feat(1G_spec): init sequ sur les fonctions affines

1G_EnsSci/04_Fonciton_affine/exercises.tex

@@ -0,0 +1,241 @@
+\begin{exercise}[subtitle={Pression}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\searchMode}]
+    On donne ci-contre la représentation de la fonction $f$ donnant la pression en bars s'exerçant sur un plongeur en fonction de sa profondeur $x$ en mètres.
+
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.55\textwidth}
+        \begin{enumerate}
+            \item À l'aide de la représentation graphique :
+
+                \begin{enumerate}
+                    \item Donner la pression en bars s'exerçant sur un plongeur à une profondeur de 30 m, de 45 m.
+
+                    \item Donner la profondeur en mètres lorsque la pression s'exerçant sur le plongeur est de 3 bars.
+                    \item Quelle est la pression s'exerçant sur le plongeur à la surface de l'eau ? Comment expliquer que cette pression n'est pas nulle ?
+                \end{enumerate}
+
+            \item 
+                \begin{enumerate}
+                    \item Quelle est la nature de la fonction $f$ ?
+                    \item Si on plonge de 10m comment évolue la pression?
+                    \item Si on plonge de 20m comment évolue la pression?
+
+                    \item Déterminer l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$. 
+                    \item En déduire la pression à 8,3 m de profondeur.
+                    \item Calculer la profondeur en mètres à laquelle se trouve le plongeur si la pression s'exerçant sur lui est de 10,7 bars.
+                \end{enumerate}
+
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=8cm,
+                height=10cm,
+                xlabel={Profondeur (en m)},
+                ylabel={Pression (en bars)},
+                xmin=0, xmax=70,
+                ymin=0, ymax=8.5,
+                xtick={0,10,20,30,40,50,60,70},
+                ytick={0,1,2,3,4,5,6,7,8},
+                xmajorgrids=true,
+                ymajorgrids=true,
+                grid style={line width=.4pt, draw=gray},
+                minor x tick num=1,
+                minor y tick num=0,
+                xminorgrids=true,
+                minor grid style={line width=.2pt, draw=gray},
+                axis lines=middle,
+                axis line style={->, thick},
+                every axis x label/.style={at={(ticklabel* cs:0.5)},anchor=north,yshift=-15pt},
+                every axis y label/.style={at={(ticklabel* cs:0.5)},anchor=north,rotate=90,yshift=30pt},
+            ]
+            % Fonction f(x) = 0.1x + 1
+            \addplot[domain=0:70, red, very thick, samples=2] {0.1*x + 1};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Association de fonctions}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
+    On donne ci-dessous les représentations graphiques de quatre fonctions affines $f$, $g$, $h$ et $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3 - 0,5x$ ; $g(x) = 2x$ ; $h(x) = -x$ et $k(x) = x - 2$.
+
+    Associer chaque fonction à la droite qui la représente.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=10cm,
+                height=8cm,
+                xlabel={$x$},
+                ylabel={$y$},
+                xmin=-5, xmax=5,
+                ymin=-6, ymax=6,
+                xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
+                ytick={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},
+                grid=both,
+                grid style={line width=.4pt, draw=gray},
+                axis lines=middle,
+                axis line style={->, thick},
+                tick label style={font=\small},
+                every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)},anchor=west},
+                every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)},anchor=south},
+            ]
+            % Droite d1 (rouge) : f(x) = 3 - 0.5x
+            \addplot[domain=-5:5, red, very thick, samples=2] {3 - 0.5*x} node[pos=0.2, above left] {$d_1$};
+            % Droite d2 (bleue) : h(x) = -x
+            \addplot[domain=-5:5, blue!60, very thick, samples=2] {-x} node[pos=0.2, below ] {$d_2$};
+            % Droite d3 (verte) : k(x) = x - 2
+            \addplot[domain=-4:5, green!60!black, very thick, samples=2] {x - 2} node[pos=0.9, above ] {$d_3$};
+            % Droite d4 (magenta) : g(x) = 2x
+            \addplot[domain=-3:3, magenta, very thick, samples=2] {2*x} node[pos=0.8, above left] {$d_4$};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Expression d'une fonction - graphique}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
+
+    On a représenté ci-dessous quatre fonctions affines $f_1$, $f_2$, $f_3$ et $f_4$.
+
+    Déterminer leurs expressions algébriques.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=10cm,
+                height=8cm,
+                xlabel={$x$},
+                ylabel={$y$},
+                xmin=-2, xmax=6,
+                ymin=-2, ymax=5,
+                xtick={-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},
+                ytick={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
+                grid=both,
+                grid style={line width=.4pt, draw=gray},
+                axis lines=middle,
+                axis line style={->, thick},
+                tick label style={font=\small},
+                every axis x label/.style={at={(current axis.right of origin)},anchor=west},
+                every axis y label/.style={at={(current axis.above origin)},anchor=south},
+            ]
+            % Droite f3 (rouge) : passe par (-1,4) et (4,-1) => pente = -5/5 = -1, ordonnée = 3
+            \addplot[domain=-2:6, red, very thick, samples=2] {-x + 3} node[pos=0.8, above right] {$\mathcal{C}_{f_3}$};
+            % Droite f2 (magenta) : passe par (0,-1) et (3,5) => pente = 6/3 = 2, ordonnée = -1
+            \addplot[domain=-2:6, magenta, very thick, samples=2] {1.5*x - 1} node[pos=0.55, above left] {$\mathcal{C}_{f_2}$};
+            % Droite f1 (bleue) : passe par (-1,-0.5) et (6,4) => pente = 4.5/7 ≈ 0.643, ordonnée ≈ 0.143
+            \addplot[domain=-2:6, blue!60, very thick, samples=2] {2/3*x } node[pos=0.85, above left] {$\mathcal{C}_{f_1}$};
+            % Droite f4 (verte) - horizontale : y = 2
+            \addplot[domain=-2:6, green!60!black, very thick, samples=2] {2} node[pos=0.9, above] {$\mathcal{C}_{f_4}$};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Expression d'une fonction - valeurs}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
+    
+    Déterminer l'expression algébrique des fonctions affines suivantes à partir des informations données
+    
+    \begin{multicols}{2}
+        \begin{enumerate}
+            \item La fonction $f$ vérifie $f(0) = 3$ et $f(2) = 11$.
+
+            \item La fonction $g$ vérifie $g(0) = -5$ et $g(4) = 7$.
+
+            \item La fonction $h$ vérifie $h(0) = 8$ et $h(2) = 2$.
+
+            \item La fonction $k$ vérifie $k(1) = 7$ et $k(3) = 17$.
+
+            \item La fonction $m$ vérifie $m(2) = 3$ et $m(5) = -9$.
+
+            \item La fonction $n$ vérifie $n(-1) = 5$ et $n(3) = -3$.
+        \end{enumerate}     
+    \end{multicols}
+    
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Conversion de températures}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
+    En France, l'unité de température est le degré Celsius, noté °C. Dans certains pays anglo-saxons, l'unité est le degré Fahrenheit, noté °F.
+
+    La conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit s'obtient à l'aide d'une fonction affine $f$ qui à une température en degrés Celsius $x$ associe la température $f(x)$ en degrés Fahrenheit.
+
+    Pour un Californien, l'eau gèle à 32 °F et bout à 212 °F.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Déterminer l'expression algébrique de $f(x)$.
+
+        \item À l'aide de cette expression, répondre aux questions suivantes.
+
+            \begin{enumerate}
+                \item Quelle est la température du corps humain en °F ?
+
+                \item S'il fait 90 °F à Los Angeles, est-ce une température supportable ?
+
+                    Justifier.
+
+                \item Peut-on trouver une température qui s'exprime par le même nombre en °C et en °F ?
+            \end{enumerate}
+
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Offre et demande}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Fonciton affine }, tags={ fonction, évolution }, mode={\trainMode}]
+    L'offre est la quantité de biens qu'une entreprise est prête à vendre à un prix donné.
+
+    La demande est la quantité de biens que les consommateurs sont prêts à acheter pour un prix donné.
+
+    Lors du lancement d'un jouet sur le marché, une étude a permis d'obtenir les représentations des fonctions d'offre et de demande.
+
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \begin{axis}[
+                width=12cm,
+                height=8cm,
+                axis lines=middle,
+                xlabel={Quantité (en milliers)},
+                ylabel={Prix (en €)},
+                xmin=0, xmax=28,
+                ymin=0, ymax=18,
+                xtick={0,5,10,15,20,25,30},
+                ytick={0,5,10,15,20},
+                grid=both,
+                grid style={line width=.4pt, draw=gray},
+                minor x tick num=4,
+                minor y tick num=4,
+                xminorgrids=true,
+                minor grid style={line width=.2pt, draw=gray},
+                ]
+                % Droite bleue (offre)
+                \addplot[blue, very thick, domain=0:26] {15/20*x};
+                \node[blue] at (axis cs:14,12) {$\large \mathcal{C}_f$};
+                % Droite rouge (demande)
+                \addplot[red, very thick, domain=0:26] {10 - 10/25*x};
+                \node[red] at (axis cs:14,5) {$\large \mathcal{C}_g$};
+            \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer à l'aide du graphique l'expression algébrique de la fonction $f$.
+
+                \item Que valent $g(0)$ et $g(25)$ ? En déduire l'expression algébrique de $g(x)$.
+
+                \item Laquelle des deux représentations graphiques représente la demande ? Justifier.
+
+                \item Lorsque le prix est de 5 €, quelle quantité approximative de jouets l'entreprise est-elle prête à vendre ? Quelle quantité de jouets les consommateurs sont-ils prêts à acheter ?
+            \end{enumerate}
+
+        \item Le marché d'offre et de demande est à l'équilibre lorsque, pour un même prix, la quantité offerte par les producteurs est égale à la quantité demandée par les consommateurs. Déterminer ce prix d'équilibre :
+
+            \begin{enumerate}
+                \item graphiquement.
+
+                \item par le calcul arrondi au centime.
+
+                \item À quelle quantité ce prix correspond-il ?
+            \end{enumerate}
+
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}

1G_EnsSci/04_Fonciton_affine/index.rst

@@ -0,0 +1,45 @@
+Fonciton affine
+###############
+
+:date: 2025-12-02
+:modified: 2025-12-02
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: fonction, évolution
+:category: 1G_EnsSci
+:summary: Suite de l'étude est phénomène linaires avec les foncitons affines
+
+
+Éléments du programme
+=====================
+
+Contenus
+--------
+
+L'objectif est de remobiliser les connaissances abordées en classe de seconde : représentation graphique, sens de variation, lien entre le taux d'accroissement et le coefficient directeur de la droite représentative.
+
+Capacités attendues
+-------------------
+
+- Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d'une suite arithmétique ou d'une fonction affine.
+- Résoudre un problème de seuil dans le cas d'une croissance linéaire.
+
+Commentaires
+------------
+
+Progression
+===========
+
+Étape 1: Définition et utilisation d'une fonciton affine
+--------------------------------------------------------
+
+Définition, forme, représentation graphique
+
+Étape 2: Retrouve formule d'une fonciton à partir graphique ou valeur
+---------------------------------------------------------------------
+
+taux d'accroissement (variation), ordonnée à l'origine
+
+Étape 3: Inéquation et question de seuil
+----------------------------------------
+
+Résoudre par résolution d'inéquation des questions de seuils

1G_EnsSci/04_Fonciton_affine/plan_de_travail.tex

@@ -0,0 +1,188 @@
+\documentclass[a4paper,12pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.18}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonction affine - Plan de travail}
+\tribe{1G EnsSci}
+\date{décembre 2025}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+Savoir-faire de la séquence
+\begin{itemize}
+    \item Reconnaître une fonction affine et sa représentation graphique
+    \item Lire graphiquement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
+    \item Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de sa représentation graphique
+    \item Déterminer l'expression algébrique d'une fonction affine à partir de deux valeurs
+    \item Utiliser le taux d'accroissement pour calculer le coefficient directeur
+    \item Modéliser des situations concrètes avec des fonctions affines
+    \item Résoudre des problèmes de seuil dans le cas d'une croissance linéaire
+\end{itemize}
+
+\bigskip
+
+\section{Découverte fonction affine}
+
+\begin{definition}[Fonction affine]
+    Une \textbf{fonction affine} est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
+    \[
+        f(x) = ax + b
+    \]
+    où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
+
+    \begin{itemize}
+        \item $a$ est appelé le \textbf{coefficient directeur} (ou \textbf{pente})
+        \item $b$ est appelé l'\textbf{ordonnée à l'origine}
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\paragraph{Cas particuliers :}
+
+\begin{itemize}
+    \item Si $b = 0$, alors $f(x) = ax$ : on dit que $f$ est une \textbf{fonction linéaire}
+    \item Si $a = 0$, alors $f(x) = b$ : on dit que $f$ est une \textbf{fonction constante}
+\end{itemize}
+
+\begin{propriete}[Représentation graphique]
+    La représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une \textbf{droite}.
+
+    \begin{itemize}
+        \item Le coefficient directeur $a$ indique la \textbf{pente} de la droite
+        \item L'ordonnée à l'origine $b$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées
+    \end{itemize}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemple :}
+
+La fonction $f(x) = 2x + 1$ est une fonction affine avec $a = 2$ et $b = 1$.
+
+\vspace{1cm}
+
+\listsectionexercises
+
+\section{Calculer expression d'une fonction affine}
+
+\paragraph{Lire graphiquement une expression}
+
+\begin{methode}[À partir du graphique]
+    Pour déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de sa représentation graphique :
+
+    \begin{enumerate}
+        \item On lit l'ordonnée à l'origine $b$ (point d'intersection avec l'axe des ordonnées)
+        \item On choisit deux points de la droite et on calcule le coefficient directeur $a$ avec la formule du taux d'accroissement :
+            \[
+                a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
+            \]
+        \item On écrit l'expression : $f(x) = ax + b$
+    \end{enumerate}
+\end{methode}
+
+\paragraph{Exemple :}
+
+Sur le graphique ci-dessous, on lit $b = 1$ (la droite coupe l'axe des ordonnées en 1).
+
+En prenant les points $A(0; 1)$ et $B(2; 5)$, on calcule :
+\[
+    a = \frac{5 - 1}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2
+\]
+
+Donc $f(x) = 2x + 1$.
+
+\vspace{2cm}
+
+\paragraph{Calculer une expression}
+
+\begin{methode}[À partir de deux valeurs]
+    Pour déterminer l'expression d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ connaissant deux valeurs $f(x_A) = y_A$ et $f(x_B) = y_B$ :
+
+    \begin{enumerate}
+        \item On calcule le coefficient directeur $a$ avec la formule :
+            \[
+                a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}
+            \]
+        \item On remplace $a$, $x_A$ et $y_A$ dans l'équation $y_A = a \times x_A + b$ pour trouver $b$
+        \item On écrit l'expression finale : $f(x) = ax + b$
+    \end{enumerate}
+\end{methode}
+
+\paragraph{Exemple :}
+
+Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 3$ et $f(2) = 11$.
+
+\begin{enumerate}
+    \item Calcul de $a$ :
+        \[
+            a = \frac{11 - 3}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4
+        \]
+
+    \item Calcul de $b$ : On utilise $f(0) = 3$
+        \[
+            3 = 4 \times 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 3
+        \]
+
+    \item Expression de $f$ :
+        \[
+            f(x) = 4x + 3
+        \]
+\end{enumerate}
+
+\vspace{1cm}
+
+\listsectionexercises
+
+\section{Mise en situation}
+
+\begin{propriete}[Sens de variation]
+    Soit $f(x) = ax + b$ une fonction affine.
+
+    \begin{itemize}
+        \item Si $a > 0$, alors $f$ est \textbf{strictement croissante} sur $\mathbb{R}$
+        \item Si $a < 0$, alors $f$ est \textbf{strictement décroissante} sur $\mathbb{R}$
+        \item Si $a = 0$, alors $f$ est \textbf{constante} sur $\mathbb{R}$
+    \end{itemize}
+\end{propriete}
+
+\begin{methode}[Résoudre un problème de seuil]
+    Pour résoudre un problème de seuil :
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Modéliser la situation par une fonction affine $f(x) = ax + b$
+        \item Traduire la question par une équation ou une inéquation
+        \item Résoudre l'équation ou l'inéquation
+        \item Interpréter le résultat dans le contexte du problème
+    \end{enumerate}
+\end{methode}
+
+\paragraph{Exemple :}
+
+Un plongeur descend dans l'eau. La pression $P$ (en bars) qu'il subit en fonction de la profondeur $x$ (en mètres) est donnée par $P(x) = 0,1x + 1$.
+
+À quelle profondeur la pression atteint-elle 5 bars ?
+
+On résout : $0,1x + 1 = 5$
+
+\vspace{2cm}
+
+\listsectionexercises
+
+
+\bigskip
+\hline
+\bigskip
+
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+
+\end{document}

1G_EnsSci/04_Fonciton_affine/solutions.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\usetikzlibrary{shapes.geometric}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Fonciton affine - Solutions}
+\tribe{1G_EnsSci}
+\date{décembre 2025}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    exercise/print=false,
+    solution/print=true,
+}
+
+\pagestyle{empty}
+
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\input{exercises.tex}
+%\printcollection{banque}
+%\printsolutions{exercises}
+
+\end{document}