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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Moyennes arithmétique et géométrique - Cours}
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\date{novembre 2025}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Définitions}
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\begin{multicols}{2}
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\begin{definition}[Moyenne arithmétique]
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La moyenne arithmétique de deux nombres $a$ et $b$ est :
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\[
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m = \frac{a + b}{2} = (a + b) \times \frac{1}{2}
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\]
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% \vspace{1em}
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%
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% \begin{center}
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% \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
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% \draw[thick,->] (0,0) -- (4,0);
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% \draw[thick] (0.5,-0.1) -- (0.5,0.1) node[below=3pt] {$a$};
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% \draw[thick] (3.5,-0.1) -- (3.5,0.1) node[below=3pt] {$b$};
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% \draw[thick,red] (2,-0.15) -- (2,0.15) node[below=5pt] {$m$};
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%
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% \draw[<->] (0.5,0.3) -- (2,0.3) node[midway,above] {\small $\frac{b-a}{2}$};
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% \draw[<->] (2,0.3) -- (3.5,0.3) node[midway,above] {\small $\frac{b-a}{2}$};
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% \end{tikzpicture}
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% \end{center}
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%
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% La moyenne arithmétique est au \textbf{milieu} de $a$ et $b$.
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\end{definition}
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\columnbreak
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\begin{definition}[Moyenne géométrique]
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La moyenne géométrique de deux nombres \textbf{positifs} $a$ et $b$ est :
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\[
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m = \sqrt{a \times b} = (a \times b)^{\frac{1}{2}}
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\]
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% \vspace{1em}
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%
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% \begin{center}
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% \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
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% \draw[thick] (0,0) rectangle (4,2);
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% \draw[dashed] (0,0) -- (4,2);
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% \node at (2,-0.5) {$a$};
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% \node at (-0.5,1) {$b$};
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%
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% \draw[thick,red] (0,0) -- (2.828,2.828);
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% \node[red] at (1.2,1.8) {$m$};
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%
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% \draw[thick,red] (2.828,0) -- (2.828,2.828);
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|
% \node[red] at (3.3,1.4) {$m$};
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%
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% \draw[thick] (2.828,-0.1) -- (2.828,0.1);
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% \draw[thick] (4.1,2.828) -- (3.9,2.828);
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% \end{tikzpicture}
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% \end{center}
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%
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|
% La moyenne géométrique est le côté d'un \textbf{carré} d'aire $a \times b$.
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\end{definition}
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\end{multicols}
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\paragraph{Exemples}
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\begin{itemize}
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\item Calculer la moyenne arithmétique de 8 et 18 :
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\vspace{2cm}
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\item Calculer la moyenne géométrique de 4 et 9 :
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\vspace{2cm}
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\end{itemize}
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\afaire{}
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\begin{methode}[Taux d'évolution moyen]
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\begin{minipage}{0.65\textwidth}
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Un quantité subit une transformation global d'un taux d'évolution $t_{global}$.
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On souhaite découper cette évolution en deux évolutions identiques alors le taux d'évolution de chacune de ces évolutions se calcule avec
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$$ t_{moyen} = \sqrt{(1 + t_{global})} - 1 $$
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.3\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
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roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
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]
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\node[roundnode] (a) {};
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\node[roundnode, fill=green!30] (b) [right=1.5cm of a] {};
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\node[roundnode] (c) [right=1.5cm of b] {};
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\path[->] (a.north) edge [bend left] node [above] {$t_{global}$} (c.north);
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\path[->] (a.south) edge [bend right] node [below] {$t_{moyen}$} (b.south);
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\path[->] (b.south) edge [bend right] node [below] {$t_{moyen}$} (c.south);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{methode}
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\paragraph{Exemple}:~
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Le chiffre d'affaire d'une entreprise est passé de 1 million d'euro à 1,5 millions d'euros en 2ans. Quel est le taux d'évolution annuel de son chiffre d'affaire?
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\vspace{2cm}
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\afaire{}
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\end{document}
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