            \item $u(0) = 1$
+            \item $u(1) = u(0) - 3 = 1 - 3 = -2$
+            \item $u(2) = u(1) - 3 = -2 - 3 = -5$
+            \item $u(10) = u(0) + 10 \times (-3) = 1 - 30 = -29$
+        \end{itemize}
+        Suite arithmétique de premier terme $u(0) = 1$ et de raison $r = -3$. La suite est décroissante.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Placement à taux fixe}, step={4}, origin={}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, tableur, programmation }, mode={\trainMode}]
     Guillaume décide de faire un placement à intérêts simples afin de prévoir l'achat d'une moto à 13000 €. Il place 9500 € en janvier 2022. À chaque début de mois, son capital est augmenté de 1,1\% du montant initial.
@@ -193,6 +370,30 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculons les premières valeurs :
+        \begin{itemize}
+            \item $p(0) = 9\,500$ \euro (capital initial)
+            \item $p(1) = 9\,500 + 9\,500 \times 0{,}011 = 9\,500 + 104{,}5 = 9\,604{,}5$ \euro
+            \item $p(2) = 9\,604{,}5 + 9\,500 \times 0{,}011 = 9\,604{,}5 + 104{,}5 = 9\,709$ \euro
+        \end{itemize}
+        
+        \item À chaque mois, le capital augmente de $9\,500 \times 0{,}011 = 104{,}5$ \euro.
+        
+        La suite $p(n)$ est donc arithmétique de premier terme $p(0) = 9\,500$ et de raison $r = 104{,}5$.
+        
+        Ainsi, pour tout $n$ : $p(n) = 9\,500 + 104{,}5 \times n = 104{,}5n + 9\,500$.
+        
+        \item Guillaume pourra acheter sa moto quand $p(n) \geq 13\,000$ :
+        \[104{,}5n + 9\,500 \geq 13\,000\]
+        \[104{,}5n \geq 3\,500\]
+        \[n \geq \dfrac{3\,500}{104{,}5} \approx 33{,}5\]
+        
+        Guillaume pourra acheter sa moto au bout de 34 mois.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Remboursement}, step={4}, origin={}, topics={ Modélisation Discrète }, tags={ modélisation, tableur, programmation }, mode={\trainMode}]
     Maggie emprunte 50 € à son meilleur ami Axel. Pour le rembourser, elle décide de lui donner 10 € le lundi suivant, puis, chaque lundi, de lui donner 2 €.
     \begin{enumerate}
@@ -201,3 +402,27 @@ Il voudrait savoir à l’avance combien de mosaïques il lui faut pour fabrique
         \item Au bout de combien de temps Maggie aura-t-elle remboursé Axel intégralement ? 
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item Notons $r(n)$ la somme remboursée au bout de $n$ semaines après le premier versement de 10 \euro.
+        
+        On a :
+        \begin{itemize}
+            \item $r(0) = 10$ \euro (premier versement)
+            \item $r(1) = 10 + 2 = 12$ \euro
+            \item $r(2) = 12 + 2 = 14$ \euro
+        \end{itemize}
+        
+        Chaque semaine, Maggie rembourse 2 \euro{} de plus. La suite $r(n)$ est donc arithmétique de premier terme $r(0) = 10$ et de raison $r = 2$.
+        
+        \item Au bout de quatre semaines : $r(4) = 10 + 4 \times 2 = 10 + 8 = 18$ \euro.
+        
+        \item Maggie aura remboursé intégralement quand $r(n) = 50$ :
+        \[10 + 2n = 50\]
+        \[2n = 40\]
+        \[n = 20\]
+        
+        Maggie aura remboursé Axel intégralement au bout de 20 semaines après le premier versement de 10 \euro.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}

1G_EnsSci/03_suites_arithmetiques/solutions.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 \author{Benjamin Bertrand}
 \title{suites arithmétiques - Solutions}
-\tribe{1G_EnsSci}
+\tribe{1G EnsSci}
 \date{septembre 2025}
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}