feat(1G_math): seq fonction dérivée

1G_math/08_Fonction_derivee/1B_fonction_derivee.tex

@@ -0,0 +1,44 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction dérivée - Cours}
+\date{décembre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Fonction dérivée}
+
+\begin{definition}[Fonction dérivée]
+    Soit $f$ une fonction dérivable sur un interval $I$.
+
+    La fonction qui associe $x \in I$ au nombre dérivé $f'(x)$ est appelé la \textbf{fonction dérivée de $f$}.
+\end{definition}
+
+\begin{propriete}[Fonction dérivée de polynômes]
+    Soit $a \in \R$ alors
+
+    \begin{center}
+        \begin{tabular}{|*{4}{c|}}
+            \hline
+            Fonction $f$ & définie sur & dérivable sur & Fonction dérivée $f'$ \\
+            \hline
+            $a$ & & & $0$ \\
+            \hline
+            $ax$ & & & $a$ \\
+            \hline
+            $ax^2$ & & & $2ax$ \\
+            \hline
+            $ax^3$ & & & $3ax^2$\\
+            \hline
+            $ax^n$ & & & $n\times a\times x^{n-1}$\\
+            \hline
+        \end{tabular}
+    \end{center}
+\end{propriete}
+
+\end{document}

1G_math/08_Fonction_derivee/exercises.tex

@@ -0,0 +1,337 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Fonction dérivée}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ dérivation, fonction }, mode={\searchMode}]
+    On souhaite étudier les nombres dérivées de la fonction $f(x) = 3x^2$
+    \begin{enumerate}
+        \item Compléter le tableau suivant
+            \begin{center}
+                \begin{tabular}{|c|*{7}{p{1cm}|}}
+                    \hline
+                    Abscisse (x) & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\
+                    \hline
+                    Image & & & & & & &\\
+                    \hline
+                    Nombre dérivé & & & & & & &\\
+                    \hline
+                \end{tabular}
+            \end{center}
+        \item Représenter graphiquement la fonction $f(x)$ en plaçant les points puis les tangentes et enfin en reliant correctement les points.
+        \item Conjecturer un calcul qui permet de passer de l'abscisse au nombre dérivée sans avoir à calculer le taux de variations.
+        \item Soit $x\in \R$ et $h \neq 0$, calculer le taux de variations entre $x$ et $x+h$ et démontrer votre conjecture.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    <++>
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Fonctions dérivées}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ dérivation, fonction }, mode={\paperMode}]
+    Soit $a$ un nombre réel.
+    \begin{enumerate}
+        \item Soit $f(x) = a$, calculer le taux de variation de $f(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $f(x)$ pour tout $x \in \R$.
+        \item Soit $g(x) = ax$, calculer le taux de variation de $f(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $f(x)$ pour tout $x \in \R$.
+        \item Soit $h(x) = ax^2$, calculer le taux de variation de $f(x)$ entre $x$ et $x+h$ et en déduire le nombre dérivé de $f(x)$ pour tout $x \in \R$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dériver des fonctions}, step={1}, origin={Ma tête}, topics={ Fonction dérivée }, tags={ dérivation, fonction }, mode={\trainMode}]
+    Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = 3x^2 + 5x - 7$
+            \item $g(x) = -2x^2 + 8x + 1$
+            \item $h(x) = x^3 - 4x^2 + 2x - 9$
+            \item $i(x) = 5x^3 + 3x^2 - x + 6$
+            \item $j(x) = -x^3 + 2x^2 - 5$
+            \item $k(x) = 4x^2 - 12x$
+            \item $l(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$
+            \item $m(x) = -3x^3 + 6x - 2$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Etude graphique}, step={2}, origin={frederic-junier.org}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative, $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ ainsi que les droites $d_2$, $d_3$, $d_4$ et $d_5$ tangentes à $\mathcal{C}_f$ en$B$, $D$, $C$ et $E$.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=14cm,
+                height=10cm,
+                axis lines=middle,
+                xlabel={$x$},
+                ylabel={$y$},
+                xmin=-11, xmax=7,
+                ymin=-4, ymax=8,
+                xtick={-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7},
+                ytick={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8},
+                grid=both,
+                grid style={draw=gray},
+                enlargelimits=false,
+                samples=100,
+                ]
+
+                \addplot[thick, domain=-10:6] {0.25*(1/3*x^3 + x^2 -8*x)};
+
+                %\addplot[dashed, thick, domain=-11:7] {4*(x+6) + 3} node[pos=0.1, above] {$d_1$};
+                \node at (axis cs:-6,3) [left] {$A$};
+                \node at (axis cs:-6,3) {$\bullet$};
+
+                \addplot[dashed, thick, domain=-11:7] {6+2/3} node[pos=0.1, above] {$d_2$};
+                \node at (axis cs:-4,6+2/3) [below] {$B$};
+                \node at (axis cs:-4,6+2/3) {$\bullet$};
+
+                \addplot[dashed, thick, domain=-11:7] {-2-1/3} node[pos=0.1, below] {$d_3$};
+                \node at (axis cs:2,-2-1/3) [below] {$C$};
+                \node at (axis cs:2,-2-1/3) {$\bullet$};
+
+                \addplot[dashed, thick, domain=-11:7] {-2*(x+2)+4+1/3} node[pos=0.41, right] {$d_4$};
+                \node at (axis cs:-2,4+1/3) [right] {$D$};
+                \node at (axis cs:-2,4+1/3) {$\bullet$};
+
+                \addplot[dashed, thick, domain=-11:7] {4*(x-4)+1+1/3} node[pos=0.92, right] {$d_5$};
+                \node at (axis cs:4,1+1/3) [right] {$E$};
+                \node at (axis cs:4,1+1/3) {$\bullet$};
+
+
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer la droite $d_1$ tangente à la courbe au point $A$ et calculer sont équation.
+        \item Lire graphiquement $f'(-6)$,$f'(-4)$,$f'(-2)$,$f'(2)$ et $f'(4)$.
+        \item Quelle conjecture peut-on faire entre le signe du nombre dérivé et la croissance de la courbe autour du point?
+        \item Conjecturer le signe de la fonction dérivée $f'(x)$ pour $x \in \intOF{-\infty}{-4}$
+        \item Parmi les 3 courbes ci-dessous, déterminer cette qui représente $f'$. Justifier.
+    \end{enumerate}
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=5cm,
+                height=4cm,
+                axis lines=middle,
+                xlabel={$x$},
+                ylabel={$y$},
+                xmin=-7, xmax=5,
+                ymin=-3, ymax=3,
+                xtick={-6,-4,-2,0,2,4},
+                ytick={-2,0,2},
+                grid=both,
+                grid style={draw=gray!30},
+                enlargelimits=false,
+                samples=100,
+                ]
+                \addplot[thick, domain=-7:5] {0.25*(x+4)*(x-2)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=5cm,
+                height=4cm,
+                axis lines=middle,
+                xlabel={$x$},
+                ylabel={$y$},
+                xmin=-7, xmax=5,
+                ymin=-3, ymax=3,
+                xtick={-6,-4,-2,0,2,4},
+                ytick={-2,0,2},
+                grid=both,
+                grid style={draw=gray!30},
+                enlargelimits=false,
+                samples=100,
+                ]
+                \addplot[thick, domain=-7:5] {-0.25*(x+4)*(x-2)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=5cm,
+                height=4cm,
+                axis lines=middle,
+                xlabel={$x$},
+                ylabel={$y$},
+                xmin=-7, xmax=5,
+                ymin=-3, ymax=3,
+                xtick={-6,-4,-2,0,2,4},
+                ytick={-2,0,2},
+                grid=both,
+                grid style={draw=gray!30},
+                enlargelimits=false,
+                samples=100,
+                ]
+                \addplot[thick, domain=-7:5] {0.1*(x+6)*(x-4)};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Etude de fonctions}, step={2}, origin={frederic-junier.org}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    \begin{multicols}{2}
+        Pour les fonctions ci-contre, suivre les consignes suivantes
+        \begin{enumerate}
+            \item Dériver la fonction
+            \item Étudier le signe de la fonction dérivée
+            \item En déduire les variations de la fonction
+            \item Identifier un extremum de la fonction
+            \item Vérifier son résultat avec la calculatrice ou avec les valeurs de $\alpha$ et $\beta$
+        \end{enumerate}
+        \columnbreak
+        \begin{itemize}
+            \item $f(x) = 3x^2 - 12x + 10$
+            \item $g(x) = -5x^2 + 10x - 1$
+            \item $h(x) = -x^2 - 12x - 2$
+        \end{itemize}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Objets connectés}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Tableaux de signes, Tableaux de variations}, mode={\trainMode}]
+    Une entreprise fabrique et vend des objets connectés. Le bénéfice mensuel (en milliers d'euros) réalisé pour la production de $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction pour $x \in \intFF{0}{10}$.
+    \[B(x) = -2x^2 + 16x - 10\]
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $B(0)$ et $B(10)$.
+        \item Calculer la dérivée $B'(x)$ de la fonction $B$.
+        \item Étudier le signe de $B'(x)$ et dresser le tableau de signes.
+        \item En déduire le tableau de variations de $B$ sur $\intFF{0}{10}$.
+        \item Déterminer le nombre d'objets à produire pour maximiser le bénéfice mensuel.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item $B(0) = -2 \times 0^2 + 16 \times 0 - 10 = -10$
+
+            $B(10) = -2 \times 10^2 + 16 \times 10 - 10 = -200 + 160 - 10 = -50$
+
+        \item $B(x) = -2x^2 + 16x - 10$
+
+            $B'(x) = -2 \times 2x + 16 = -4x + 16$
+
+        \item On cherche quand $B'(x)$ est positif
+            \begin{align*}
+                -4x + 16 &> 0 \\
+                -4x &> -16 \\
+                x &< 4
+            \end{align*}
+
+            donc $B'(x)$ est positif quand $x$ est inférieur à 4
+
+            Tableau de signes de $B'(x)$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ x $/1,$ B'(x) $/1}{0, 4, 10}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -,}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+        \item Tableau de variations de $B$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ x $/1, $ B(x) $/2}{0, 4, 10}
+                    \tkzTabVar{-/-10, +/22, -/-50}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+            Avec $B(4) = -2 \times 4^2 + 16 \times 4 - 10 = -32 + 64 - 10 = 22$
+
+        \item Le bénéfice est maximal pour $x = 4$, c'est-à-dire pour une production de $4$ centaines d'objets, soit $\mathbf{400}$ objets.
+
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation du chiffre d'affaires}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\trainMode}]
+    Une boutique en ligne vend des casques audio. Le chiffre d'affaires mensuel (en milliers d'euros) en fonction du prix de vente $p$ (en euros) d'un casque est modélisé par la fonction pour $p \in \intFF{20}{100}$.
+    \[C(p) = -0.5p^2 + 50p - 800\]
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer $C(20)$ et $C(100)$.
+        \item Calculer la dérivée $C'(p)$ de la fonction $C$.
+        \item Étudier le signe de $C'(p)$ et dresser le tableau de signes.
+        \item En déduire le tableau de variations de $C$ sur $\intFF{20}{100}$.
+        \item Quel prix de vente permet de maximiser le chiffre d'affaires mensuel ?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item $C(20) = -0.5 \times 20^2 + 50 \times 20 - 800 = -200 + 1000 - 800 = 0$
+
+            $C(100) = -0.5 \times 100^2 + 50 \times 100 - 800 = -5000 + 5000 - 800 = -800$
+
+        \item $C(p) = -0.5p^2 + 50p - 800$
+
+            $C'(p) = -0.5 \times 2p + 50 = -p + 50$
+
+        \item On cherche quand $C'(p)$ est positif
+            \begin{align*}
+                -p + 50 &> 0 \\
+                -p &> -50 \\
+                p &< 50
+            \end{align*}
+
+            donc $C'(p)$ est positif quand $p$ est inférieur à 50
+
+            Tableau de signes de $C'(p)$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$ p $/1,$ C'(p) $/1}{20, 50, 100}
+                    \tkzTabLine{, +, z, -,}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+        \item Tableau de variations de $C$ :
+            \begin{center}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$ p $/1, $ C(p) $/2}{20, 50, 100}
+                    \tkzTabVar{-/0, +/450, -/-800}
+                \end{tikzpicture}
+            \end{center}
+
+            Avec $C(50) = -0.5 \times 50^2 + 50 \times 50 - 800 = -1250 + 2500 - 800 = 450$
+
+        \item Le chiffre d'affaires est maximal pour un prix de vente de $\mathbf{50}$ euros par casque.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dérivation de la fonction inverse}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\paperMode}]
+    Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$ la fonction inverse.
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la fonction inverse et préciser son domaine de définition.
+        \item Soit $x$ dans le domaine de définition de la fonction inverse, et $h$ suffisamment petit calculer le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.
+        \item En déduire la fonction dérivée de la fonction inverse.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dérivation de la fonction racine carré}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\paperMode}]
+    Soit $f(x) = \sqrt{x}$ la fonction racine carré.
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la fonction racine carré et préciser son domaine de définition.
+        \item Soit $x$ dans le domaine de définition de la fonction racine carré, et $h$ suffisamment petit calculer le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.
+        \item En déduire la fonction dérivée de la fonction racine carré. 
+        \item Cette fonction n'est pas définie pour une valeur du domaine de définition de $f$, laquelle?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Dérivation de la fonction valeur absolue}, step={3}, origin={Création}, topics={Fonctions}, tags={Dérivation, Tableaux de variations, Optimisation}, mode={\paperMode}]
+    Soit $f(x) = \mid x \mid$ la fonction racine carré.
+    \begin{enumerate}
+        \item Tracer l'allure de la fonction racine carré et préciser son domaine de définition.
+        \item On suppose que $x>0$
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour tout $h$ suffisamment proche de 0 pour que x+h soit positif, calculer le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.
+                \item En déduire la fonction dérivée de la fonction valeur absolue quand $x$ est strictement positif. 
+            \end{enumerate}
+        \item On suppose que $x<0$
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour tout $h$ suffisamment proche de 0 pour que x+h soit négatif, calculer le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.
+                \item En déduire la fonction dérivée de la fonction valeur absolue quand $x$ est strictement négatif. 
+            \end{enumerate}
+        \item On suppose que $x=0$
+            \begin{enumerate}
+                \item Pour tout $h$ positif, calculer le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.
+                \item Pour tout $h$ négatif, calculer le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$.
+                \item Peut-on donner une valeur à $f'(x)$? Quel est le domaine de dérivation de la valeur absolue?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}

1G_math/08_Fonction_derivee/index.rst

@@ -0,0 +1,52 @@
+Fonction dérivée
+################
+
+:date: 2025-12-11
+:modified: 2025-12-11
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: dérivation, fonction
+:category: 1G_math
+:summary: Construction de la fonction dérivée, lien entre le signe de f' et les variations de f et dérivée des fonctions de base.
+
+
+Éléments du programme
+=====================
+
+Contenus
+--------
+
+- Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée. 
+- Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.
+- Pour n dans ℤ, fonction dérivée de la fonction x ↦ xn. 
+- Fonction valeur absolue : courbe représentative, étude de la dérivabilité en 0
+- Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée ; caractérisation des fonctions constantes. 
+- Nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe représentative. 
+
+Capacités attendues
+-------------------
+
+- À partir de la définition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse. 
+- Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables.
+- Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums. 
+- Résoudre un problème d’optimisation.
+
+Démonstrations
+--------------
+
+- La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0. 
+- Fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse.
+
+Commentaires
+------------
+
+Progression
+===========
+
+Étape 1: Constructions des fonctions dérivée
+--------------------------------------------
+
+Étape 2: Etude des variations de polynômes de degré 2
+-----------------------------------------------------
+
+Étape 3: Dérivation des fonctions inverse, racine et valeur absolue
+-------------------------------------------------------------------

1G_math/08_Fonction_derivee/plan_de_travail.tex

@@ -0,0 +1,56 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.18}
+\usepackage{tkz-fct}
+
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction dérivée - Plan de travail}
+\tribe{1G math}
+\date{décembre 2025}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+% Résumé
+
+\bigskip
+
+Savoir-faire de la séquence
+\begin{itemize}
+    \item  À partir de la définition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse. 
+    \item  Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables.
+    \item  Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums. 
+    \item  Résoudre un problème d’optimisation.
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+\section{Fonction dérivée}
+
+\listsectionexercises
+
+\section{Variations et dérivée}
+
+\listsectionexercises
+
+\section{Fonction inverse, racine carré et valeur absolue}
+
+\listsectionexercises
+
+
+\medskip
+\hline
+\medskip
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+
+\end{document}

1G_math/08_Fonction_derivee/solutions.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\usetikzlibrary{shapes.geometric}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction dérivée - Solutions}
+\tribe{1G_math}
+\date{décembre 2025}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    exercise/print=false,
+    solution/print=true,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\input{exercises.tex}
+%\printcollection{banque}
+%\printsolutions{exercises}
+
+\end{document}