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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Suites et moyennes - Cours}
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\date{novembre 2025}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{1}
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\section{Suites arithmétiques et géométriques}
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\begin{propriete}[Suite arithmétique]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Soit $u$ une suite arithmétique dont on connait deux valeurs $u(n-1)$ et $u(n+1)$ alors $u(n)$ est la moyenne arithmétique de ces deux valeurs
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$$ u(n) = \frac{u(n+1) + u(n-1)}{2}$$
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
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roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
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]
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\node[roundnode] (a) {$u(n-1)$};
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\node[roundnode, fill=green!30] (b) [right=1.5cm of a] {$u(n)$};
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\node[roundnode] (c) [right=1.5cm of b] {$u(n+1)$};
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\path[->] (a.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (b.west);
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\path[->] (b.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (c.west);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}
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Soit $u$ une suite arithmétique telle que $u(5) = 10$ et $u(7) = 18$. Retrouver la valeur de $u(6)$.
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\vspace{2cm}
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\afaire{}
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\begin{propriete}[Suite géométrique]
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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Soit $u$ une suite géométrique dont on connait deux valeurs $u(n-1)$ et $u(n+1)$ alors $u(n)$ est la moyenne géométrique de ces deux valeurs
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$$ u(n) = \sqrt{u(n+1) \times u(n-1)}$$
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
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roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm},
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]
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\node[roundnode] (a) {$u(n-1)$};
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\node[roundnode, fill=green!30] (b) [right=1.5cm of a] {$u(n)$};
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\node[roundnode] (c) [right=1.5cm of b] {$u(n+1)$};
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\path[->] (a.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (b.west);
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\path[->] (b.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (c.west);
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemple}
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Soit $v$ une suite géométrique telle que $v(6) = 10$ et $u(8) = 40$. Retrouver la valeur de $u(7)$.
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\vspace{2cm}
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\afaire{}
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\end{document}
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